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北师大版七年级下册6 完全平方公式课时作业
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这是一份北师大版七年级下册6 完全平方公式课时作业，共17页。
1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【知识点梳理】
知识点1：完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点2：拓展、补充公式
；；
；.
【典例分析】
【考点1：完全平方公式】
【典例1】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．
【变式1-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．
【变式1-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．
【变式1-4】（2019秋•虹口区校级月考）计算：（x﹣2y+1）2．
【考点2：完全平方公式的几何背景】
【典例2】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mnB．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2
【变式2-1】（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+abD．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【变式2-2】（2021秋•思明区校级期末）如图，用4个相同的长方形围成一个大正方形，若长方形的长和宽分别为a、b，则下面四个代数式，不能表示大正方形面积的是（ ）
A．a2+b2B．（a+b）2
C．a（a+b）+b（a+b）D．（a﹣b）2+4ab
【变式2-3】（2021秋•香坊区期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【典例3】（2022春•钢城区期末）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 ；
方法二 ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
【变式3-1】（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．
（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）
（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．
【变式3-2】（2022春•六盘水期中）图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，试求x+y值；
（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝32，求图中阴影部分面积S3．
【变式3-3】（2022春•胶州市期中）阅读材料：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
类比应用：
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15．分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面积和．
【典例4】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【变式4-1】（2022春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
【变式4-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【变式4-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：
（1）xy；
（2）x﹣y．
专题1.5 完全平方公式（知识解读）
【学习目标】
1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【知识点梳理】
知识点1：完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点2：拓展、补充公式
；；
；.
【典例分析】
【考点1：完全平方公式】
【典例1】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；
（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；
（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；
（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．
【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．
【解答】解：原式＝（4x+）2
＝16x2+4xy+y2．
【变式1-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．
【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2
＝9a2﹣6ab+b2．
【变式1-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．
【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2
＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2
＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．
【变式1-4】（2019秋•虹口区校级月考）计算：（x﹣2y+1）2．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1
＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．
【考点2：完全平方公式的几何背景】
【典例2】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mnB．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2
【答案】C
【解答】解：方法一：
图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn，
图2的大正方形的面积＝（m+n）2，
图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和
＝（m+n）2﹣4mn
＝m2+2mn+n2﹣4mn
＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n），
∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+abD．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：根据图2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•思明区校级期末）如图，用4个相同的长方形围成一个大正方形，若长方形的长和宽分别为a、b，则下面四个代数式，不能表示大正方形面积的是（ ）
A．a2+b2B．（a+b）2
C．a（a+b）+b（a+b）D．（a﹣b）2+4ab
【答案】A
【解答】解：∵大正方形的面积进行整体求解时为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，且（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a（a+b）+b（a+b）；按各部分求和计算时为（a﹣b）2+4ab，
故选：A．
【变式2-3】（2021秋•香坊区期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【典例3】（2022春•钢城区期末）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 ；
方法二 ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
【解答】解：（1）根据图形可观察出：边长为a﹣b；
故答案为：a﹣b；
（2）①小正方的边长为a﹣b，面积可表示为：（a﹣b）2，
大正方形的面积为：（a+b）2，
四个矩形的面积和为4ab，
所以小正方形面积可表示为：（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）由题意得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）很快可求出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×7＝8．
【变式3-1】（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．
（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）
