高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试导学案

微专题2　与指数函数、对数函数有关的复合函数

与指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的常见函数．

一、判断复合函数的单调性

例1　(1)函数f(x)＝的单调递增区间为________．

答案　(－∞，1)

解析　令t＝x2－2x－1，

所以函数t＝x2－2x－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

又y＝t是R上的减函数，

故f(x)＝在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

(2)已知函数f(x)＝loga(a－ax)(a>1)，判断并证明f(x)的单调性．

解　f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：

由f(x)＝loga(a－ax)(a>1)，

得a－ax>0，即x<1.

所以f(x)的定义域为(－∞，1)．

任取1>x1>x2，因为a>1，

所以，

所以0<a－<a－，

所以loga(a－)<loga(a－)，

即f(x1)<f(x2)，

故f(x)在(－∞，1)上为减函数．

反思感悟　形如y＝logaf(x)的函数单调性的判断：首先要求定义域D，当a>1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性(在定义域D内)保持一致，当0<a<1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性(在定义域D内)相反．

二、已知复合函数单调性求参数范围

例2　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．

解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，

∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上是增函数，

∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，

即

∴2≤a≤2(＋1)，

故实数a的取值范围是[2，2＋2]．

三、求复合函数的值域

例3　求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)f(x)＝log2·log2(1≤x≤4)．

解　(1)∵1－x2≤1，

∴≤21＝2，

∴0<y≤2，

故y＝的值域为(0,2]．

(2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)

＝2－，

又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，

∴当log2x＝，即x＝＝2时，f(x)取最小值－；

当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2，

∴函数f(x)的值域是.

四、求复合函数的最值

例4　求函数y＝(x)2－x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．

解　因为2≤x≤4，

所以2≥x≥4，

即－1≥x≥－2.

设t＝x，则－2≤t≤－1.

所以y＝t2－t＋5，其图像的对称轴为直线t＝，

所以当t＝－2时，函数在区间[2,4]上的最大值为10；

当t＝－1时，函数在区间[2,4]上的最小值为.

五、与复合函数有关的不等式问题

例5　已知x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，求实数m的取值范围．

解　原不等式变形为m2－m<x，

因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数．

所以x≥－1＝2，

当x∈(－∞，－1]时，m2－m<x恒成立等价于m2－m<2，

结合f(m)＝m2－m－2的图像解得－1<m<2.

故实数m的取值范围为(－1,2)．

六、判断复合函数的奇偶性

例6　已知函数f(x)＝lg(－x)，判断f(x)的奇偶性．

解　因为|x|≥x，所以>＝|x|≥x，

所以－x>0，

所以f(x)的定义域为R，关于原点对称．

又f(－x)＋f(x)＝lg(＋x)＋lg(－x)

＝lg[(＋x)(－x)]

＝lg(1＋x2－x2)

＝lg 1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．