高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数本章综合与测试单元测试同步训练题

第四单元指数函数、对数函数与幂函数单元测试卷人教B版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 质数也叫素数，17世纪法国数学家马林梅森曾对“”是素数型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“”是素数形式的素数称为梅森素数已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为
   参考数据：

A.  B.  C.  D.

2. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围是  

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是   

A.
B.
C.
D.
 

4. 若函数且在R上为减函数，则函数的图象可以是

A.  B.  C.  D.

5. 若函数与函数互为反函数，则   

A. 9 B. 11 C. 16 D. 18

6. 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则．

A.  B.  C.  D.

7. 已知幂函数在上为减函数，则

A.  B. 9 C.  D. 3

8. 下面对函数，与在区间上的衰减情况说法正确的是

A. 衰减速度越来越慢，衰减速度越来越快，衰减速度越来越慢
B. 衰减速度越来越快，衰减速度越来越慢，衰减速度越来越快
C. 衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢
D. 衰减速度越来越快，衰减速度越来越快，衰减速度越来越快

9. 某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数正常情况，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分计算当月绩效工资y元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少．则下列函数最符合要求的是 

A.  B.
C.  D.

10. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为，月球质量为，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：设由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为．

A.  B.  C.  D.

11. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”，大气压强随海拔高度的变化规律是，是海平面大气压强已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为    参考数据：

A. 550m B. 1818m C. 5500m D. 8732m

12. 函数的反函数记为，则的单调增区间是   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

13. 把根号外的a移到根号内等于          ．
14. 已知函数，且在上是减函数，则实数a的取值范围是          ．
15. 若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则          ．
16. 已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为           ．
17. 在流行病学领域，常用Logisitic模型作为预测预警模型，有学者根据已公布的数据建立了某国新冠肺炎在时间段单位：天内的Logistic函数为，其中，为累积确诊病例数，M为D内最大的每天确诊病例数，当时，标志着疫情已取得初步遏制，则此时t约为            天精确到1天．
18. 某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：，乙：，丙：，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择          方案．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数，且，在区间上的最大值为m，最小值为n．

若，求实数a的值；

若，求实数a的值．






 

20. 已知且满足不等式．

求实数a的取值范围．  

求不等式．

若函数在区间有最小值为，求实数a值．






 

21. 计算；

已知，求的值．






 

22. 函数，，的图象如下图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异以1，e，a，b，c，d为分界点．

23. 已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部并且全部销售完，每万部的收入为万元，且．

写出年利润万元关于年产量万部的函数关系式；

当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，属于中档题．
由题意可知，两边同时取常用对数，再利用对数的运算性质即可求出结果．

【解答】

解：，
令，两边同时取常用对数得：，
，
，
与最接近的数为，
故选：D．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为恒成立，结合二次函数的图象和性质得到a的取值范围．

【解答】

解：原式变形为：恒成立，
函数是R上的单调递增函数，
恒成立，
即恒成立，
，
解得．
故选B．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查由对数函数的图象求参数范围，涉及幂函数图象的应用．

根据对数函数的图象，求得参数范围，再结合幂函数的图象，即可判断．

【解答】

解：由的图象可知，
，即
得，，

所以，
所以幂函数在第一象限的图象可能为B．

故选：B．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．
由函数且在R上为减函数，由此求得a的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．

【解答】

解：由函数且在R上为减函数，故．
函数是偶函数，定义域为或，
函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，
故选D．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查反函数，属于基础题．
先求出，再计算即可．

【解答】

解：因为函数与函数互为反函数，
所以，
则．
故选D．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查反函数及函数图象的变换，考查运算求解能力、化归与转化思想．
根据两个函数的图象关于直线对称可知这两个函数互为反函数，故只要利用求反函数的方法求出原函数的反函数，然后再求出函数的解析式即可．

【解答】

解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，
函数与函数互为反函数，
又函数的反函数为：，
即，函数的图象向左平移两个单位可得，
．
故选D．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题．
由幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，写出函数解析式，再计算的值．

【解答】

解：由幂函数在上为减函数，
所以，
解得，
所以，
计算．
故选：A．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的当图像为下凸的减函数时如本题减小速度是越来越慢的．

本题考查函数图象的应用，中档题．

【解答】

解：画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C因为三个函数都是下凸函数，
选C．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了几种类型的初等函数模型的应用问题，属于中档题．
根据题意，拟定函数应满足是单调增函数，且先慢后快；在左右增长缓慢，最小值为500，根据要求判定选项中的函数是否满足即可．

【解答】

解：由题意知：函数应满足单调递增，且先慢后快，在左右增长缓慢，最小值为500，
A是先减后增，B由指数函数知是增长越来越快，C由对数函数知增长速度越来越慢，
D是由经过平移和伸缩变换而得，故最符合题目要求．
故选D．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
由，推导出，由此能求出．