（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．
【解答】解：（1）由于S绿化面积＝S长方形﹣4S小正方形，因此有，
（a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2
＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（11ab﹣3a2﹣2b2）m2，
答：绿化的面积为（11ab﹣3a2﹣2b2）m2；
（2）当a＝6，b＝10时，
原式＝660﹣108﹣200＝352（m2）
答：当a＝6，b＝10时，绿化的土地面积为352m2．
【变式3-2】（2022春•六盘水期中）图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，试求x+y值；
（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝32，求图中阴影部分面积S3．
【解答】解：（1）运用完全平方公式展开得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）（ x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
＝4×（﹣5）+62；
＝16．
所以，x+y＝±4
（3）S3＝AC×CB（令AC＝x，BC＝y）
所以 S3＝xy
又因为S1+S2＝32即x2+y2＝32；AB＝10即x+y＝10
所以，xy＝＝＝34
所以S3＝＝×34＝17
答：图中阴影部分面积是17．
【变式3-3】（2022春•胶州市期中）阅读材料：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
类比应用：
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15．分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面积和．
【解答】解：（1）设3﹣x＝p，x﹣2＝q，则（3﹣x）（x﹣2）＝pq＝﹣1，（3﹣x）+（x﹣2）＝p+q＝1，
∴（3﹣x）2+（x﹣2）2＝p2+q2
＝（p+q）2﹣2pq
＝1+2
＝3；
（2）设n﹣2021＝a，2022﹣n＝b，则（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝a2+b2＝11，（n﹣2021）+（2022﹣n）＝a+b＝1，
∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝ab
＝
＝
＝﹣5；
（3）由题意可得，DE＝MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝m，x﹣3＝n，则m﹣n＝2，（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝15，
∴（x﹣1）2+（x﹣3）2＝m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn，
＝4+30
＝34，
即正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为34．
【典例4】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）
＝25+6
＝31；
（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，
∴（x﹣y）2
＝x2+y2﹣2xy
＝31﹣2×（﹣3）
＝37．
【变式4-1】（2022春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
【解答】解：x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×2
＝21．
【变式4-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，x+y＝3，xy＝﹣1，
∴9＝x2+y2﹣2，
∴x2+y2＝11；
（2）∵x2+y2＝11，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝11﹣2×（﹣1）＝13．
【变式4-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：
（1）xy；
（2）x﹣y．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+2xy+y2＝49，
∵x2+y2＝29，
∴2xy＝20，
∴xy＝10．
（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，
∴x﹣y＝±3．
1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【知识点梳理】
知识点1：完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点2：拓展、补充公式
；；
；.
【典例分析】
【考点1：完全平方公式】
【典例1】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．
【变式1-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．
【变式1-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．
【变式1-4】（2019秋•虹口区校级月考）计算：（x﹣2y+1）2．
【考点2：完全平方公式的几何背景】
【典例2】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mnB．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2
【变式2-1】（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+abD．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【变式2-2】（2021秋•思明区校级期末）如图，用4个相同的长方形围成一个大正方形，若长方形的长和宽分别为a、b，则下面四个代数式，不能表示大正方形面积的是（ ）
A．a2+b2B．（a+b）2
C．a（a+b）+b（a+b）D．（a﹣b）2+4ab
【变式2-3】（2021秋•香坊区期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【典例3】（2022春•钢城区期末）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 ；
方法二 ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
【变式3-1】（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．
（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）
（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．
【变式3-2】（2022春•六盘水期中）图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，试求x+y值；
（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝32，求图中阴影部分面积S3．
【变式3-3】（2022春•胶州市期中）阅读材料：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
类比应用：
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15．分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面积和．
【典例4】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【变式4-1】（2022春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
【变式4-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【变式4-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：
（1）xy；
（2）x﹣y．
专题1.5 完全平方公式（知识解读）
【学习目标】
1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【知识点梳理】
知识点1：完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
知识点2：拓展、补充公式
；；
；.
【典例分析】
【考点1：完全平方公式】
【典例1】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；
（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；
（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；
（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．
