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第六单元 正比例和反比例（知识清单·培优专练）-2023-2024学年六年级数学下册复习讲义（苏教版）
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第六单元 正比例和反比例（知识清单·培优专练）1、正比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。2、判断两种量是否成正比例关系的方法。（1）确定这两种量是不是相关联系的量；（2）确定这两种量的比值是否一定；（3）根据比值是否一定进行正确判断。3、正比例的图像。正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。4、反比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。5、判断两种两是否成反比例关系的方法。（1）看两种量是不是相关联的量；（2）看两种量相对应的数积是否一定，若积一定，则成反比例关系；若积不一定，则不成反比例关系。一、选择题1．①订阅《小学生学习报》的钱数和份数；②一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数；③正方形的周长和边长；④圆的半径和面积。在上面各题中，两种相关联的量成正比例关系的有（ ）个。A．1 B．3 C．2 D．42．下面五句话中，表述正确的有（ ）句。（1）2022年第一季度共有90天。（2）两个质数相乘，积一定是合数。（3）正方形的面积和边长成正比例。（4）﹣2℃和10℃相差8℃；（5）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。A．4 B．3 C．2 D．13．下面各图中都表示了x，y两种变量，（ ）中的两种量成正比例。A．B．C．D．4．林林阅读《西游记》这本书，平均每天看的页数和看的天数（ ）。A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不相关联5．下面和（和均不为0）不成正比例的是（ ）。A． B． C． D．6．下列各式中，（a，b，均不为0）a和b成反比例的是（ ）。A．a×4＝9b B．3b＝16a C．a＝b D．10a－＝07．小明判断两种量是否成比例，成什么比例。他做对了（ ）题。①实际距离一定，图上距离与比例尺。（成反比例）②圆的面积与半径的平方。（成正比例）③同一时间同一地点，杆高与其影长。（成正比例）④每天加工零件的时间一定，每个零件加工的时间与加工的零件个数。（成正比例）A．4 B．3 C．2 D．18．有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量不可能是（ ）。A．圆柱的底面积一定，体积和高 B．单价一定时，购物的总价和购物数量C．路程一定，已走的路程和剩下的路程 D．圆的周长与直径二、填空题9．如果，那么和成( )比例；如果∶3＝10∶，那么和成( )比例。10．如果（m、n都不为0），那么( )，m和n成( )比例。11．科技小组制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米，实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）：(1)在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例。(2)当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克。12．已知A和B是两种相关联的量，当时，，如果A和B成正比例，当时，( )；如果A和B成反比例，当时，( )。13．根据表中的数据，组成两个不同的比例。( )；( )。14．一辆汽车行驶的时间和所行的路程如下表，看表填空。(1)表中相关联的两种量是( )和( )。(2)时间扩大时，路程也( )；时间缩小时，路程也( )。它们扩大或缩小的规律是：路程和时间相对应的两个量的比值( )，也就是( )一定。(3)在路程、时间、速度三者之间存在着＝速度（一定）的数量关系，这就是说速度一定，路程与时间成( )比例。15．如下表，如果a与b成正比例，那么“？”是( )；如果a与b成反比例。那么“？”是( )16．（a和b都是不为0的自然数），a和b成( )比例，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。三、判断题17．圆的半径和周长成正比例。( )18．运120吨货物，每次运的吨数和运的次数成反比例。( )19．图书馆藏书量一定，每天借出的本数和还回的本数不成比例。( )20．看一本书，平均每天看的页数和看完这本书所需的天数成反比例。( )四、计算题21．求未知数。25%x＋20%x＝90 x∶＝12∶ x－40％x＝五、作图题22．小玲用计算机打字的个数和所用的时间如下表：根据表中的数据，在下面的图中描出打字的数量和时间所对应的点，再把它们按顺序连起来。六、解答题23．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。（1）生产产品的时间和产品数量成（ ）比例。（2）照这样计算，36分钟生产产品多少个？24．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高36米。某公司设计制作了这座钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶40。模型的高度是多少米？25．装配一批计算机，每天装配的数量和需要的天数如下表。每天装配的数量和需要的时间成反比例吗？为什么？26．订阅《小学科技报》的数量和总价如下表：（1）写出几组相对应的订阅的总价和数量的比，并求出比值。