（基础篇）2023-2024学年下学期初中数学人教版七年级同步分层作业5.3平行线的性质

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（基础篇）2023-2024学年下学期初中数学人教版七年级同步分层作业5.3平行线的性质一．选择题（共4小题）1．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（　　）A．55° B．60° C．65° D．75°2．如图，AB∥CD，∠CEF＝85°，则∠A的度数是（　　）A．85° B．95° C．105° D．115°3．下列命题中，属于假命题的是（　　）A．三角形三个内角的和等于180o B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．如果a2＝b2，则a＝b4．下列命题中，是真命题的是（　　）A．内错角相等 B．三角形的外角等于两个内角的和 C．五边形的外角和等于360° D．相等的两个角是对顶角二．填空题（共4小题）5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　 　．6．要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，可举出一个反例：　 　．7．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝　 　度．8．已知∠1和∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的3倍少60°，则∠1＝　 　度．三．解答题（共2小题）9．完成下面推理过程：如图，已知：DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．求证：∠FDE＝∠DEB证明：∵DE∥BC（已知）∴∠ADE＝∠　 　（　 　）∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，（已知）∴∠ADF=12∠　 　∠ABE=12∠　 　（　 　）∴∠ADF＝∠ABE∴DF∥　 　（　 　）∴∠FDE＝∠DEB （　 　）10．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．【探索发现】：（1）当∠A＝60°时，求证：∠CBD＝∠A；（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．①当∠A＝40°时，∠CBD＝　 　度；②当∠A＝x°时，∠CBD＝　 　度（用含x的代数式表示）；【操作探究】：（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．（基础篇）2023-2024学年下学期初中数学人教版七年级同步分层作业5.3平行线的性质参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，若m∥n，∠1＝105°，则∠2＝（　　）A．55° B．60° C．65° D．75°【分析】由m∥n，根据“两直线平行，同旁内角互补”得到∠1+∠2＝180°，然后把∠1＝105°代入计算即可得到∠2的度数．【解答】解：∵m∥n，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），而∠1＝105°，∴∠2＝180°﹣105°＝75°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．2．如图，AB∥CD，∠CEF＝85°，则∠A的度数是（　　）A．85° B．95° C．105° D．115°【分析】先根据邻补角互补求出∠DEF的度数，再根据两直线平行，同位角相等得出∠A＝∠DEF，即可求出∠A的度数．【解答】解：∵∠CEF＝85°，∴∠DEF＝180°﹣∠CEF＝180°﹣85°＝95°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠DEF＝95°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键．3．下列命题中，属于假命题的是（　　）A．三角形三个内角的和等于180o B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．如果a2＝b2，则a＝b【分析】根据三角形内角和定理，平行线性质，对顶角性质，平方的意义逐项判断．【解答】解：三角形三个内角的和等于180o，故A是真命题，不符合题意；两直线平行，同位角相等，故B是真命题，不符合题意；对顶角相等，故C是真命题，不符合题意；如果a2＝b2，则a＝±b，故D是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．4．下列命题中，是真命题的是（　　）A．内错角相等 B．三角形的外角等于两个内角的和 C．五边形的外角和等于360° D．相等的两个角是对顶角【分析】根据内错角定义，三角形内角和定理的推论，n边形外交和定理，对顶角定义逐项判断即可．【解答】解：内错角相等是假命题，故A不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故B故符合题意；五边形的外角和等于360°是真命题，故C符合题意；相等的两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的性质和定理．二．填空题（共4小题）5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　74°　．【分析】先求出∠A＝32°，根据折叠的性质得∠1＝∠FED，再根据EF∥AB得∠CEF＝∠A＝32°，然后根据平角的定义得∠CEF+∠FED+∠1＝180°，据此可得∠1的度数．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝180°﹣（90°+58°）＝32°，由折叠的性质得：∠1＝∠FED，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠A＝32°，∵∠CEF+∠FED+∠1＝180°，∴32°+2∠1＝180°，∴∠1＝74°．故答案为：74°．