【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．
【解答】解：原式＝（4x+）2
＝16x2+4xy+y2．
【变式1-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．
【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2
＝9a2﹣6ab+b2．
【变式1-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．
【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2
＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2
＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．
【变式1-4】（2019秋•虹口区校级月考）计算：（x﹣2y+1）2．
【解答】解：原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1
＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．
【考点2：完全平方公式的几何背景】
【典例2】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（ ）
A．mnB．m2﹣n2C．（m﹣n）2D．（m+n）2
【答案】C
【解答】解：方法一：
图2中四个长方形的面积的和＝图1的长方形的面积＝2m×2n＝4mn，
图2的大正方形的面积＝（m+n）2，
图2中阴影部分的面积＝图2的大正方形的面积﹣图2中四个长方形的面积的和
＝（m+n）2﹣4mn
＝m2+2mn+n2﹣4mn
＝m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2．
方法二：
图中阴影部分是正方形，且四个边长都是（m﹣n），
∴阴影部分的面积＝（m﹣n）2．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+abD．（a+b）（a+b）＝a2+b2
【答案】B
【解答】解：根据图2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•思明区校级期末）如图，用4个相同的长方形围成一个大正方形，若长方形的长和宽分别为a、b，则下面四个代数式，不能表示大正方形面积的是（ ）
A．a2+b2B．（a+b）2
C．a（a+b）+b（a+b）D．（a﹣b）2+4ab
【答案】A
【解答】解：∵大正方形的面积进行整体求解时为：（a+b）2＝a2+2ab+b2，且（a+b）2＝（a+b）（a+b）＝a（a+b）+b（a+b）；按各部分求和计算时为（a﹣b）2+4ab，
故选：A．
【变式2-3】（2021秋•香坊区期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【典例3】（2022春•钢城区期末）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图①所示的红色长方形卡纸，卡纸长为2a，宽为2b，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图②的方式拼成一个正方形，中间的空缺处（阴影部分）用黄色卡纸进行拼接．
（1）需要黄色卡纸的边长为 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一 ；
方法二 ；
（3）观察图②直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系式 ；
（4）根据（3）中的等量关系解决下列问题：若a+b＝6，ab＝7，求（a﹣b）2的值．
【解答】解：（1）根据图形可观察出：边长为a﹣b；
故答案为：a﹣b；
（2）①小正方的边长为a﹣b，面积可表示为：（a﹣b）2，
大正方形的面积为：（a+b）2，
四个矩形的面积和为4ab，
所以小正方形面积可表示为：（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）由题意得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）由（3）很快可求出（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×7＝8．
【变式3-1】（2022春•包头期末）如图，学校有一块长为（a+2b）m，宽为（a+b）m的长方形土地，四个角留出四个边长为（b﹣a）m的小正方形空地，剩余部分进行绿化．
（1）用含a、b的式子表示要进行绿化的土地面积；（结果要化简）
（2）当a＝6，b＝10时，求要进行绿化的土地面积．
【解答】解：（1）由于S绿化面积＝S长方形﹣4S小正方形，因此有，
（a+b）（a+2b）﹣4（b﹣a）2
＝a2+3ab+2b2﹣4a2+8ab﹣4b2
＝（11ab﹣3a2﹣2b2）m2，
答：绿化的面积为（11ab﹣3a2﹣2b2）m2；
（2）当a＝6，b＝10时，
原式＝660﹣108﹣200＝352（m2）
答：当a＝6，b＝10时，绿化的土地面积为352m2．
【变式3-2】（2022春•六盘水期中）图①是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ；
（2）运用你在（1）中得到的关系式，计算：若x、y为实数，且xy＝﹣5，x﹣y＝6，试求x+y值；
（3）如图③，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝32，求图中阴影部分面积S3．
【解答】解：（1）运用完全平方公式展开得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）（ x+y）2＝4xy+（x﹣y）2；
＝4×（﹣5）+62；
＝16．
所以，x+y＝±4
（3）S3＝AC×CB（令AC＝x，BC＝y）
所以 S3＝xy
又因为S1+S2＝32即x2+y2＝32；AB＝10即x+y＝10
所以，xy＝＝＝34
所以S3＝＝×34＝17
答：图中阴影部分面积是17．
【变式3-3】（2022春•胶州市期中）阅读材料：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
类比应用：
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若（3﹣x）（x﹣2）＝﹣1，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝11，求（n﹣2021）（2022﹣n）的值；
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15．分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求正方形MFRN和正方形GFDH的面积和．
【解答】解：（1）设3﹣x＝p，x﹣2＝q，则（3﹣x）（x﹣2）＝pq＝﹣1，（3﹣x）+（x﹣2）＝p+q＝1，
∴（3﹣x）2+（x﹣2）2＝p2+q2
＝（p+q）2﹣2pq
＝1+2
＝3；
（2）设n﹣2021＝a，2022﹣n＝b，则（n﹣2021）2+（2022﹣n）2＝a2+b2＝11，（n﹣2021）+（2022﹣n）＝a+b＝1，
∴（n﹣2021）（2022﹣n）＝ab
＝
＝
＝﹣5；
（3）由题意可得，DE＝MF＝x﹣1，DF＝x﹣3，（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝m，x﹣3＝n，则m﹣n＝2，（x﹣1）（x﹣3）＝mn＝15，
∴（x﹣1）2+（x﹣3）2＝m2+n2
＝（m﹣n）2+2mn，
＝4+30
＝34，
即正方形MFRN和正方形GFDH的面积和为34．
【典例4】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）
＝25+6
＝31；
（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，
∴（x﹣y）2
＝x2+y2﹣2xy
＝31﹣2×（﹣3）
＝37．
【变式4-1】（2022春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
【解答】解：x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×2
＝21．
【变式4-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，x+y＝3，xy＝﹣1，
∴9＝x2+y2﹣2，
∴x2+y2＝11；
（2）∵x2+y2＝11，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝11﹣2×（﹣1）＝13．
【变式4-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：
（1）xy；
（2）x﹣y．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+2xy+y2＝49，
∵x2+y2＝29，
∴2xy＝20，
∴xy＝10．
（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，
∴x﹣y＝±3．
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