（2）这个比值表示的实际意义是什么？（3）订阅的总价和数量成正比例吗？为什么？27．一种花布的米数和总价关系如下表：（1）表中总价和米数成什么比例关系？为什么？（2）根据表中的数量关系，画出图象。（3）根据图象估计，如果买这种花布20米，需要多少元？28．下图表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程的情况。（1）两辆汽车行驶的路程和时间成（ ）比例。（2）甲车的速度是（ ）千米/分。（3）两车同时行驶10分钟，所行路程相差多少千米？参考答案1．C【分析】比值（商）一定的两个量成正比例关系。据此分析解题。【详解】①总价÷数量＝单价（一定），那么订阅《小学生学习报》的钱数和份数成正比例关系；②吃掉的大米＋剩下的＝一袋大米，那么一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数不成比例；③周长÷边长＝4，那么正方形的周长和边长成正比例关系；④面积÷半径÷半径＝3.14，那么圆的半径和面积不成正比例关系。所以，两种相关联的量成正比例关系的有2个。故答案为：C2．B【分析】（1）第一季度包括1月、2月和3月，能被4整数的年份是闰年，不能被4整除的年份是平年，所以2022年是平年，2月有28天，据此用（31＋28＋31）即可求出2022年第一季度的天数；（2）一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。据此可知，两个质数相乘，积至少有3个因数，所以两个质数的积是合数；（3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。所以正方形的面积＝边长×边长，面积与边长不成比例。（4）﹣2℃在0℃以下，和0℃相差2℃，10℃在0℃以上，和0℃相差10℃，用2℃＋10℃即可求出﹣2℃和10℃之间的温差。（5）因为圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面周长＝高，所以直径和高的比等于直径和底面周长的比，根据底面周长公式：C＝πd，求出对应的比，再化简即可。【详解】（1）2022÷4＝505……22022年是平年，2月有28天。31＋28＋31＝90（天）2022年第一季度共有90天，所以原题干说法正确。（2）根据分析可知，两个质数相乘，积一定是合数，例如：2×2＝44是合数，所以原题干说法正确。（3）根据分析可知，正方形的面积和边长不成比例，所以原题干说法错误。（4）2℃＋10℃＝12℃﹣2℃和10℃相差12℃。所以原题干说法错误。（5）d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π，所以原题干说法正确。表述正确的有3句。故答案为：B【点睛】本题考查平年、平年的判断方法，质数与合数的认识、正比例和反比例的辨识、正负数的应用、圆柱的侧面展开图等内容，掌握相应的知识点是解答本题的关键。3．B【分析】根据题意判断四幅图中的两种变量，哪一组是成正比例，哪一组是成反比例，根据正比例图像是一条直线，且变化趋势一致；反比例图像是一条弧线，且变化方向相反，即可判断。【详解】根据分析可知，正比例的图像是一条直线，且变化趋势一致，一个量增加，另一个量也随之增加，所以可以看出B选项的两种量成正比例。故答案为：B【点睛】此题主要考查了正、反比例图像的特点和变化趋势，根据正比例图像是一条直线，且变化趋势一致；反比例图形是一条弧线，且变化方向相反，即可判断。4．B【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】平均每天看的页数×看的天数＝《西游记》这本书总页数（一定）；总页数一定，平均每天看的页数与看的天数成反比例。林林阅读《西游记》这本书，平均每天看的页数和看的天数成反比例。故答案为：B【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。5．D【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此逐项分析，进行解答。【详解】A．x＝19y；x÷y＝19（一定），x和y成正比例，不符合题意；B．y＝x；y÷x＝（一定），x和y成正比例，不符合题意；C．y÷28＝x；y÷x＝28（一定），x和y成正比例，不符合题意；D．＝；xy＝40（一定），x和y成反比例，符合题意。下面x和y（x和y均不为0）不成正比例的是＝。故答案为：D【点睛】关键是理解正比例和反比例的意义，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。6．D【分析】两种相关联的量，如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此逐项分析。【详解】A．根据比例的基本性质，a×4＝9b，则＝，比值一定，a和b成正比例；B．3b＝16a，则＝，比值一定，a和b成正比例；C．a＝b，则＝1，比值一定，a和b成正比例；D．10a－＝0，则10a＝，10ab＝1，据此可得ab＝，积一定，a和b成反比例。故答案为：D【点睛】本题考查反比例的辨认。根据比例的性质或式子中的数量关系，把a和b改写成相除或相乘的形式，据此判断它们成什么比例。7．B【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】①图上距离÷比例尺＝实际距离（一定），是对应的比值一定，图上距离与比例尺成正比例；②圆的面积÷半径的平方＝π（一定），是对应的比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例。③因为：物体影长÷竿高＝每米物体的影长（一定），是对应的比值一定，所以同一地点、同一时间，竿高与它的影长成正比例；④因为生产零件的总个数÷每个零件所用的时间＝每天加工零件的时间一定（一定），是对应的比值一定，符合正比例的意义，所以当工作时间一定时，生产一个零件所用的时间和零件个数成正比例；故答案为：B【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。