高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教学设计

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问题1：图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间t变化的函数ℎ(t)=−4. 9t2+4. 8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=ℎ'(t)=−9. 8t+4. 8的图象，a=2449，b是函数ℎ(t)的零点. 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学角度刻画这种区别？
a
b
t
h
O
(1)
b
t
v
O
(2)
答案：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度ℎ随时间t的增加而增加，即t∈(0,a)，ℎ(t)单调递增. 相应地，v(t)=ℎ'(t)>0.
从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即t∈(a,b)，ℎ(t)单调递减. v(t)=ℎ'(t)<0.
追问：能否由ℎ'(t)的正负来判断函数ℎ(t)的单调性呢？
答案：猜想：在区间(a,b)上，ℎ'(t)>0，ℎ(t)单调递增；在区间(a,b)上，ℎ'(t)<0，ℎ(t)单调递减.
课堂探究
问题2：观察下面一些函数的图象，你能说明导数的正负与函数单调性的关系吗？
(1) (2) (3) (4)
答案：
(1) 在R上，f(x)单调递增， f'x=1>0.
(2) 在(−∞,0)上， f(x)单调递减， f'x=2x<0;
在(0,+∞)上， f(x)单调递增， f'x=2x>0.
(3) 在(−∞,0)上， f(x)单调递增， f'x=3x2>0;
在(0,+∞)上， f(x)单调递增， f'x=3x2>0.
(4) 在(−∞,0)上， f(x)单调递减， f'x=−1x2<0;
在(0,+∞)上， f(x)单调递减， f'(x)=−1x2<0.
函数f(x)的单调性与导函数f’(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f’(x)>0，则f(x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f’(x)<0，则f(x)在区间(a,b)上单调递减.
问题3：为什么函数的单调性和导数的正负之间有这样的关系？
答案：导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率，可以发现：

在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)图象也是上升的，函数在x=x0附近单调递增.
在x=x1处，f'(x1)>0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)图象也是下降的，函数在x=x1附近单调递减.
结论：函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系：
在某区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么f(x)在此区间上单调递增；
在某区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么f(x)在此区间上单调递减.
追问1：能否说明函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f'(x)的正负是什么关系？
答案：任取两点P1 (x1,f(x1))， P2 (x2,f(x2))，则平均变化率为f(x1)−f(x2)x1−x2，表示过P1P2两点割线的斜率，如果f(x)在一个区间内任意两点连成割线的斜率f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则区间(a,b)上任意的x1，x2，当x1同理可论证在某区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在此区间上单调递减；
追问2：如果函数f(x)在区间(a,b)上恒有f'(x)=0，那么函数 f(x)有什么特性呢？
答案：此时函数f(x)是常值函数.
知识应用
例1：已知导函数f'(x)的信息如下：
当10；
当x<1，或x>4时，f'(x)<0；
当x=1，或x=4时，f'(x)=0.
试画出函数f(x)图象的大致形状.
解：当10，可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；
当x<1，或x>4时，f'(x)<0，可知f(x)在区间(−∞,1)和(4,+∞)上单调递减；
当x=1，或x=4时，f'(x)=0.
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.