高中人教B版 (2019)第五章 统计与概率本章综合与测试学案设计

这是一份高中人教B版 (2019)第五章 统计与概率本章综合与测试学案设计，共9页。学案主要包含了用样本的频率分布估计总体分布，互斥事件与对立事件的概率计算，古典概型，概率与统计的综合问题等内容，欢迎下载使用。


一、用样本的频率分布估计总体分布
1．(1)用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便．
(2)样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本数据波动大小的，包括方差及标准差．
2．掌握用样本的频率分布估计总体的频率分布，重点提升数据分析和数学运算素养．
例1 为了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率约是多少？
解 (1)频率分布直方图是以面积的形式来反映数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为eq \f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.
因为第二小组的频率＝eq \f(第二小组的频数,样本容量)，
所以样本容量＝eq \f(第二小组的频数,第二小组的频率)＝eq \f(12,0.08)＝150.
(2)由直方图可估计该校全体高一年级学生的达标率约为eq \f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.
反思感悟 总体分布中相应的统计图表主要包括：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等．通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体．
跟踪训练1 从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例．
解 (1)频率分布表如下.
(2)频率分布直方图和折线图如图所示：
(3)成绩在[60,90)分的学生比例约为
0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.
二、互斥事件与对立事件的概率计算
1．互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．运用互斥事件、对立事件的概率公式可以解决复杂的概率问题．
2．使用互斥事件和对立事件的概率公式求解问题，培养正难则反的思想，提高数学运算和逻辑推理的数学素养．
例2 面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).
求：(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
解 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60).
(2)他们都失败，即事件eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C)同时发生．
故P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))
＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5).
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(eq \x\t(A)eq \x\t(B)eq \x\t(C))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
反思感悟 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．
跟踪训练2 甲、乙、丙、丁四人同时参加一等级考试，已知恰有1人过关(事件A)的概率为0.198，恰有2人过关(事件B)的概率为0.38，恰有3人过关(事件C)的概率为0.302,4人都过关(事件D)的概率为0.084.求：
(1)至少有2人过关的概率P1；
(2)至多有3人过关的概率P2.
解 由条件知，事件A，B，C，D彼此互斥．
(1)P1＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.766.
(2)P2＝P(eq \x\t(D))＝1－P(D)＝1－0.084＝0.916.
三、古典概型
1．古典概型的计算关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．
2．通过古典概型判断及运算，培养逻辑推理和数学运算素养．
例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的样本空间为Ω＝{(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)}，共9个样本点．
记事件M为“选出的2名教师性别相同”，
则M＝{(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)}，共4个样本点，
所以选出的2名教师性别相同的概率P(M)＝eq \f(4,9).
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．
记事件N为“从中选出的2名教师来自同一学校”则N＝{(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共6个样本点．
所以选出的2名教师来自同一学校的概率P(N)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
反思感悟 解决古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件总数和随机事件包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
跟踪训练3 甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各随机出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若用A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若用B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件，为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
解 (1)基本事件个数与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤5，1≤y≤5}中的元素一一对应，
所以S中点的总数为5×5＝25(个)，
所以基本事件总数n＝25.
事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5个，故P(A)＝eq \f(5,25)＝eq \f(1,5).
(2)B与C不是互斥事件．因为B与C可以同时发生，
如甲赢一次，乙赢两次时，B，C同时发生．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件有13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，
所以甲赢的概率为eq \f(13,25)，乙赢的概率为eq \f(12,25)，两者不相等，
所以这种游戏规则不公平．
四、概率与统计的综合问题
1．概率与统计相结合，是新课程的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大．
2．借助概率与统计的综合问题，培养数据分析、数学运算等素养．
例4 某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，eq \x\t(b))，(a，b)，(eq \x\t(a)，b)，(eq \x\t(a)，eq \x\t(b))，(a，b)，(a，b)，(a，eq \x\t(b))，(eq \x\t(a)，b)，(a，eq \x\t(b))，(eq \x\t(a)，eq \x\t(b))，(a，b)，(a，eq \x\t(b))，(eq \x\t(a)，b)，(a，b)．其中a，eq \x\t(a)分别表示甲组研发成功和失败；b，eq \x\t(b)分别表示乙组研发成功和失败．
(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．
解 (1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，
其平均数为eq \x\t(x)甲＝eq \f(10,15)＝eq \f(2,3)；
方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,15)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×10＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×5))＝eq \f(2,9).
乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，
其平均数为eq \x\t(x)乙＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5)；
方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,15)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))2×9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(3,5)))2×6))＝eq \f(6,25).
因为eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)所以甲组的研发水平优于乙组．
(2)记E＝{恰有一组研发成功}．
在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是
(a，eq \x\t(b))，(eq \x\t(a)，b)，(a，eq \x\t(b))，(eq \x\t(a)，b)，(a，eq \x\t(b))，(a，eq \x\t(b))，(eq \x\t(a)，b)，共7个．
故事件E发生的频率为eq \f(7,15).
将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝eq \f(7,15).
反思感悟 (1)概率的应用问题是与统计紧密相联系的，因此要熟悉统计中的各种图表的应用，才能正确的解答概率应用问题．
(2)实际问题中的概率问题，要注意首先找出事件的和与事件的积，才能正确使用互斥事件的概率加法公式，与独立事件的概率乘法公式．
跟踪训练4 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值．(精确到0.01，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
附：eq \r(74)≈8.602.
解 (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为eq \f(14＋7,100)＝0.21.
产值负增长的企业频率为eq \f(2,100)＝0.02.
用样本频率分布估计总体频率分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.
(2)eq \x\t(y)＝eq \f(1,100)(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
s2＝eq \f(1,100)[2×(－0.1－0.3)2＋24×(0.1－0.3)2＋53×(0.3－0.3)2＋14×(0.5－0.3)2＋7×(0.7－0.3)2]
＝0.029 6，
s＝eq \r(0.029 6)＝0.02×eq \r(74)≈0.17，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30和0.17.
1．(2018·全国Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案 A
解析 设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村的经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
故选A.
2．(2019·全国Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
答案 C
解析 根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为eq \f(70,100)＝0.7.
3．(2019·全国Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
答案 A
解析 记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.
4．(2020·全国Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,5)
答案 A
解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为eq \f(2,10)＝eq \f(1,5).
5．(2020·全国Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解 (1)由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq \f(40,100)＝0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为eq \f(28,100)＝0.28.
(2)甲分厂加工100件产品的总利润为
40×(90－25)＋20×(50－25)＋20×(20－25)－20×(50＋25)＝1 500(元)，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元；
乙分厂加工100件产品的总利润为
28×(90－20)＋17×(50－20)＋34×(20－20)－21×(50＋20)＝1 000(元)，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元．
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选择甲分厂承接加工业务．成绩分组
频数
频率
频率/组距
[40,50)
2
0.04
0.004
[50,60)
3
0.06
0.006
[60,70)
10
0.2
0.020
[70,80)
15
0.3
0.030
[80,90)
12
0.24
0.024
[90,100]
8
0.16
0.016
合计
50
1.00
0.100
y的分组
[－0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80]
企业数
2
24
53
14
7
新农村建设前
新农村建设后
新农村建设后变化情况
结论
种植收入
60%a
37%×2a＝74%a
增加
A错
其他收入
4%a
5%×2a＝10%a
增加了一倍以上
B对
养殖收入
30%a
30%×2a＝60%a
增加了一倍
C对
养殖收入＋第三产业收入
(30%＋6%)a＝36%a
(30%＋28%)×2a＝116%a
超过经济收入2a的一半
D对
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21