8．C【分析】由图可知：相关联的两种量成正比例关系，逐项分析各项是否成正比例即可解答。【详解】A．圆柱的体积÷高＝圆柱的底面积（比值一定），所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系；B．购物总价÷购物数量＝单价（比值一定），所以单价一定时，购物的总价和购物数量成正比例关系；C．已走的路程＋剩下的路程＝路程（和一定），所以路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例；D．圆的周长÷直径＝π（比值一定），所以圆的周长与直径成正比例关系；故答案为：C【点睛】本题主要考查正比例的意义与辨识。9． 正 反【分析】判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。先根据比例的基本性质，把转化成；把∶3＝10∶转化成。再根据正、反比例的意义解答。【详解】因为，所以，即和的比值一定，所以和成正比例；因为∶3＝10∶，所以＝30，即和的乘积一定，所以和成反比例。10． 正【分析】根据题意，可先将改写成7m＝5n，然后等式两边同时除以7，除以n，即可通过转化得出m和n的比。或根据比例的基本性质直接得到。根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，即可确定m和n的比例关系。【详解】由可得7m＝5n7m÷7÷n＝5n÷7÷nm÷n＝5÷7＝所以，m∶n＝5∶7，m和n成正比例关系。11．(1)正(2)9.6【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。（2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧的长度乘弹簧每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量。【详解】（1）2÷1＝2（千克/厘米）4÷2＝2（千克/厘米）6÷3＝2（千克/厘米）……10÷5＝2（千克/厘米）2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例。（2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧的长度是：12.8－8＝4.8（厘米）所挂物体的质量是：4.8×2＝9.6（千克）当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克。【点睛】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握。12． 9 3【分析】两个相关联的量，若它们成正比例，则它们的比值一定；若它们成反比例，则它们的乘积一定。【详解】由分析可知：如果A和B成正比例，则A和B的比值是5÷6＝7.5÷＝×＝9，则当时，9；如果A和B成反比例，则A和B的乘积是5×6＝3030÷10＝3，则当时，3。【点睛】本题考查正反比例的应用，明确正反比例的定义是解题的关键。13． 15∶2＝30∶4 15∶2＝37.5∶5【分析】根据总价÷数量＝单价（一定）可知：总价与数量成正比例关系，根据单价一定（比值一定）列出比例即可。【详解】根据表中数据可得比例15∶2＝30∶4、15∶2＝37.5∶5、30∶4＝37.5∶5等（答案不唯一）【点睛】本题主要考查比例的意义，根据正比例的意义直接写出比例即可。14．(1) 时间 路程(2) 扩大 缩小 一定 速度(3)正【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】（1）表中相关联的两种量是时间和路程。（2）时间扩大时，路程也扩大；时间缩小时，路程也缩小。它们扩大或缩小的规律是：路程和时间相对应的两个量的比值一定，也就是速度一定。（3）在路程、时间、速度三者之间存在着＝速度（一定）的数量关系，这就是说速度一定，路程与时间成正比例。【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。15． 40 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，主要看是乘积一定还是商一定。乘积一定成反比例，商一定成正比例。据此解答即可。【详解】如果a与b成正比例，则40%∶＝10∶？？＝40如果a与b成反比例，则40%×＝10×？？＝【点睛】本题考查对正比例与反比例意义的应用，根据它们的意义进行解答。16． 正 b a【分析】，则a÷b＝2022，比值一定，按正比例的意义辨识，可知a和b成正比例；两个整数成倍数关系，它们的最大公因数即较小的那个数，最小公倍数即较大的那个数。【详解】a÷b＝2022（比值一定），a和b成正比例；a是b的倍数，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。【点睛】解答此题应结合题意，按照正比例的意义，观察比值是否一定；后一问根据求最大公因数和最小公倍数的方法进行解答即可。17．√【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果比值和乘积都不一定，则不成比例。【详解】圆的周长＝2×π×半径圆的周长÷它的半径＝2π，是比值一定所以圆的半径和周长成正比例，原题干说法正确故答案为：√【点睛】本题考查正比例和反比例的意义及辨识，根据正比例和反比例的意义进行解答。18．√【分析】根据反比例公式，xy＝k（一定），x和y成反比例，进行辨识。【详解】每次运的吨数×运的次数＝120吨（一定），所以每次运的吨数和运的次数成反比例。故答案为：√【点睛】本题考查了反比例的辨识，积一定是反比例关系。