初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称公开课教学设计及反思

这是一份初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称公开课教学设计及反思，共73页。教案主要包含了情景导入，说明与建议，类比导入，悬念激趣，归纳导入，置疑导入，复习导入，课堂引入等内容，欢迎下载使用。
13．1.1 轴对称
本课时与现实生活联系紧密．在新课程标准中要求：“探索并理解平面图形的轴对称”“通过具体实例了解轴对称及轴对称图形的概念，认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．”初中阶段我们从实际生活中的对称出发，进一步研究几何图形的轴对称性，从中让学生体会联想和类比的数学思想方法，它不但与图形的运动方式中的“翻折”有着不可分割的联系，是今后研究等腰三角形、特殊四边形等图形的性质的重要依据和基础。
【情景导入】
我们生活在充满图形的世界中，利用图形的某种特征我们想象和创造了许多美丽的事物，其中利用对称是非常重要的一种方法．从古至今，不论在自然界还是在建筑中，不论在艺术还是在科学中，甚至在最普通的日常生活用品中，对称的形式随处可见，对称给我们带来了美的感受！而轴对称是对称中重要的一种，今天让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
探究一：如图，我们先来看这几幅图片，观察它们有什么共同特征．
探究二：观察下图，把每组图形沿虚线对折，观察它们有什么共同特征．
【说明与建议】 说明：创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形，归纳轴对称和轴对称图形的概念．通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生的学习欲望，使学生主动参与到数学学习活动中，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又应用于生活．建议：努力体现数学与生活的联系，教学中要提供丰富的图案，让学生感受到数学就在我们身边．同时，学生在这些图案的认识过程中学习新知，应用新知，激发他们学习数学的兴趣．
命题角度1 利用轴对称图形的定义识别轴对称图形
1．(青岛中考)剪纸是我国古老的民间艺术．下列四个剪纸图案为轴对称图形的是(C)

ABCD
2．(绵阳中考)下列图形中，轴对称图形的个数是(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
命题角度2 利用轴对称的定义识别轴对称
3．(陕西中考)下列各选项中，两个三角形成轴对称的是(A)