【解答】

解：，  ，
且r满足方程，
，
．
故选：D．

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算，指数运算，数学模型的应用，属于中档题．
由题意可得，两边取对数结合题干条件可求出答案．

【解答】

解：依题意，
，，
，
两边取对数得：，
，
则，
故选C．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了反函数的求法、二次函数、对数函数与复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
先根据反函数的定义求出，再根据复合函数单调性求的单调增区间．

【解答】

解：与互为反函数，
．
则函数，由，解得．
的定义域为，
令，其在单调递减，在上单调递减，
函数的单调增区间是．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了根式的性质，考查了学生的逻辑推理能力，是中档题．
由题意可知，即可算出结果．

【解答】

解：由题意可知，，
，
故答案为：．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复合函数的单调性，一次函数与对数函数的性质，要特别注意对数函数的定义域，属于中档题．
根据复合函数的单调性， 令，得，因为，所以递减，从而在定义域内递增，所以又因为在上恒大于0，从而根据一次函数的性质得，综上即可求得结论．

【解答】

解：令，得，
因为，所以递减，
又因为在上是减函数，
所以在定义域内递增，所以．
又因为在上恒大于0，
所以，即．
综上，．
故答案为．

15.【答案】16
 

【解析】

【分析】

本题考查反函数，属于中档题．
根据反函数与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案．

【解答】

解：函数的图象经过点，
可得：，解得：，
 ，
点在的反函数图象上，
即在的图象上，
则有：，
解得：，
故答案为：16．

16.【答案】2
 

【解析】

【分析】

本题考查了幂函数的概念、解析式、性质，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，属于中档题．
利用幂函数的定义可知，利用幂函数在上单调递增，可知，从而解得m的值．

【解答】

解：因为幂函数在上单调递增，
所以，解得．
故答案为：2．

17.【答案】63
 

【解析】

【分析】

本题考查函数模型的综合应用，属于中档题．
根据建立关于t的方程，解方程即可得答案．

【解答】

解：当时，即，
即，
故答案为：63．

18.【答案】乙、甲、丙
 

【解析】

【分析】

本题考查不同函数模型的增长速度的差异．
利用数形结合方法可以得到对应投资额下的利润大小关系，进而根据利润最大化原则做出相应选择．

【解答】

解：在同一坐标系中画出函数甲：，乙：，丙：，的图象，如图所示：
同时画出直线，，，其相应交点的纵坐标即为500元，1000元，1500元时的利润，
由图可知，应分别选择乙、甲、丙方案，
故答案为乙、甲、丙．
 

19.【答案】 解：因为无论还是，函数的最大值是a和中的一个，最小值为另一个，

所以，解得或舍去，

故实数a的值为2．

当时，函数在区间上是减函数，其最大值，最小值，

所以由题意，得，解得或舍去，所以．

当时，函数在区间上是增函数，其最大值，最小值，

所以由题意，得，解得或舍去，所以．

综上，实数a的值为或2．

【解析】 本题考查由函数最值求参数取值范围．
依据函数为单调函数易求实数a的值为2．
分类讨论，当时，函数在区间上是减函数，其最大值，最小值，所以由题意，得，解得或舍去，所以同理求当时，可得．
 

20.【答案】解：，
，即，
，
又，
．
由知，
．
等价于
即，
，
即不等式的解集为
，
函数在区间上为减函数，
当时，y有最小值为，
即，
，
解得或舍去，
所以．
 

【解析】本题指数函数和对数函数的性质，考查了计算能力，属于中档题．
根据指数函数的单调性可得，结合即可求实数a的取值范围；
根据对数函数的单调性可列出不等式组，求解即可；
根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．
 

21.【答案】解：

，

则

故．

【解析】本题考查指数幂的化简和对数式运算的化简．
根据指数幂的运算法则逐一进行化简；

将指数化成对数，根据对数的运算法则进行化简．

22.【答案】解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线对应的函数是，曲线对应的函数是，曲线对应的函数是．
由题图知，当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
 

【解析】本题考查指数爆炸与对数增长及幂函数增长的差异，掌握分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．
由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得：
曲线对应的函数是，曲线对应的函数是，曲线对应的函数是由题图知，再分类讨论：当时，当时，
当时，当时，当时，当时，当时，得出，，的大小关系即可．
 

23.【答案】解：


，．
由可得
，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，y取得最大值57600万元．
当年产量为50万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为57600万元．
 

【解析】本题考查函数模型的应用，利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
当时，，化简即可求出；
利用基本不等式即可求出．