19．√【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。【详解】每天借出的本数和还回的本数，和、差、积、商均不一定，所以图书馆藏书量一定，每天借出的本数和还回的本数不成比例。故答案为：√【点睛】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是否都是变量，且对应的比值一定，或是对应的乘积一定，再做出判断。20．√【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】因为平均每天看的页数×看完这本书所用的天数＝一本书的总页数（一定），是乘积一定，所以看一本书，每天看的页数和看完这本书所用的天数成反比例；原题说法正确。故答案为：√【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。21．（1）x=200；（2）x=15；（3）x=1。【分析】此题为解方程和解比例的题型，需注意解方程的步骤。解比例得按照比例的基本性质，两内项乘积等于两外项乘积。【详解】（1）25%x＋20%x＝90 解：0.45x＝90x＝90÷0.45x＝200；（2）x∶＝12∶解：x＝×12x＝3x＝3÷x＝15；（3）x－40％x＝解：0.6x＝0.6x＝0.6÷0.6x＝1。【点睛】熟练掌握解方程的步骤和比例的基本性质并细心计算是解此题的关键。22．见详解【分析】根据统计表所提供的数据，在图中描出打字个数与相应时间的点，然后把它连起来，观察图象的特点，得出正比例的图象是一条射线，据此解答。【详解】如图：【点睛】掌握各个量之间的关系，根据统计表示所提供的数据绘制折线统计图。注意画图要描好点，然后连线。23．（1）正；（2）612个【分析】（1）两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，据此判断即可。（2）根据表中数据先求出1分钟生产的数量，再乘36即可。【详解】（1）51÷3＝102÷6＝153÷9＝204÷12＝17生产产品的时间和产品数量的比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例。（2）51÷3×36＝17×36＝612（个）答：照这样计算，36分钟生产产品612个。【点睛】本题考查正、反比例的意义与辨识，及正比例的应用。24．0.9米【分析】根据题意可知，钟楼模型的高度与原塔的高度的比值是一定的，则钟楼的模型高度与原塔的高度成正比例，设模型的高度是x米，列比例：x∶36＝1∶40，解比例，即可解答。【详解】解：设模型的高度是x米。x∶36＝1∶4040x＝36x＝36÷40x＝0.9答：模型的高度是0.9米。【点睛】本题主要考查正比例的意义，即若两个相关量的比值一定，则这两个量成正比例，进而列比例求解。25．成；因为每天装配的数量×需要的时间＝总数量（一定），所以每天装配的数量和需要时间成反比例。【分析】根据判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例关系；如果积一定，就成反比例关系；进行解答即可。【详解】40×40＝1600（台）80×20＝1600（台）100×16＝1600（台）……400×4＝1600（台）答：每天装配的数量和需要的时间成反比例，因为每天装配的数量×需要的时间＝总数量，乘积一定，所以每天装配的数量和需要时间成反比例。【点睛】此题考查了判断两种量成正比例还是成反比例的方法。26．（1）25∶1＝50∶2＝75∶3＝125∶5＝25（2）《小学科技报》的单价；（3）因为单价一定，订阅的总价和数量成正比例。【分析】（1）写出订阅的总价和数量的比，求出比值即可；（2）总价与数量的比值表示的是单价，可根据比的意义写出数量关系．（3）根据正比例的意义进行解答即可。【详解】（1）25∶1＝50∶2＝75∶3＝125∶5＝25（2）订阅的总价和数量的比值表示的实际意义是《小学科技报》的单价；（3）因为单价一定，所以订阅的总价和数量成正比例。【点睛】本题主要考查了学生对正比例意义的掌握情况。27．（1）表中总价和米数成正比例关系，因为总价∶数量单价（一定）；（2）见详解；（3）300元【分析】（1）通过计算总价与米数的比值是否一定，来判定总价与米数是否成正比例关系即可；（2）表中的数量关系描点，连线即可；（3）根据总价∶米数＝每米花布的单价（一定），每米花布的单价×20求出20米花布的价钱。【详解】（1）表中总价和米数成正比例关系，因为15∶1＝30∶2……，即总价∶数量＝单价15元（一定）；（2）根据表中的数量关系，画出图象如下：（3）15×20＝300（元）答：如果买这种花布20米，需要300元。【点睛】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用。28．（1）正（2）2（3）10千米【分析】（1）此图象的特征：是一条经过原点的直线，从图象中很清晰的看出甲、乙两辆汽车行驶的路程与行驶时间同时扩大（或缩小）的变化规律，只要是两种相关联的量变化方向相同，就说明它们对应的比值一定，所以这两种量就成正比例关系；（2）由图可知：甲车5分钟行驶10千米，根据路程÷时间＝速度，代入数据计算即可；（3）根据图中数据，分别求出两车的速度，再求出10分钟行驶的路程，求差即可。【详解】（1）因为两种变量是甲、乙两辆车行驶的路程与时间，从图像中可知它们的变化方向相同，所以两辆汽车行驶的路程和时间成正比例。（2）甲车5分钟行驶10千米，所以甲车的速度是：10÷5＝2（千米/分）（3）乙车8分钟行驶8千米，则乙车的速度是：8÷8＝1（千米/分）2×10－1×10＝20－10＝10（千米）答：所行路程相差10千米。【点睛】此题考查借助直观的图象，辨识两种相关联的量成什么比例，只要图象是一条直线的，就成正比例，据此解答即可。 弹簧伸长的长度/厘米123…5物体的质量/千克246…10铅笔数量/支245总价/元153037.5时间/时123456789…路程/千米50100150200250300350400450…a40%10b？时间/分2468101214数量/个100200300400500600700时间/分36912…产品数量/个51102153204…每天装配的数量/台4080100160200400需要的时间/天4020161084数量份12345总价元255075100125总价（元）1530456075米数（米）12345
