人教B版高中数学必修第二册第4章章末综合提升学案

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类型1　指数、对数的运算问题解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如Neq \s\up10(eq \f(1,b))＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．【例1】　(1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　)A．6　　　　　　　 B．3C．eq \f(5,2) D．eq \f(1,2)(2)已知2a＝5b＝c，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则c＝________．(1)A　(2)10　[(1)由xlog23＝1得x＝log32，所以3x＋9x＝3eq \s\up10(log32)＋(3eq \s\up10(log32))2＝2＋4＝6．(2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,log2c)＋eq \f(1,log5c)＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10．] 类型2　函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．【例2】　(1)若幂函数f(x)＝xeq \s\up10(eq \f(m,n))(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则(　　)A．m，n是奇数，且eq \f(m,n)<1B．m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)>1C．m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)<1D．m是奇数，n是偶数，且eq \f(m,n)>1(2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2．∴loga2≥1，∴10，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．[思路探究]　(1)结合f(3)0，解得－10．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥3，,u3＝32－3a>0，))无解；②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0．∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤2，,u2＝22－2a>0，))解得a<2．∴实数a的取值范围为(1,2)．【例5】　设m为给定的实常数，若函数y＝f(x)在其定义域内存在实数x0，使得f(x0＋m)＝f(x0)＋f(m)成立，则称函数f(x)为“G(m)函数”．(1)若函数f(x)＝2x为“G(2)函数”，求实数x0的值；(2)若函数f(x)＝lg eq \f(a,x2＋1)为“G(1)函数”，求实数a的取值范围；(3)已知f(x)＝x＋b(b∈R)为“G(0)函数”，设g(x)＝x|x－4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有eq \f(gx1－gx2,fx1－fx2)>2成立，求实数t的最大值．[解]　(1)由f(x)＝2x为“G(2)函数”，得f(x0＋2)＝f(x0)＋f(2)即2eq \s\up10(x0＋2)＝2eq \s\up10(x0)＋22，解得x0＝log2eq \f(4,3)，故实数x0的值为log2eq \f(4,3)．(2)由函数f(x)＝lg eq \f(a,x2＋1)为“G(1)函数”可知，存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，lg eq \f(a,x0＋12＋1)＝lg eq \f(a,x\o\al(2,0)＋1)＋lg eq \f(a,2)，即eq \f(a,x0＋12＋1)＝eq \f(a2,2x\o\al(2,0)＋1)；由eq \f(a,x2＋1)>0，得a>0, 整理得(a－2)xeq \o\al(2,0)＋2ax0＋2a－2＝0．①当a＝2时，x0＝－eq \f(1,2)，符合题意；②当a≠2时，由Δ＝4a2－4(a－2)(2a－2)≥0，即a2－6a＋4≤0，解得3－eq \r(5)≤a≤3＋eq \r(5)且a≠2；综上，实数a的取值范围是[3－eq \r(5)，3＋eq \r(5)]．(3)由f(x)＝x＋b为“G(0)函数”，得f(x0＋0)＝f(x0)＋f(0)，即f(0)＝0，从而b＝0，f(x)＝x，不妨设x1>x2，则由eq \f(gx1－gx2,fx1－fx2)>2，即eq \f(gx1－gx2,x1－x2)>2，得g(x1)－2x1>g(x2)－2x2，令F(x)＝g(x)－2x，则F(x)在区间[0，t]上单调递增，又F(x)＝x|x－4|－2x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－6x，x≥4,2x－x2，x<4))， 如图，可知00，方程a＝2－3x与a＝－2－3x各有一个根，从而a<2且a<－2，所以a<－2，取a＝－3(答案不唯一)．]【例7】　函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，函数f(x)＝4x－2x＋1(x∈M)．(1)求M；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈M时，若关于x的方程4x－2x＋1＝b(b∈R)有实数根，求b的取值范围，并讨论实数根的个数．[解]　(1)x2－4x＋3>0，(x－1)(x－3)>0，x<1或x>3，∴M＝{x|x<1或x>3}．(2)设t＝2x，∵x<1或x>3，∴t∈(0,2)∪(8，＋∞)，f(x)＝g(t)＝t2－2t＝(t－1)2－1，当t∈(0,1)时g(t)递减，当t∈(1,2)时g(t)递增，g(1)＝－1，g(0)＝g(2)＝0，所以t∈(0,2)时，g(t)∈[－1,0)，当t∈(8，＋∞)时g(t)递增，g(8)＝48，所以g(t)∈(48，＋∞)故f(x)的值域为[－1,0)∪(48，＋∞)．(3)b＝4x－2x＋1，即b＝f(x)，方程有实根，∴函数y1＝b与函数y2＝f(x)(x∈M)的图像有交点．由(2)知f(x)∈[－1,0)∪(48，＋∞)，所以当b∈[－1,0)∪(48，＋∞)时，方程有实数根．下面讨论实根个数：①当b＝－1或当b∈(48，＋∞)时，方程只有一个实数根；②当b∈(－1,0)时，方程有两个不相等的实数根；③当b∈(－∞，－1)∪[0,48]时，方程没有实数根．