ABCD
命题角度3 利用轴对称的性质解题
4．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝8 cm，AC＝10 cm，BC＝14 cm，则△DBE的周长为12__cm．
5．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为90°．
对称的起源
自古以来，人们就已经讨论“对称原理”之一——左和右之间的对称(比如还有上、下、前、后等之间的对称)了．对称的概念源于数学(更确切地讲是欧氏几何)，对于“对称”在生物现象中的研究，始于1848年的巴斯德 (Pasteur) 的工作，“对称”在天文学(甚至自然界)上的研究，则始于两千多年前的古希腊人，20世纪的物理学家从研究中发现：对称的重要性在与日俱增，这从某个方面也说明了希腊人想法的合理性．
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课的主要内容是进一步学习线段的垂直平分线的性质与判定．线段的垂直平分线的性质与判定在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明，方便计算．在本课的学习中，应注重联系线段的垂直平分线性质，提高综合运用知识的能力．
【类比导入】
1．前面我们学习了角的平分线的性质和判定，具体内容是什么？
2．上节课我们学习了线段的垂直平分线，既然“角的平分线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”，那么它们之间很可能存在相类似的地方，你能找出哪些相似之处呢？
3．你能证明你发现的结论是正确的吗？
【说明与建议】 说明：利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似之处猜想结论，体现了类比思想在发现新知识中的重要作用．建议：启发学生画图观察，仿照角的平分线从定义、性质和判定三个角度思考，类比角的平分线定义可以得出倍半关系，类比角的平分线性质与判定分别得到线段的垂直平分线的性质与判定．在探索过程中，强调类比思想的重要性．对于性质与判定的证明，学生独立完成为主，对于确有困难的学生可以让其选取其一进行证明．
命题角度1 利用线段垂直平分线的性质进行有关的计算
1．如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为3cm.
2．如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC.若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于(B)
A．11 B．16 C．17 D．18
3．如图，△ABC中，BC＝14，边AB的垂直平分线和边AC的垂直平分线相交于点M，且与边BC分别相交于点D，E，连接AE，AD，则△AED的周长(A)
A．14 B．10 C．18 D．不能确定
命题角度2 线段的垂直平分线的判定
4．如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是(D)
A．P是∠ACB的平分线与AB的交点
B．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
C．P是AC的垂直平分线与AB的交点
D．P是BC的垂直平分线与AB的交点
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10.请你解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
解：(1)∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA.
同理EA＝EC.
∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝10.
(2)点O在边BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO.
∵l1与l2是AB，AC的垂直平分线，
∴AO＝BO，CO＝AO.
∴OB＝OC.
∴点O在边BC的垂直平分线上．
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第2课时 作轴对称图形的对称轴
本课时主要介绍了如何作出轴对称图形的对称轴的方法；让学生学会判断一些图形是否是轴对称图形，并找出其对称轴．注意这些图形的对称性都不是严格证明的，不要求学生证明他们，只要能说出是不是轴对称图形，找出其对称轴即可．要注意有些图形的对称轴不止一条．
【悬念激趣】
巴依老爷和穷人都想在自己家前的路边修一口水井，贪婪的巴依老爷要求穷人和他对半出钱．如图，巴依老爷想把水井修在家门口的路边的A′处，穷人要求把水井修在路边的B′处，双方争执不下，于是找聪明的阿凡提来解决他们的分歧．如果你是聪明的阿凡提，能使水井在路边而且双方都满意吗？
【说明与建议】 说明：通过故事的引入启迪学生针对故事中出现的问题进行思考，找出解决问题的关键，并激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性．建议：先让学生思考，进行猜想，试着找出井的位置，随后提出疑问，设置悬念．
命题角度1 画轴对称图形的对称轴
1．如图，是轴对称图形且只有两条对称轴的是①②(填序号)．
2．找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．
解：所画对称轴如图所示．
3．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
解：如图．
命题角度2 线段的垂直平分线的画法
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.在CB上找一点E，使EB＝EA(利用尺规作图，保留作图痕迹)．
解：如图，点E为所作．
命题角度3 利用线段的垂直平分线的作图解决实际问题
5．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P，P′.
6．某乡镇准备为三个村庄A，B，C(其位置如图所示)修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？(写出作法，并保留作图痕迹)
解：作法：(1)连接AB，BC.
(2)作AB，BC的垂直平分线，交于点P.
则点P就是水井的位置．
尺规作图法的由来
初等平面几何的研究对象，不外乎是直线、圆以及由它们(或其中一部分)所组成的图形．因此作图的工具，习惯上限用直尺和圆规两种．直尺假定其直而且长，但上面无任何刻度，圆规则假定其两腿够长，并能开闭自如．限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫作尺规作图法，也叫作初等几何作图法或欧几里得作图法．
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13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
本节课内容属于“图形的变化”领域，画轴对称图形是继平移变换之后的又一种图形变换，是利用轴对称变换设计图案的基础．它是研究几何问题、发现几何结论的有效工具．
画轴对称图形是由一个图形得到它的轴对称图形的过程，可以从图形的位置关系和数量关系两方面进行研究．从图形的形状和大小、点的对称及对应点所连线段与对称轴的关系等方面归纳出轴对称的性质，它是画轴对称图形的依据．画轴对称图形是轴对称性质的运用，由点的对称得到图形的对称，体会由具体到抽象的过程，进一步使学生对图形的认识从静态上升到动态，体会研究图形问题的新角度，欣赏和体验数学美．
【归纳导入】
准备两张半透明的纸．
1．在纸的左边部分，画出左手印，把这张纸左右对折后描图，打开对折的纸进行观察，这两个手印成轴对称吗？如果成轴对称，你能画出对称轴吗？
2．在纸上画△ABC，在旁边任意画一条直线l，分别作出顶点A，B，C到直线l的垂线段，然后将纸沿直线l对折，描出△ABC及顶点到l的垂线段，打开对折的纸进行观察．你能从中悟出怎样作一个图形关于某条直线对称的对称图形吗？(引入新课)
【说明与建议】 说明：培养学生的动手能力，让学生进一步体会轴对称的性质，为本节课研究作轴对称图形做铺垫．建议：教学中教师可设计几个探究活动，从而归纳出作图的方法．
命题角度1 作已知图形的轴对称图形
1．作图题：作出△ABC关于直线l成轴对称的图形．
解：如图，△AB′C′即为所求作．
2.作图题：在图中，画出△CDE关于直线AB的对称图形△C′D′E′.
解：如图，△C′D′E′为所作．
命题角度2 利用轴对称的作图与性质解决问题
3．如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，P′，P″分别是点P关于OA，OB的对称点，连接P′P″，分别交OA于M，OB于N.如果P′P″＝5 cm，△PMN的周长为l，∠MPN度数为α，请根据以上信息完成作图，并算出l和α的值．
解：根据信息完成作图，如图所示，连接OP，OP′，OP″.
∵P与P′关于OA对称，∴OA是PP′的垂直平分线，
∴P′M＝PM，P′O＝PO.
同理，得PN＝P″N，PO＝P″O.
∴△P′OM≌△POM(SSS)，
△PON≌△P″ON(SSS)．
∴∠OP′M＝∠OPM，∠OP″N＝∠OPN，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB.
∴∠P′OP″＝2∠AOB＝2×40°＝80°.
∴∠MPN＝∠OPM＋∠OPN＝∠OP′M＋∠OP″N＝180°－∠P′OP″＝180°－80°＝100°.
∴l＝PM＋PN＋MN＝P′M＋P″N＋MN＝P′P″＝5 cm.
∴α＝100°，l＝5 cm.
命题角度3 折叠问题中的轴对称