第六单元 正比例和反比例（知识清单·培优专练）1、正比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。2、判断两种量是否成正比例关系的方法。（1）确定这两种量是不是相关联系的量；（2）确定这两种量的比值是否一定；（3）根据比值是否一定进行正确判断。3、正比例的图像。正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。4、反比例的意义。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。5、判断两种两是否成反比例关系的方法。（1）看两种量是不是相关联的量；（2）看两种量相对应的数积是否一定，若积一定，则成反比例关系；若积不一定，则不成反比例关系。一、选择题1．①订阅《小学生学习报》的钱数和份数；②一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数；③正方形的周长和边长；④圆的半径和面积。在上面各题中，两种相关联的量成正比例关系的有（ ）个。A．1 B．3 C．2 D．42．下面五句话中，表述正确的有（ ）句。（1）2022年第一季度共有90天。（2）两个质数相乘，积一定是合数。（3）正方形的面积和边长成正比例。（4）﹣2℃和10℃相差8℃；（5）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π。A．4 B．3 C．2 D．13．下面各图中都表示了x，y两种变量，（ ）中的两种量成正比例。A．B．C．D．4．林林阅读《西游记》这本书，平均每天看的页数和看的天数（ ）。A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不相关联5．下面和（和均不为0）不成正比例的是（ ）。A． B． C． D．6．下列各式中，（a，b，均不为0）a和b成反比例的是（ ）。A．a×4＝9b B．3b＝16a C．a＝b D．10a－＝07．小明判断两种量是否成比例，成什么比例。他做对了（ ）题。①实际距离一定，图上距离与比例尺。（成反比例）②圆的面积与半径的平方。（成正比例）③同一时间同一地点，杆高与其影长。（成正比例）④每天加工零件的时间一定，每个零件加工的时间与加工的零件个数。（成正比例）A．4 B．3 C．2 D．18．有两个相关联的量，它们的关系如图所示，这两个量不可能是（ ）。A．圆柱的底面积一定，体积和高 B．单价一定时，购物的总价和购物数量C．路程一定，已走的路程和剩下的路程 D．圆的周长与直径二、填空题9．如果，那么和成( )比例；如果∶3＝10∶，那么和成( )比例。10．如果（m、n都不为0），那么( )，m和n成( )比例。11．科技小组制作弹簧秤，不挂重物时弹簧长8厘米，实验发现这个弹簧秤伸长的长度与它所挂物体的质量存在如下关系（弹簧自身的质量忽略不计）：(1)在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成( )比例。(2)当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是( )千克。12．已知A和B是两种相关联的量，当时，，如果A和B成正比例，当时，( )；如果A和B成反比例，当时，( )。13．根据表中的数据，组成两个不同的比例。( )；( )。14．一辆汽车行驶的时间和所行的路程如下表，看表填空。(1)表中相关联的两种量是( )和( )。(2)时间扩大时，路程也( )；时间缩小时，路程也( )。它们扩大或缩小的规律是：路程和时间相对应的两个量的比值( )，也就是( )一定。(3)在路程、时间、速度三者之间存在着＝速度（一定）的数量关系，这就是说速度一定，路程与时间成( )比例。15．如下表，如果a与b成正比例，那么“？”是( )；如果a与b成反比例。那么“？”是( )16．（a和b都是不为0的自然数），a和b成( )比例，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。三、判断题17．圆的半径和周长成正比例。( )18．运120吨货物，每次运的吨数和运的次数成反比例。( )19．图书馆藏书量一定，每天借出的本数和还回的本数不成比例。( )20．看一本书，平均每天看的页数和看完这本书所需的天数成反比例。( )四、计算题21．求未知数。25%x＋20%x＝90 x∶＝12∶ x－40％x＝五、作图题22．小玲用计算机打字的个数和所用的时间如下表：根据表中的数据，在下面的图中描出打字的数量和时间所对应的点，再把它们按顺序连起来。六、解答题23．一条生产线每3分钟自动记录一次生产产品的总数量，下面是生产产品情况的记录。（1）生产产品的时间和产品数量成（ ）比例。（2）照这样计算，36分钟生产产品多少个？24．西安钟楼是中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座钟楼，总高36米。某公司设计制作了这座钟楼的模型，模型的高度与实际高度的比是1∶40。模型的高度是多少米？25．装配一批计算机，每天装配的数量和需要的天数如下表。每天装配的数量和需要的时间成反比例吗？为什么？26．订阅《小学科技报》的数量和总价如下表：（1）写出几组相对应的订阅的总价和数量的比，并求出比值。（2）这个比值表示的实际意义是什么？（3）订阅的总价和数量成正比例吗？为什么？27．