高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计，共18页。

1 平面
无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD (×)；两个平面可相交于一点 (×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
① 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 (×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
② 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③ 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3 图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2 空间点，直线，面之间的位置关系
① 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系
共面:异面:a∩ b=A,a//ba与b异面
(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a // b, b / / c⟹ a / / c
(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4) 异面直线:
(i) 定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii) 图形语言
符号语言
P∉αA∈αa∈αA∉α⟹PA与a异面
② 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系
l⊂α 在面内l∩α=A 相交l//α 平行
(2) 图形语言
例 若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案 m//M或者m⊂M.
③ 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系
α //β 平行α∩β=a 斜交α⊥β 垂直
(2) 图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】 设P表示一个点，a ,b表示两条直线，α ,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )．
① P∈a ,P∈α⇒a⊂α ② a∩b=P ,b⊂β⇒a⊂β
③ a∥b ,a⊂α ,P∈b ,P∈α⇒b⊂α ④ α∩β=b ,P∈α ,P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【典题2】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P ,Q ,R 分别在棱AB ,BB1 ,CC1 上，且DP，QR 相交于点O，求证O ,B ,C 三点共线.
【典题2】 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1) E、C、D1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点．
巩固练习
1(★★) 一块蛋糕切三道最多可以切 块？
2(★) 下列命题正确的是 ( )
Ａ.经过三点确定一个平面 Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面 Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3(★) 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4(★★) 空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是________．
5(★★★) 如图，已知 E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明 FE、HG、DC三线共点．
6(★★★) 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱AA1，CC1的中点,
求证点D1，E，F，B共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 ( )
Ａ.异面直线Ｂ.相交直线Ｃ.不相交直线Ｄ.不平行直线
【典题2】 若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则 ( )
A.a内所有直线与l异面 B.a内不存在与l平行的直线
C.a内存在唯一的直线与l平行 D.a内的直线与l都相交
【典题3】 如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是 ( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
巩固练习
1(★) 在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
2(★) 已知直线m ,n ,l，若m∥n ,n∩l=P，则m与l的位置关系是 ( )
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线D．相交直线或异面直线
3(★) 下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
4(★) 平面α与平面β ,γ都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．1条或2条交线 B．2条或3条交线
C．仅2条交线 D．1条或2条或3条交线
5(★) 若三个平面两两相交，则它们的交线条数是 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
平面与空间点、直线、面之间的位置关系
1 平面
无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD (×)；两个平面可相交于一点 (×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
① 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 (×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
② 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③ 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3 图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2 空间点，直线，面之间的位置关系
① 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系
共面:异面:a∩ b=A,a//ba与b异面
(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a // b, b / / c⟹ a / / c
(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4) 异面直线:
(i) 定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii) 图形语言
符号语言
P∉αA∈αa∈αA∉α⟹PA与a异面
② 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系
l⊂α 在面内l∩α=A 相交l//α 平行
(2) 图形语言
例 若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案 m//M或者m⊂M.
③ 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系
α //β 平行α∩β=a 斜交α⊥β 垂直
(2) 图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】 设P表示一个点，a ,b表示两条直线，α ,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )．
① P∈a ,P∈α⇒a⊂α ② a∩b=P ,b⊂β⇒a⊂β
③ a∥b ,a⊂α ,P∈b ,P∈α⇒b⊂α ④ α∩β=b ,P∈α ,P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【解析】对于① 当a∩α=P时，P∈a ,P∈α，但a⊄α，①错；
对于② a∩β=P时，②错；
对于③ 如图，∵a //b ,P∈b ,∴P∉a ,∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β ,但β经过直线a与点P ,∴β与α重合，∴b⊂α ,故③正确；
对于④ P∈α ,P∈β⇒点P是平面α、β的公共点，α∩β=b⇒线b是平面α、β的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选D.
【点拨】
① 熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；
② 判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；
③ 确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.
【典题2】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【解析】 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示．
【点拨】
其实就是过三直线A1D1，EF，CD中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点M、N，
则直线MN为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线MN有无数条.
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P ,Q ,R 分别在棱AB ,BB1 ,CC1 上，且DP，QR 相交于点O，求证O ,B ,C 三点共线.
【证明】 ∵ P∈直线AB ,D∈直线CD， ∴P∈平面ABCD. D∈平面ABCD.
∴直线DP平面ABCD.
又∵O∈直线DP，∴ O∈平面ABCD. 同理可证，O∈平面BCC1B1.
∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直线BC，∴ O∈直线BC.
∴O ,B ,C 三点共线.
【点拨】
① 本题利用了基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
② 证明三点A、B、C共线，一般思路是证明点A在直线BC上.
【典题2】 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1) E、C、D1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点．
【证明】
(1) 连接EF, CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF//A1B.
又A1B//D1C ,∴EF//CD1，
∴直线EF与直线CD1共面，即E、C、D1、F四点共面．
(2) ∵EF//CD1 ,EF则由P∈CE ,CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA，
∴P∈直线DA ∴CE、D1F、DA三线共点．
【点拨】
① 证明四点共面可转化为两线共面，即证明两直线必定相交或平行(利用推论2：两相交线确定一个平面和推论3：两条平行直线确定一个平面)；
② 证明三线a,b,c共点P，一般思路是
(1) 先设两直线a,b相交于点P,再证明点P∈c.
