第4章章末综合提升 学案 高中数学新人教B版必修第二册（2022年）

第4章 指数函数、对数函数与幂函数

(教师独具)

类型1　指数、对数的运算问题

解决这类问题首先要熟练掌握指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则，熟练掌握各种变形．如N＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的不同表示形式，因此在许多问题中要能熟练进行它们之间的相互转化，选择适合题目的形式进行运算．

【例1】　(1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．3

C． D．

(2)已知2a＝5b＝c，＋＝1，则c＝________.

(1)A　(2)10　[(1)由xlog23＝1得x＝log32，所以3x＋9x＝3＋(3)2＝2＋4＝6.

(2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，＋＝＋＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10.]

1．求值：(1)－(－9.6)0－＋(1.5)－2；

(2)log25·log45－log3－log24＋5.

[解]　(1)原式＝－1－＋

＝－1－＋＝－1－＋＝.

(2)原式＝－log52·log25＋log33－2log22＋2

＝－＋1－2＋2＝.

类型2　函数图像与性质的应用

指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数，它们的图像和性质是考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，熟记性质，特别要注意指数函数与对数函数的底数在取不同值时，对图像和性质的影响．

【例2】　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)　　B．(1,2)　　C．(1,2]　　D．

C　[设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0<a<1时，显然不成立．

当a>1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2.

∴loga2≥1，∴1<a≤2，故选C．]

2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝.

(1)画出函数f(x)的图像；

(2)根据图像写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

[解]　(1)先作出当x≥0时，f(x)＝的图像，利用偶函数的图像关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图像．

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

类型3　数的大小比较问题

比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，最基本的方法是将需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较．

【例3】　(1)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c　　　 B．b＞a＞c

C．b＞c＞a D．c＞b＞a

(2)设a＝log2，b＝log3，c＝，则(　　)

A．a＜b＜c B．a＜c＜b

C．b＜c＜a D．b＜a＜c

(1)C　(2)D　[(1)∵a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1,0＜c＝0.30.2＜0.30＝1，∴b＞c＞a.故选C．

(2)∵a＝log2＜0，b＝log3＜0，log2＞log3，log3＞log3，c＝＞0.∴b＜a＜c.故选D．]

3．已知0＜a＜1，x＝loga ＋loga ，y＝loga5，z＝loga －loga ，则(　　)

A．x＞y＞z B．z＞y＞x

C．y＞x＞z D．z＞x＞y

C　[依题意，得x＝loga ，y＝loga，z＝loga .又0＜a＜1，＜＜，因此有loga ＞loga ＞loga ，即y＞x＞z.]

类型4　分类讨论思想

所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全面，明确分类的标准，不重不漏地分类讨论．在初等函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据函数的图像和性质，依据函数的单调性分类讨论，使得求解得以实现．

【例4】　已知函数f(x)＝x(m∈N)为偶函数，且f(3)<f(5)．

(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a>0，且a≠1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．

[思路探究]　(1)结合f(3)<f(5)，与函数f(x)的奇偶性，分类讨论确定m的值及f(x)的解析式．

(2)由g(x)为增函数，结合a讨论，求出a的取值范围．

[解]　(1)由f(3)<f(5)，得3<5，

∴<1＝.

∵y＝为减函数，

∴－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<.

∵m∈N，∴m＝0或1．

当m＝0时，f(x)＝x＝x3为奇函数，不合题意；

当m＝1时，f(x)＝x＝x2为偶函数．

综上，m＝1，此时f(x)＝x2.

(2)由(1)知，当x∈[2,3]时，g(x)＝loga(x2－ax)．

①当0<a<1时，y＝logau在其定义域内单调递减，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递减，且u(x)>0.

∴无解；

②当a>1时，y＝logau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则需u(x)＝x2－ax在[2,3]上单调递增，且u(x)>0.

∴解得a<2.

∴实数a的取值范围为(1,2)．

4．设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．

[解]　当0<a<1时，有a3<a2，即a3＋1<a2＋1．

又当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，

∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q；

当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1．

又当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，

∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.

综上可得P>Q.

类型5　函数与方程思想

【例5】　若函数f(x)＝10|lg x|－a有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<1 B．a>1

C．a≤1 D．a≥1

B　[若函数f(x)＝10|lg x|－a有两个零点，

则10|lg x|－a＝0有两个实数根，即10|lg x|＝a有两个实数根，

转化为函数y＝10|lg x|与y＝a图像有两个不同的交点，为此只要画出y＝10|lg x|的图像即可．

当x≥1时，lg x≥0，y＝10|lg x|＝10lg x＝x；

当0<x<1时，lg x<0，y＝10|lg x|＝10－lg x＝，

所以y＝

这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出，如图．依题意，得a>1．]

5．若关于x的方程|x－2|(x＋1)－m＝0至少有两个实数根，则实数m的取值范围是________．

　[若关于x的方程|x－2|(x＋1)－m＝0至少有两个实数根，则|x－2|(x＋1)＝m至少有两个实数根，即函数y＝|x－2|(x＋1)与y＝m的图像至少有两个交点．

当x≥2时，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝－，

当x<2时，即x－2<0时，

y＝－(x－2)(x＋1)＝－＋，

所以y＝

这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出，如图．依题意，得0≤m≤.]

(教师独具)

1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)

A． B．　　　

C．　　　 D．

B　[法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B．

法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝＝，故选B．]

2．(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)(　　)

A．60 B．63 

C．66 D．69

C　[由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋e－0.23(t*－53)，e－0.23(t*－53)＝，e0.23(t*－53)＝19，∴0.23(t*－53)＝ln 19≈3，∴t*≈66.故选C．]

3．(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)

A．a＜c＜b B．a＜b＜c

C．b＜c＜a D．c＜a＜b

A　[ ∵23＜32，∴2＜3，∴log32＜log33＝，∴a＜c.

∵33＞52，∴3＞5，∴log53＞log55＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A．]

4．(2020·天津高考)设a＝30.7，b＝，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c B．b＜a＜c

C．b＜c＜a D．c＜a＜b

D　[由题知c＝log0.70.8<1，b＝＝30.8，易知函数y＝3x在R上单调递增，所以b＝30.8>30.7＝a>1，所以c<a<b，故选D．]

5．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)＞0 B．ln(y－x＋1)＜0

C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0

A　[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－.设f(x)＝2x－，则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－在R上为增函数，所以f(x)＝2x－在R上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A．]

6．(2020·北京高考)函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．

(0，＋∞)　[函数f(x)＝＋ln x的自变量满足∴x＞0，即定义域为(0，＋∞)．]