高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系（精讲）

考法一  三个基本事实

【例1-1】（2020·全国高专题练习）如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，连接，，则，因为，，

所以四边形为平行四边形，

又，平面，

则平面，

因为平面平面，

所以．即，，三点共线．

【例1-2】（2021·西安）正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点．

（1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面．

（2） 证明：PQ，MN ，DC三线共点．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】（1）连接.

分别为的中点，且 ，

分别为，的中点，且.

四边形为平行四边形，且

且四点共面.

（2）由（1）知且必交于一点.

平面平面.

平面平面 .

又平面平面.，即三线共点.

【一隅三反】

1．（2021·江苏高一课时练习）(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（    ）

A．C1，M，O三点共线

B．C1，M，O，C四点共面

C．C1，O，A，M四点共面

D．D1，D，O，M四点共面

【答案】ABC

【解析】在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，

又A1C∩平面C1BD＝M.

∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，

∴A，B，C均正确，D不正确.故选：ABC

2．（2021·宁夏固原市·高一期末）在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】选项A，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，

而点不在直线上，故，，，不共面，

选项A错误；

选项B，连接底面对角线，

则由中位线定理可知，，

又易知，则，

故，，，共面，选项B正确；

选项C，显然，，所确定的平面为正方体的底面，

而点不在该平面内，故故，，，不共面，

选项C错误；

选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，

也即是点，，确定的平面与正方体正面的交线为，

而点不在直线上，故，，，四点不共面，

选项D错误.

4．（2021·江苏高一课时练习）已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.

【答案】证明见解析

【解析】证明：法一：∵AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.

∴P，Q，R三点共线.

法二：∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，

∴平面APR∩平面α＝PR.

∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.

∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，

∴P，Q，R三点共线.

考法二  平面

【例2-1】（2021·江苏高一课时练习）下列有关平面的说法正确的是（    ）

A．平行四边形是一个平面

B．任何一个平面图形都是一个平面

C．平静的太平洋面就是一个平面

D．圆和平行四边形都可以表示平面

【答案】D

【解析】对于A，我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，平行四边形是平面上四条线段构成的图形，是不能无限延展的，故A错误；

对于B，平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，而平面是无限延展的，无法度量，故B错误；

对于C，太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C错误；

对于D，在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D正确.

故选：D

【例2-2】（2020·江苏省苏州中学园区校高二期中）空间中三个平面，最多把空间分成区域的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示，三个平面最多将空间分成个区域.故选：D

【一隅三反】

1．（2020·安徽池州市·池州一中）三个平面将空间不可分成（    ）部分.

A．4 B．5 C．8 D．7

【答案】B

【解析】若三个平面互相平行，则把空间分成4部分；若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有一条交线，则把空间分成6部分；三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分.故选：B．

2．（2021·江苏高一课时练习）（1）空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.

（2）空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.

【答案】4    5   

【解析】（1）可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.

（2）可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定5个平面.

故答案为：（1）4；（2）5.

考法三  空间点、直线、平面之间的位置关系

【例3-1】（2020·浙江杭州市·高一期末）一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是（    ）

A．平行或异面 B．相交或异面 C．异面 D．相交

【答案】B

【解析】如图（1）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为相交直线；

如图（2）所示，此时直线与直线为异面直线，其中，此时直线与为异面直线，

综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.

故选: B.

【例3-2】．（2020·合肥市第十一中学）若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（    ）

A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点

【答案】D

【解析】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.

故选：D.

【一隅三反】

1．（2020·安徽省肥东县第二中学）若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（    ）

A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交

【答案】D

【解析】因为、为异面直线，所以、所成的角为锐角或直角，

因为直线与平行，所以与所成的角为锐角或直角，

所以与的位置关系是异面或相交，故选：D

2．（2020·山西）若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（    ）

A．内的所有直线均与直线异面

B．内不存在与平行的直线

C．直线与平面有公共点

D．内的直线均与相交

【答案】C

【解析】若直线不平行于平面，则直线与平面相交或在平面内；

对于A，内的直线与直线异面，可能相交，也可能平行，故不成立；

对于B，当在平面内就存在与平行的直线，故不成立；

对于C，当直线与平面相交与在平面内都有公共点，故成立；

对于D，内的直线均与相交，可能异面，也可能平行；故不成立.

故选：C.

3．（2020·通化县综合高级中学）平面满足则与的位置关系为（    ）

A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对

【答案】C

【解析】例如正方体的四个侧面都与底面垂直，它们之间有平行有相交．故选：C．