一种花布的米数和总价关系如下表：（1）表中总价和米数成什么比例关系？为什么？（2）根据表中的数量关系，画出图象。（3）根据图象估计，如果买这种花布20米，需要多少元？28．下图表示甲、乙两辆汽车行驶的时间和路程的情况。（1）两辆汽车行驶的路程和时间成（ ）比例。（2）甲车的速度是（ ）千米/分。（3）两车同时行驶10分钟，所行路程相差多少千米？参考答案1．C【分析】比值（商）一定的两个量成正比例关系。据此分析解题。【详解】①总价÷数量＝单价（一定），那么订阅《小学生学习报》的钱数和份数成正比例关系；②吃掉的大米＋剩下的＝一袋大米，那么一袋大米吃掉的千克数和剩下的千克数不成比例；③周长÷边长＝4，那么正方形的周长和边长成正比例关系；④面积÷半径÷半径＝3.14，那么圆的半径和面积不成正比例关系。所以，两种相关联的量成正比例关系的有2个。故答案为：C2．B【分析】（1）第一季度包括1月、2月和3月，能被4整数的年份是闰年，不能被4整除的年份是平年，所以2022年是平年，2月有28天，据此用（31＋28＋31）即可求出2022年第一季度的天数；（2）一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。据此可知，两个质数相乘，积至少有3个因数，所以两个质数的积是合数；（3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。所以正方形的面积＝边长×边长，面积与边长不成比例。（4）﹣2℃在0℃以下，和0℃相差2℃，10℃在0℃以上，和0℃相差10℃，用2℃＋10℃即可求出﹣2℃和10℃之间的温差。（5）因为圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果圆柱的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面周长＝高，所以直径和高的比等于直径和底面周长的比，根据底面周长公式：C＝πd，求出对应的比，再化简即可。【详解】（1）2022÷4＝505……22022年是平年，2月有28天。31＋28＋31＝90（天）2022年第一季度共有90天，所以原题干说法正确。（2）根据分析可知，两个质数相乘，积一定是合数，例如：2×2＝44是合数，所以原题干说法正确。（3）根据分析可知，正方形的面积和边长不成比例，所以原题干说法错误。（4）2℃＋10℃＝12℃﹣2℃和10℃相差12℃。所以原题干说法错误。（5）d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面直径和高的比是1∶π，所以原题干说法正确。表述正确的有3句。故答案为：B【点睛】本题考查平年、平年的判断方法，质数与合数的认识、正比例和反比例的辨识、正负数的应用、圆柱的侧面展开图等内容，掌握相应的知识点是解答本题的关键。3．B【分析】根据题意判断四幅图中的两种变量，哪一组是成正比例，哪一组是成反比例，根据正比例图像是一条直线，且变化趋势一致；反比例图像是一条弧线，且变化方向相反，即可判断。【详解】根据分析可知，正比例的图像是一条直线，且变化趋势一致，一个量增加，另一个量也随之增加，所以可以看出B选项的两种量成正比例。故答案为：B【点睛】此题主要考查了正、反比例图像的特点和变化趋势，根据正比例图像是一条直线，且变化趋势一致；反比例图形是一条弧线，且变化方向相反，即可判断。4．B【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】平均每天看的页数×看的天数＝《西游记》这本书总页数（一定）；总页数一定，平均每天看的页数与看的天数成反比例。林林阅读《西游记》这本书，平均每天看的页数和看的天数成反比例。故答案为：B【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。5．D【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此逐项分析，进行解答。【详解】A．x＝19y；x÷y＝19（一定），x和y成正比例，不符合题意；B．y＝x；y÷x＝（一定），x和y成正比例，不符合题意；C．y÷28＝x；y÷x＝28（一定），x和y成正比例，不符合题意；D．＝；xy＝40（一定），x和y成反比例，符合题意。下面x和y（x和y均不为0）不成正比例的是＝。故答案为：D【点睛】关键是理解正比例和反比例的意义，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。6．D【分析】两种相关联的量，如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此逐项分析。【详解】A．根据比例的基本性质，a×4＝9b，则＝，比值一定，a和b成正比例；B．3b＝16a，则＝，比值一定，a和b成正比例；C．a＝b，则＝1，比值一定，a和b成正比例；D．10a－＝0，则10a＝，10ab＝1，据此可得ab＝，积一定，a和b成反比例。故答案为：D【点睛】本题考查反比例的辨认。根据比例的性质或式子中的数量关系，把a和b改写成相除或相乘的形式，据此判断它们成什么比例。7．B【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】①图上距离÷比例尺＝实际距离（一定），是对应的比值一定，图上距离与比例尺成正比例；②圆的面积÷半径的平方＝π（一定），是对应的比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例。③因为：物体影长÷竿高＝每米物体的影长（一定），是对应的比值一定，所以同一地点、同一时间，竿高与它的影长成正比例；④因为生产零件的总个数÷每个零件所用的时间＝每天加工零件的时间一定（一定），是对应的比值一定，符合正比例的意义，所以当工作时间一定时，生产一个零件所用的时间和零件个数成正比例；故答案为：B【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。