(2) 证明a与b相交于点P，c与b相交于点M，再证明两交点P、M重合；
③ 证明多线共面，首先由其中两直线确定平面，再证其余直线在此平面内.
巩固练习
1(★★) 一块蛋糕切三道最多可以切 块？
【答案】8
2(★) 下列命题正确的是 ( )
Ａ.经过三点确定一个平面 Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面 Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【答案】D
【解析】对于A,若三点共线时就错了；对于B，若点在直线上，是不能确定一个平面的；对于C，空间四边形就不属于平面图形，注意四边形在立体几何里分为平面四边形和空间四边形了。
3(★) 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
4(★★) 空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是________．
【答案】(0，3)
【解析】如图所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC=0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC=3，故AC的取值范围是05(★★★) 如图，已知 E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明 FE、HG、DC三线共点．
【证明】
连结C1B，HE，FG，由题意知HC1//EB, HC1=EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形．∴HE∥C1B.
又C1G=GC=CF=BF，故GF=12C1B，GF//C1B
∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交．
设交点为K，则K∈HG，HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.
∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD.
∵平面D1C1CD∩平面ABCD=DC，
∴K∈DC，∴FE、HG、DC三线共点．
6(★★★) 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱AA1，CC1的中点,
求证点D1，E，F，B共面.
【证明】 连接D1E，D1F，并分别延长，使D1F与DC的延长线交于点H，
D1E的延长线与DA的延长线交于点G.
∵ D1，E，F三点不共线，∴ D1，E，F确定一个平面α.∴ G，H∈α.
又∵点 E是AA1的中点，∴EA//DD1,EA=12DD1 ，∴ 点 A是DG的中点.
同理可得，点C是DH的中点.
∴ CH = BC = BA = GA.
又∵ 四边形 ABCD是正方形，∴ ∠BCH = ∠BAG = 90°.
连接BH，BG. ∴ △BCH，△GAB是全等的等腰直角三角形.
∴ ∠CBH =∠ABG = 45°.
∴ ∠GBA +∠ABC+∠CBH = 180°.
∴ G，B，H三点共线.
又G，H∈α，∴ GHα，而B∈GH， ∴ B∈α.
∴ D1，E，F，B四点共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 ( )
Ａ.异面直线Ｂ.相交直线Ｃ.不相交直线Ｄ.不平行直线
【解析】 已知直线a与b是异面直线，直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交与点A ,B，C ,D，

根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．
下面证明两条直线不平行
假设直线AB与直线CD平行，则A ,B ,C ,D四点共面，
所以直线BD与直线AC共面，
这与直线a、直线b异面相互矛盾，
所以假设错误，即直线AB与直线CD不平行．
所以分别与两条异面直线都相交的两条直线一定不平行．
故选D．
【点拨】证明两条直线不平行时，利用了反证法.
【典题2】 若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则 ( )
A.a内所有直线与l异面 B.a内不存在与l平行的直线
C.a内存在唯一的直线与l平行 D.a内的直线与l都相交
【解析】若直线l不平行于平面a，且l⊄a,则l与平面a相交，
a内与l相交的直线在同一面内，故A选项错误．
直线l与面相交的点，过此点的所有直线均与l相交，平面内其他的线则不与其相交，故C，D项说法错误．
若a内存在与l平行的直线，则根据线面平行的判定定理可知l与面a平行，已知直线l不平行于平面a，故a内不存在与l平行的直线，B项说法正确．
故选B．
【点拨】
① 线面的位置关系有：在面内l⊂α,相交l∩α=A,平行l//α;
② 在证明选项B的时候利用了反证法.
【典题3】 如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是 ( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
【解析】 A选项中，若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7或8部分；故A不正确．
B选项中，若两个平面互相平行，另一平面与它们相交，则把空间分成6部分；故B正确．
C选项中，若三个平面两两相交于同一条直线，则把空间分成6部分；故C正确．故选D．
【点拨】本题考核空间想象能力，要注意多种情况,可根据交线的条数进行分类讨论.
巩固练习
1(★) 在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
【答案】 ②④
【解析】 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面．
2(★) 已知直线m ,n ,l，若m∥n ,n∩l=P，则m与l的位置关系是 ( )
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线D．相交直线或异面直线
【答案】 D
【解析】 如图，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴AB与DD1异面，
AB∥CD，CD∩AD=D，∴AB与AD相交，
∴若m∥n，n∩l=P，则l与m的位置关系 相交或异面．故选D．
3(★) 下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 B,只有④对．
4(★) 平面α与平面β ,γ都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．1条或2条交线 B．2条或3条交线
C．仅2条交线 D．1条或2条或3条交线
【答案】D
【解析】①若平面β∥平面γ，平面α与平面β，γ都相交，则它们有2条交线，且这2条交线互相平行；
②若平面β∩平面γ=a，平面α是经过直线a的平面，则三个平面只有一条交线，即直线a；
③若平面β∩平面γ=a，平面α与平面β，γ都相交，但交线与直线a不重合，则它们有3条交线，例如棱柱或棱锥的三个侧面相交于三条直线，即三条侧棱
综上所述，这三个平面的交线的条数可能是1条、2条或3条
故选 D
5(★) 若三个平面两两相交，则它们的交线条数是 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
【答案】D
【解析】如图，三个平面有一条交线的情况，
三个平面有两条交线的情况，
故选D．