4．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是(A)

ABCD
5．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你可见到的图形是(C)

ABCD
镜子中的轴对称——如何读镜子中看到的时钟的时间
从镜子里观察到的时钟的像与时钟上下位置不变，左右位置相反，于是，我们可以采用以下两种方法确定时间．
方法一：“反看正读法”，从题目纸的背面看镜中的时间，采用常规的读数方法即可得出实际时间．
方法二：“12扣除法”，将镜中时钟上的时间按常规读出后，再用12减去这个时间即可得出实际时间．
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第2课时 用坐标表示轴对称
本节课是在学生学习了轴对称及画轴对称图形后进行的．用坐标表示轴对称体现了轴对称在平面直角坐标系中的应用，从数量关系的角度来刻画轴对称．通过这节课的学习，让学生感受两个图形关于x轴，y轴对称的坐标变化规律，从而体验数和形的紧密结合，把坐标思想和图形对称变换的思想联系起来．
【置疑导入】
1．如图1：(1)图中两个圆脸有什么关系？
(2)已知右边圆脸上右眼的坐标为B(4，3)，左眼的坐标为A(2，3)，嘴角两个端点的坐标分别为C(4，1)，D(2，1)．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼、右眼及嘴角两端点的坐标吗？

图1 图2
2．在平面直角坐标系中，将坐标分别为(2，2)，(4，2)，(4，4)，(2，4)的点用线段依次连接起来形成一个图案(如图2)．
(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘－1，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
如图，师生共同归纳：
(1)将各个点的纵坐标不变，横坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A1(－2，2)，B1(－4，2)，C1(－4，4)，D1(－2，4)．顺次连接各点所得到的图案和原图案比较，不难发现：它们是关于y轴对称的．
(2)将各个点的横坐标不变，纵坐标乘－1，得到相应的四个点分别为A2(2，－2)，B2(4，－2)，C2(4，－4)，D2(2，－4)．顺次连接各点所得到的图案和原图案比较，不难发现：它们是关于x轴对称的．
【说明与建议】 说明：通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种从形到数的探究，接着又对坐标实施变化，引起图案的变化，使学生在坐标的变化中产生对坐标规律的探究欲望．建议：(1)教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．(2)教学中注意渗透数形结合思想，切忌死记硬背结论．
命题角度1 求已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标
1．在平面直角坐标系中，下列各点与点(2，3)关于x轴对称的是(A)
A．(2，－3) B．(3，2) C．(－2，－3) D．(－2，3)
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－2，1)，点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标是(C)
A．(1，－2) B．(2，－1) C．(2，1) D．(－1，－2)
3．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换．若原来点C坐标是(5，2)，则经过第2 022次变换后点C的对应点的坐标为(A)
A．(－5，－2) B．(5，－2) C．(－5，2) D．(5，2)
命题角度2 根据轴对称的点的坐标特征确定字母的取值
4．点P(a，－4)与Q(2，4)关于x轴对称，则a的值为(C)
A．－6 B．－2 C．2 D．6
5．已知点A(m＋2，3)与点B(－4，n＋5)关于y轴对称，则m＋n的值为(B)
A．－8 B．0 C．－6 D．－14
命题角度3 作规则图形关于坐标轴的对称图形
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(1，5)，C(4，4)．
(1)作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点B1的坐标．
(2)求△A1B1C1的面积．
解：(1)如图所示，B1(－1，5)．
(2)△A1B1C1的面积＝4×5－eq \f(1,2)×2×4－eq \f(1,2)×1×3－eq \f(1,2)×3×5＝7.
命题角度4 作规则图形关于直线x＝m(或y＝n)(m，n为常数)对称的图形
7．在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线y＝－1的对称点的坐标是(4，－4)．
8．在平面直角坐标系中，直线l是经过点(1，0)且平行于y轴的直线，点A(m－1，3)与点B(2，n－1)关于直线l轴对称，则(m＋n)2 022的值为(D)
A．0 B．1 C．32 022 D．52 022
古代的轴对称建筑
我国古代建筑首先讲究对称布局，特别是北方，房子都是三间、五间、七间、九间，以中间一间对称．城市及庭院以南北为中轴线，东西对称．现存古代对称建筑有：北京故宫；沈阳故宫；孔府；西安明朝古城墙．
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13.3 等腰三角形
13．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理证明能力的基础上进行学习的，担负着进一步帮助学生学会分析、学会证明的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用；而“等边对等角”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，本节课是第三课时研究等边三角形的基础，是全章的重点之一．
【悬念激趣】
(1)如图，是一组含有等腰三角形的生活图片，让学生感知图片主要部分形状的共同点．
(2)将一把等腰三角尺和一个铅锤按如图所示方式放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
要想解决这个问题我们需要先研究等腰三角形具有哪些性质．
【说明与建议】 说明：活跃课堂气氛，消除学生的紧张情绪，让学生带着问题进入学习，也为后面的学习打下基础．建议：尽量给学生制造疑问，如怎样检查一根横梁是否水平；测平仪能测平的道理是什么等．
命题角度1 利用等腰三角形的定义解决问题
1．等腰三角形一边长是2，一边长是5，则此三角形的周长是(B)
A．9 B．12 C．15 D．9或12