【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，平行线的性质，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，平行线的性质是解决问题的关键．6．要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，可举出一个反例：　锐角是15°，钝角是100°（答案不唯一）　．【分析】根据锐角，钝角及平角的定义解答即可．【解答】解：例如锐角是15°，钝角是100°，∵15°+100°＝115°＜180°，∴命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题．故答案为：锐角是15°，钝角是100°（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题与定理，熟知锐角，钝角及平角的定义是解题的关键．7．如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝　100　度．【分析】首先由AB∥CD得出∠BCD＝∠B＝80°，再由BC∥ED得出∠D+∠BCD＝180°，据此可得出此题的答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝80，∴∠BCD＝∠B＝80°，∵BC∥ED，∴∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．8．已知∠1和∠2的两边分别平行，且∠1比∠2的3倍少60°，则∠1＝　30或120　度．【分析】根据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．【解答】解：①当∠1＝∠2时，∵∠1比∠2的3倍少60°，∴∠1＝3∠1﹣60°，解得∠1＝30°；②当∠1+∠2＝180°时，∵∠1＝3∠2﹣60°，∴∠2+3∠2﹣60°＝180°，解得∠2＝60°，∴∠1＝180°﹣∠2＝120°；故答案为：30或120．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是注意：同一平面内两边分别平行的两角相等或互补．三．解答题（共2小题）9．完成下面推理过程：如图，已知：DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC．求证：∠FDE＝∠DEB证明：∵DE∥BC（已知）∴∠ADE＝∠　ABC　（　两直线平行，同位角相等　）∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，（已知）∴∠ADF=12∠　ADE　∠ABE=12∠　ABC　（　角平分线定义　）∴∠ADF＝∠ABE∴DF∥　BE　（　同位角相等，两直线平行　）∴∠FDE＝∠DEB （　两直线平行，内错角相等　）【分析】根据平行线的性质得出∠ADE＝∠ABC，根据角平分线定义得出∠ADF=12∠ADE，∠ABE=12∠ABC，推出∠ADF＝∠ABE，根据平行线的判定得出DF∥BE即可．【解答】解：理由是：∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∵DF、BE分别平分ADE、∠ABC，∴∠ADF=12∠ADE（角平分线定义），∠ABE=12∠ABC（角平分线定义），∴∠ADF＝∠ABE，∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），故答案为：ABC；两直线平行，同位角相等；ADE；ABC；角平分线定义；BE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．10．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D．【探索发现】：（1）当∠A＝60°时，求证：∠CBD＝∠A；（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量关系．①当∠A＝40°时，∠CBD＝　70　度；②当∠A＝x°时，∠CBD＝　（90-12x）．　度（用含x的代数式表示）；【操作探究】：（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由．【分析】（1）由AM∥BN，∠A＝60可得∠ABN＝120°，再根据角平分线的定义得∠PBD=12∠PBN，∠CBP=12∠ABP，由此可得∠CBD＝∠PBD+∠CBP=12（∠PBN+∠ABP）=12∠ABN＝60°，据此可得出结论；（2）由AM∥BN得∠ABN＝180°﹣∠A，进而可得∠CBD=12∠ABN＝90°-12∠A；①将∠A＝40°代入∠CBD＝90°-12∠A即可得出答案；②当∠A＝x°代入∠CBD＝90°-12∠A即可得出答案；（3）由AM∥BN，∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠NBD，再根据角平分线的定义得BD平分∠PBN得∠PBN＝2∠NBD，由此可得∠APB与∠ADB之间的数量关系．【解答】（1）证明：∵AM∥BN，∠A＝60°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠PBD=12∠PBN，∠CBP=12∠ABP，∴∠PBD+∠CBP=12（∠PBN+∠ABP）=12∠ABN，∴∠CBD＝∠PBD+∠CBP=12∠ABN＝60°，∴∠CBD＝∠A；（2）∠CBD与∠A存在的数量关系是：∠CBD＝90°-12∠A，理由如下：∵AM∥BN，∴∠ABN＝180°﹣∠A，由（1）可知：∠CBD=12∠ABN，∴∠CBD＝1/2（180°﹣∠A）＝90°-12∠A．①当∠A＝40°时，∴∠CBD＝90°-12×40°＝70°，故答案为：70．②当∠A＝x°时，∴∠CBD＝90°-12∠A＝90°-12x°．故答案为：（90-12x）．（3）∠APB与∠ADB之间的数量关系是：∠APB＝2∠ADB，理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠NBD，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠NBD，∴∠APB＝2∠NBD．【点评】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解决问题的关键．