8．C【分析】由图可知：相关联的两种量成正比例关系，逐项分析各项是否成正比例即可解答。【详解】A．圆柱的体积÷高＝圆柱的底面积（比值一定），所以圆柱的底面积一定，体积和高成正比例关系；B．购物总价÷购物数量＝单价（比值一定），所以单价一定时，购物的总价和购物数量成正比例关系；C．已走的路程＋剩下的路程＝路程（和一定），所以路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例；D．圆的周长÷直径＝π（比值一定），所以圆的周长与直径成正比例关系；故答案为：C【点睛】本题主要考查正比例的意义与辨识。9． 正 反【分析】判断两种量成正比例还是成反比例，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。先根据比例的基本性质，把转化成；把∶3＝10∶转化成。再根据正、反比例的意义解答。【详解】因为，所以，即和的比值一定，所以和成正比例；因为∶3＝10∶，所以＝30，即和的乘积一定，所以和成反比例。10． 正【分析】根据题意，可先将改写成7m＝5n，然后等式两边同时除以7，除以n，即可通过转化得出m和n的比。或根据比例的基本性质直接得到。根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，即可确定m和n的比例关系。【详解】由可得7m＝5n7m÷7÷n＝5n÷7÷nm÷n＝5÷7＝所以，m∶n＝5∶7，m和n成正比例关系。11．(1)正(2)9.6【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫反比例关系。（2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧的长度是弹簧伸长后的总长度减去弹簧原来的长度；用弹簧的长度乘弹簧每厘米所称物体的质量，就是所称物体的质量。【详解】（1）2÷1＝2（千克/厘米）4÷2＝2（千克/厘米）6÷3＝2（千克/厘米）……10÷5＝2（千克/厘米）2是一定值，所以在一定范围内，弹簧伸长的长度与物体的质量成正比例。（2）因为不挂重物时弹簧长8厘米，所以弹簧的长度是：12.8－8＝4.8（厘米）所挂物体的质量是：4.8×2＝9.6（千克）当弹簧的长度是12.8厘米时，所称物体的质量是9.6千克。【点睛】此题考查了正比例关系的认识及应用，要求学生掌握。12． 9 3【分析】两个相关联的量，若它们成正比例，则它们的比值一定；若它们成反比例，则它们的乘积一定。【详解】由分析可知：如果A和B成正比例，则A和B的比值是5÷6＝7.5÷＝×＝9，则当时，9；如果A和B成反比例，则A和B的乘积是5×6＝3030÷10＝3，则当时，3。【点睛】本题考查正反比例的应用，明确正反比例的定义是解题的关键。13． 15∶2＝30∶4 15∶2＝37.5∶5【分析】根据总价÷数量＝单价（一定）可知：总价与数量成正比例关系，根据单价一定（比值一定）列出比例即可。【详解】根据表中数据可得比例15∶2＝30∶4、15∶2＝37.5∶5、30∶4＝37.5∶5等（答案不唯一）【点睛】本题主要考查比例的意义，根据正比例的意义直接写出比例即可。14．(1) 时间 路程(2) 扩大 缩小 一定 速度(3)正【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】（1）表中相关联的两种量是时间和路程。（2）时间扩大时，路程也扩大；时间缩小时，路程也缩小。它们扩大或缩小的规律是：路程和时间相对应的两个量的比值一定，也就是速度一定。（3）在路程、时间、速度三者之间存在着＝速度（一定）的数量关系，这就是说速度一定，路程与时间成正比例。【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。15． 40 【分析】判断两个相关联的量成什么比例，主要看是乘积一定还是商一定。乘积一定成反比例，商一定成正比例。据此解答即可。【详解】如果a与b成正比例，则40%∶＝10∶？？＝40如果a与b成反比例，则40%×＝10×？？＝【点睛】本题考查对正比例与反比例意义的应用，根据它们的意义进行解答。16． 正 b a【分析】，则a÷b＝2022，比值一定，按正比例的意义辨识，可知a和b成正比例；两个整数成倍数关系，它们的最大公因数即较小的那个数，最小公倍数即较大的那个数。【详解】a÷b＝2022（比值一定），a和b成正比例；a是b的倍数，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。【点睛】解答此题应结合题意，按照正比例的意义，观察比值是否一定；后一问根据求最大公因数和最小公倍数的方法进行解答即可。17．√【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果比值和乘积都不一定，则不成比例。【详解】圆的周长＝2×π×半径圆的周长÷它的半径＝2π，是比值一定所以圆的半径和周长成正比例，原题干说法正确故答案为：√【点睛】本题考查正比例和反比例的意义及辨识，根据正比例和反比例的意义进行解答。18．√【分析】根据反比例公式，xy＝k（一定），x和y成反比例，进行辨识。【详解】每次运的吨数×运的次数＝120吨（一定），所以每次运的吨数和运的次数成反比例。故答案为：√【点睛】本题考查了反比例的辨识，积一定是反比例关系。19．√【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。【详解】每天借出的本数和还回的本数，和、差、积、商均不一定，所以图书馆藏书量一定，每天借出的本数和还回的本数不成比例。故答案为：√【点睛】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是否都是变量，且对应的比值一定，或是对应的乘积一定，再做出判断。20．