高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试导学案

再练一课(范围：4.2.3)

1．函数y＝的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由得

解得<x≤，则函数的定义域为.

2．函数y＝loga(3x－2)＋2的图像必过定点(　　)

A．(1,2)   B．(2,2)

C．(2,3)   D.

答案　A

解析　∵y＝loga(3x－2)＋2过定点，

∴3x－2＝1，x＝1，y＝loga1＋2＝2，

故图像必过定点(1,2)．

3．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)

A．是增函数   B．是减函数

C．先增后减   D．先减后增

答案　A

解析　当a>1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1在定义域上都是增函数，所以f(x)在定义域上是增函数；

当0<a<1时，y＝logat和t＝(a－1)x＋1在定义域上都是减函数，所以f(x)在定义域上是增函数．

4．设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则(　　)

A．a<c<b   B．b<c<a

C．a<b<c   D．b<a<c

答案　D

解析　y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增，

所以log53<log54<log55＝1，即b<a<1，

又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，

所以c＝log45>log44＝1，

所以c>1，所以b<a<c.

5．函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图像大致为(　　)

答案　C

解析　∵函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)是偶函数，

∴f(x)的图像关于y轴对称，

当x>0时，f(x)＝logax＋1是增函数；

当x<0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，

又图像过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.

6．已知函数f(x)＝则f ＝________.

答案　

解析　∵函数f(x)＝且>0，

∴f ＝log3<0，

f ＝f ＝＝.

7．若0<x<1，y>1，则logx4________logy4.(填“>”“＝”或“<”)

答案　<

解析　因为0<x<1，所以logx4<0，

因为y>1，所以logy4>0，所以logx4<logy4.

8．函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．

答案　

解析　由题意知，0<－x2＋2≤2＝，结合对数函数图像(图略)，知f(x)∈.

9．函数g(x)＝log4(2x)，x∈(2,4)，求g(x)的值域．

解　g(x)＝log4(2x)

＝(log2x＋1)[2(2－log2x)]

＝－(log2x)2＋log2x＋2，x∈(2,4)，

令t＝log2x，则t∈(1,2)，

∵h(t)＝－t2＋t＋2＝－2＋在(1,2)上单调递减，

∴0<h(t)<2，

即g(x)的值域为(0,2)．

10．已知函数f(x)＝的图像关于原点对称，其中a为常数．

(1)求a的值；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围．

解　(1)∵函数f(x)的图像关于原点对称，

∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－＝，

解得a＝－1或a＝1(舍)．

(2)f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)

＝(1＋x)，

当x>1时，(1＋x)<－1，

∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)<m恒成立，

∴m≥－1.

11．当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(1，)   D．(，2)

答案　B

解析　当a>1,0<x≤时，logax<0，不合题意．

当0<a<1时，如图所示，只需<loga，

即logaa2<loga，解得a>，

又a∈(0,1)，∴a∈.

12．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间是________．

答案　(－∞，－3)

解析　设y＝log2t，t＝x2＋2x－3(t>0)，

因为y＝log2t是增函数，要求原函数的单调递减区间，

只需求t＝x2＋2x－3(t>0)的单调递减区间，

由二次函数知x∈(－∞，－3)．

13．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．

答案　

解析　由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，

当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，

所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，

所以b－a的最小值为.

14．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　∵函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，

∴a>1，且2×－a>1；

或0<a<1，且0<2×－a<1.

解得a无解或<a<1.

15．若函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　由－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.

由复合函数单调性可得函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．

要使函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，

只需解得≤m<2.

16．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f ＝0，求不等式f(logax)>0(a>0且a≠1)的解集．

解　因为f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，

所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，f ＝0，

因为f(logax)>0，所以logax>或logax<－.

①当a>1时，由logax>或logax<－，

可得x>或0<x<.

②当0<a<1时，由logax>或logax<－，

可得0<x<或x>.

综上可知，当a>1时，

f(logax)>0的解集为∪(，＋∞)；

当0<a<1时，

f(logax)>0的解集为(0，)∪.