北师大版七年级下册5 平方差公式同步训练题

这是一份北师大版七年级下册5 平方差公式同步训练题，共14页。
1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用平方差公式的逆运算解决问题
【知识点梳理】
知识1：平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
知识点2：平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
【典例分析】
【考点1：平方差】
【典例1】用平方差公式计算：
（1）（1+x）（1﹣x）； （2）（a+3b）（a﹣3b）；
（3）（3+2a）（3﹣2a）； （4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．
【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．
【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．
【变式1-3】下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3x+5y）（3x﹣5y）B．（1﹣5x）（5x﹣1）
C．（﹣x+2y）（x﹣2y）D．（x+y）（y+x）
【典例2】若（3b+a）•（ ）＝a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3bB．a+3bC．﹣3b+aD．3b﹣a
【变式2-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的结果是哪两个数的平方差（ ）
A．a，bB．x，yC．4y，3xD．3x，4y
【变式2-2】若M（3a﹣b2）＝b4﹣9a2，那么代数式M应是（ ）
A．﹣3a+b2B．3a+b2C．3a﹣b2D．﹣3a﹣b2
【典例3】用简便方法计算下列各题：
（1）992； （2）1022﹣101×103．
【变式3-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1
【变式3-2】简便计算：
（1）20222﹣2020×2024； （2）1882﹣376×88+882．
【考点2：平方差公式的几何背景】
【典例4】【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 ；（直接写结果）
【问题解决】
利用（1）中的结论，计算：
．
【变式4-1】从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【变式4-2】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
【变式4-3】如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝ ，S2＝ ；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2021×2023．
专题1.4 平方差公式（知识解读）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用平方差公式的逆运算解决问题
【知识点梳理】
知识1：平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
知识点2：平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2
x2xyxyy2z2
x22xyy2z2
【典例分析】
【考点1：平方差】
【典例1】用平方差公式计算：
（1）（1+x）（1﹣x）； （2）（a+3b）（a﹣3b）；
（3）（3+2a）（3﹣2a）； （4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣x2；
（2）原式＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；
（3）原式＝32﹣（2a）2＝9﹣4a2；
（4）原式＝＝．
【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．
【解答】解：原式＝a2﹣b2．
【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．
【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）
＝4m2﹣n2．
【变式1-3】下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3x+5y）（3x﹣5y）B．（1﹣5x）（5x﹣1）
C．（﹣x+2y）（x﹣2y）D．（x+y）（y+x）
【答案】A
【解答】解：A．（3x+5y）（3x﹣5y）
＝9x2﹣25y2，
故选项符合题意；
B．（1﹣5x）（5x﹣1）
＝﹣（1﹣5x）2
＝﹣（1﹣10x+25x2）
＝﹣1+10x﹣25x2，
故选项不符合题意；
C．（﹣x+2y）（x﹣2y）
＝﹣（x﹣2y）2
＝﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝﹣x2+4xy﹣4y2，
故选项不符合题意；
D．（x+y）（y+x）
＝（x+y）2
＝x2+2xy+y2，
故选项不符合题意．
故选：A．
【典例2】若（3b+a）•（ ）＝a2﹣9b2，则括号内应填的代数式是（ ）
A．﹣a﹣3bB．a+3bC．﹣3b+aD．3b﹣a
【答案】C
【解答】解：∵a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b）＝（3b+a）（﹣3b+a），
故选：C．
【变式2-1】（3x+4y）（3x﹣4y）的结果是哪两个数的平方差（ ）
A．a，bB．x，yC．4y，3xD．3x，4y
【答案】D
【解答】解：（3x+4y）（3x﹣4y）＝（3x）2﹣（4y）2，
故选：D．
【变式2-2】若M（3a﹣b2）＝b4﹣9a2，那么代数式M应是（ ）
A．﹣3a+b2B．3a+b2C．3a﹣b2D．﹣3a﹣b2
【答案】D
【解答】解：M＝＝＝﹣b2﹣3a，
故选：D．
【典例3】用简便方法计算下列各题：
（1）992；
（2）1022﹣101×103．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2
＝1002﹣2×100×1+1
＝10000﹣200+1
＝9801；
（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）
＝1022﹣1022+1
＝1．
【变式3-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1
【答案】A
【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）
＝20212﹣（20212﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
故选：A．
【变式3-2】简便计算：
（1）20222﹣2020×2024；
（2）1882﹣376×88+882．
【解答】（1）20222﹣2020×2024
＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）
＝20222﹣（20222﹣4）
＝20222﹣20222+4
＝4．
（2）1882﹣376×88+882
＝1882﹣2×188×88+882
＝（188﹣88）2
＝1002
＝10000．
【考点2：平方差公式的几何背景】
【典例4】【观察发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分剪开并拼成一个长方形（如图②）．
【归纳结论】
（1）上述操作，能验证的等式是 ；（直接写结果）
【问题解决】
（2）利用（1）中的结论，计算：．
【解答】解：（1）图①阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图②是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
【变式4-1】从图1到图2的变化过程可以发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【答案】A
【解答】解：图1的面积为：（a+b）（a﹣b），
图2的面积为：a2﹣b2．
根据面积相等，可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：A．
【变式4-2】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b．宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a2﹣b2＝21，即（a+b）（a﹣b）＝21，而a﹣b＝3，
∴a+b＝7；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
【变式4-3】如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝ ，S2＝ ；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
（3）运用（2）中得到的公式，计算：20222﹣2021×2023．
【解答】解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）题结果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20222﹣2021×2023
＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）
＝20222﹣20222+1
＝1．