必修 第二册6.2.1 向量基本定理学案设计

6.2　向量基本定理与向量的坐标

6.2.1　向量基本定理

知识点1　共线向量基本定理

1．共线向量基本定理

如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

在共线向量基本定理中：

(1)b＝λa时，通常称为b能用a表示．

(2)其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.

1．在共线向量基本定理中，为什么要求a≠0?

[提示]　若a＝0，则0∥b，但是λ0＝0，从而b＝λa中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

2．三点共线

如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是存在实数λ，使得＝λ.

1．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面对a，b的判断正确的是(　　)

A．a与b一定共线　 B．a与b一定不共线

C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0

B　[由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1＝k2＝0，故选B．]

2.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝(　　)

A．0 B．1 

C．2　　　 D．

D　[当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.

∴n＝2m，此时，m，n共线．]

知识点2　平面向量基本定理

1．平面向量基本定理

如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.

2．基底

平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．

2.设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？

[提示]　平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底． (　　)

(2)0能与另外一个向量a构成基底． (　　)

(3)平面向量的基底不是唯一的．  (　　)

[提示]　平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

4.如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为(　　)

A．e1＋e2　　　 B．－2e1＋e2

C．2e1－e2 D．2e1＋e2

B　[a＝－2e1＋e2.]

类型1　共线向量基本定理的应用

【例1】　(对接教材P155例3)已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn.

(1)判断a，b是否平行；

(2)若a∥c，求x的值．

[解]　(1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，

∴∴∴λ不存在．

∴a与b不平行．

(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra.

∴m＋xn＝r(3m＋2n)．

∴∴∴x＝.

利用共线向量基本定理可解决哪两类向量问题？

[提示]　(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，根据λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；

(2)已知向量求参数．

1．已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果＝e1－e2，＝2e1－8e2，＝3(e1＋e2)，求证：A，B，D三点共线；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

[解]　(1)证明：因为＝e1－e2，

＝＋＝2e1－8e2＋3e1＋3e2＝5(e1－e2)＝5，

所以，共线，又，有公共点B，

所以A，B，D三点共线．

(2)要使ke1＋e2与e1＋ke2共线，

则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

由于e1与e2不共线，故

所以k＝±1．

类型2　用基底表示向量

【例2】　已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.

[思路探究]　和是两个不共线向量，于是可以看作一组基底，那么平面中的任一向量可以用和来表示，关键是利用向量线性运算确定系数．

[解]　如图所示，连接FD，

∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，

∴DC FB．

∴四边形DCBF为平行四边形．

∴＝＝＝b，

＝＝－＝－＝a－b，

＝－＝－－＝－－

＝－－×b＝b－a.

平面向量基本定理的作用以及注意点

(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．

(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．

2．如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)

a＋b　a＋b　[＝－＝＋

＝(－)＋＝＋＝a＋b.

＝－＝＋＝(－)＋

＝＋＝a＋b.]

类型3　平面向量基本定理的综合应用

1．在向量等式＝x＋y中，若x＋y＝1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？

[提示]　三点P，A，B在同一直线上．在向量等式＝x＋y中，若x＋y＝1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则x＋y＝1．

2．平面向量基本定理的实质是什么？

[提示]　平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．

【例3】　平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设＝a，＝b，＝c.

(1)试用a，b，c表示向量，，；

(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．

[思路探究]　本题主要考查平面向量基本定理及应用．

(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量，，；

(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．

[解]　(1)由题意得＝a，＝(b＋c)，

∴＝－＝(b＋c－a)．

同理：＝(a＋c－b)，＝(a＋b－c)．

(2)证明：设线段EL的中点为P1，则

＝(＋)＝(a＋b＋c)．

设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得

＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．

∴＝＝，

即EL，FM，GN交于一点，且互相平分．

1．任意一向量基底表示的唯一性的理解

2.任意一向量基底表示的唯一性的应用

平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：

(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．

(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．

3．如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.

[解]　＝＋＝＋

＝＋(－)＝a＋b.

因为与共线，故可设＝t＝a＋b.

又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，

所以解得

所以＝a＋b.

1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是(　　)

A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．平面内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R

C．λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内，λ1，λ2∈R

D．对于平面α内任意一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对

A　[考查平面向量基本定理．因为e1，e2不共线，所以λ1e1＋λ2e2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B选项λ1，λ2∈R不对，应该是唯一数对；C选项λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D选项应该是唯一一对．]

2．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则实数λ的值为(　　)

A．　　　　 B．－

C．1 D．－1

B　[设a＝kb(k∈R)，

则2e1－e2＝ke1＋kλe2.

∵e1，e2不共线，∴∴λ＝－.]

3．已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t＋(t－1)，则t＝(　　)

A．0 B．1

C．－1 D．任意实数

B　[，，共始点，且P，A，C三点共线，所以t＋t－1＝1，故t＝1，故选B．]

4．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．

3　[∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，

∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，

∴解得∴x－y＝3.]

5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用向量a和b表示c，则c＝________.

a－2b　[∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，

则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)

＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.

又∵e1，e2不共线，

∴解得

∴c＝a－2b.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．共线向量基本定理中的条件“a≠0”能否省略？为什么？

[提示]　不能．如果a＝0，b≠0，不存在实数λ，使得b＝λa.如果a＝0，b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.

2．平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉？

[提示]　不能．两个共线向量不能表示平面内的任意向量，不能做基底．

3．理解平面向量基本定理应关注哪三点？

[提示]　(1)a，b是同一平面内的两个不共线向量；

(2)该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的；

(3)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．