√【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。【详解】因为平均每天看的页数×看完这本书所用的天数＝一本书的总页数（一定），是乘积一定，所以看一本书，每天看的页数和看完这本书所用的天数成反比例；原题说法正确。故答案为：√【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。21．（1）x=200；（2）x=15；（3）x=1。【分析】此题为解方程和解比例的题型，需注意解方程的步骤。解比例得按照比例的基本性质，两内项乘积等于两外项乘积。【详解】（1）25%x＋20%x＝90 解：0.45x＝90x＝90÷0.45x＝200；（2）x∶＝12∶解：x＝×12x＝3x＝3÷x＝15；（3）x－40％x＝解：0.6x＝0.6x＝0.6÷0.6x＝1。【点睛】熟练掌握解方程的步骤和比例的基本性质并细心计算是解此题的关键。22．见详解【分析】根据统计表所提供的数据，在图中描出打字个数与相应时间的点，然后把它连起来，观察图象的特点，得出正比例的图象是一条射线，据此解答。【详解】如图：【点睛】掌握各个量之间的关系，根据统计表示所提供的数据绘制折线统计图。注意画图要描好点，然后连线。23．（1）正；（2）612个【分析】（1）两个相关联的量，若两个量的比值一定，两个量成正比例关系；若两个量的乘积一定，两个量成反比例关系，据此判断即可。（2）根据表中数据先求出1分钟生产的数量，再乘36即可。【详解】（1）51÷3＝102÷6＝153÷9＝204÷12＝17生产产品的时间和产品数量的比值一定，所以生产产品的时间和产品数量成正比例。（2）51÷3×36＝17×36＝612（个）答：照这样计算，36分钟生产产品612个。【点睛】本题考查正、反比例的意义与辨识，及正比例的应用。24．0.9米【分析】根据题意可知，钟楼模型的高度与原塔的高度的比值是一定的，则钟楼的模型高度与原塔的高度成正比例，设模型的高度是x米，列比例：x∶36＝1∶40，解比例，即可解答。【详解】解：设模型的高度是x米。x∶36＝1∶4040x＝36x＝36÷40x＝0.9答：模型的高度是0.9米。【点睛】本题主要考查正比例的意义，即若两个相关量的比值一定，则这两个量成正比例，进而列比例求解。25．成；因为每天装配的数量×需要的时间＝总数量（一定），所以每天装配的数量和需要时间成反比例。【分析】根据判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例关系；如果积一定，就成反比例关系；进行解答即可。【详解】40×40＝1600（台）80×20＝1600（台）100×16＝1600（台）……400×4＝1600（台）答：每天装配的数量和需要的时间成反比例，因为每天装配的数量×需要的时间＝总数量，乘积一定，所以每天装配的数量和需要时间成反比例。【点睛】此题考查了判断两种量成正比例还是成反比例的方法。26．（1）25∶1＝50∶2＝75∶3＝125∶5＝25（2）《小学科技报》的单价；（3）因为单价一定，订阅的总价和数量成正比例。【分析】（1）写出订阅的总价和数量的比，求出比值即可；（2）总价与数量的比值表示的是单价，可根据比的意义写出数量关系．（3）根据正比例的意义进行解答即可。【详解】（1）25∶1＝50∶2＝75∶3＝125∶5＝25（2）订阅的总价和数量的比值表示的实际意义是《小学科技报》的单价；（3）因为单价一定，所以订阅的总价和数量成正比例。【点睛】本题主要考查了学生对正比例意义的掌握情况。27．（1）表中总价和米数成正比例关系，因为总价∶数量单价（一定）；（2）见详解；（3）300元【分析】（1）通过计算总价与米数的比值是否一定，来判定总价与米数是否成正比例关系即可；（2）表中的数量关系描点，连线即可；（3）根据总价∶米数＝每米花布的单价（一定），每米花布的单价×20求出20米花布的价钱。【详解】（1）表中总价和米数成正比例关系，因为15∶1＝30∶2……，即总价∶数量＝单价15元（一定）；（2）根据表中的数量关系，画出图象如下：（3）15×20＝300（元）答：如果买这种花布20米，需要300元。【点睛】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用。28．（1）正（2）2（3）10千米【分析】（1）此图象的特征：是一条经过原点的直线，从图象中很清晰的看出甲、乙两辆汽车行驶的路程与行驶时间同时扩大（或缩小）的变化规律，只要是两种相关联的量变化方向相同，就说明它们对应的比值一定，所以这两种量就成正比例关系；（2）由图可知：甲车5分钟行驶10千米，根据路程÷时间＝速度，代入数据计算即可；（3）根据图中数据，分别求出两车的速度，再求出10分钟行驶的路程，求差即可。【详解】（1）因为两种变量是甲、乙两辆车行驶的路程与时间，从图像中可知它们的变化方向相同，所以两辆汽车行驶的路程和时间成正比例。（2）甲车5分钟行驶10千米，所以甲车的速度是：10÷5＝2（千米/分）（3）乙车8分钟行驶8千米，则乙车的速度是：8÷8＝1（千米/分）2×10－1×10＝20－10＝10（千米）答：所行路程相差10千米。【点睛】此题考查借助直观的图象，辨识两种相关联的量成什么比例，只要图象是一条直线的，就成正比例，据此解答即可。 弹簧伸长的长度/厘米123…5物体的质量/千克246…10铅笔数量/支245总价/元153037.5时间/时123456789…路程/千米50100150200250300350400450…a40%10b？时间/分2468101214数量/个100200300400500600700时间/分36912…产品数量/个51102153204…每天装配的数量/台4080100160200400需要的时间/天4020161084数量份12345总价元255075100125总价（元）1530456075米数（米）12345
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