2．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18 cm，则该等腰三角形底边长为(C)
A．12 cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
命题角度2 利用等腰三角形的性质“等边对等角”进行角度计算
3．如图，在△ABC中，AD是角平分线，且AD＝AC.若∠BAC＝60°，则∠B的度数是(A)
A．45° B．50° C．52° D．58°
4．如图，在∠ECF的边CE上有两点A，B，边CF上有一点D，其中BC＝BD＝DA且∠ECF＝27°，则∠ADF的度数为(C)
A．54° B．91° C．81° D．101°
命题角度3 利用等腰三角形的性质证明有关结论
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，BE⊥AC于点E.求证：∠BAC＝2∠EBC.
证明：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAC＝2∠DAC.
∴∠ADC＝90°.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.
∵∠DAC＋∠C＝∠EBC＋∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC.
∴∠BAC＝2∠EBC.
6．如图：△ABC中，AB＝AC，点E为线段BA延长线上一点，AD平分∠EAC.求证：AD∥BC.
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝eq \f(1,2)∠EAC.
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠C.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠B＝eq \f(1,2)∠EAC.∴∠EAD＝∠B.
∴AD∥BC.
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第2课时 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定是初中数学的一个重要定理，也是本章的重点内容．本节内容是在学生已有的平行线性质、命题以及等腰三角形的性质等知识的基础上进一步研究的问题．特点之一是它揭示了同一个三角形的边、角关系；特点之二是它与等腰三角形的性质定理互为逆定理；特点之三是它为我们提供了证明两条线段相等的新方法，为以后的学习提供了证明和计算依据，有助于培养学生思维的灵活性和广阔性．纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、全等三角形、轴对称等平面几何知识，并且具备了初步的观察、猜想、操作等活动经验的基础上讲授的．这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习平行四边形、菱形、矩形、正方形及圆等知识的基础，起着承前启后的作用．
【复习导入】
1．在前一节课中我们学习了等腰三角形的性质，谁能总结一下等腰三角形的性质是什么呢？
2．应用这些性质的前提是什么？
3．我们如何判定一个三角形是等腰三角形呢？
4．同学们现在有方法吗？
【说明与建议】 说明：以复习旧知识问题串的形式让学生进入学习状态，同时引发疑问，激发学生的好奇心和求知欲．建议：复习时可以配以相应的简单的练习题，以便巩固上节课所学的内容．
【悬念激趣】
如图，某地质专家为估测一条东西流向的河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB＝30°，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知道河流的宽度是50米．
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的依据是什么吗？他是怎么知道BC的长度就等于河流的宽度呢？那就要好好学习今天老师讲的等腰三角形的判定哟！
【说明与建议】 说明：设置这样的悬念，使学生的学习活动有了明确的目的，从而能够积极主动地探索新知识．建议：让学生初步思考，如果困难特别大，可以先让学生求一下各个角的度数．
命题角度1 等腰三角形的判定方法的应用

1．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有(B)个．
A．2 B．3C．4 D．5
2．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
证明：∵AB∥CD.
∴∠DFE＝∠1＝60°.
∴∠CFE＝180°－∠DFE＝180°－60°＝120°.
∴∠CEF＝180°－∠2－∠CFE＝180°－30°－120°＝30°.
∴∠2＝∠CEF.
∴CF＝EF.
∴△FCE是等腰三角形．
命题角度2 等腰三角形的性质与判定的综合运用
3．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是100°或55°或70°．
4．如图，已知∠MON，在边ON 上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM 上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…
(1)若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3；
(2)若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON 的度数α 的取值范围是18°≤α＜22.5°．
5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD，试说明△DBC是等腰三角形．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD.
即∠DBC＝∠DCB.
∴BD＝CD.
∴△DBC是等腰三角形．
命题角度3 等腰三角形的存在性问题
6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画(C)
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
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13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用．本课是在学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材．这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用．
【情景导入】
在一次探究活动中，老师给同学们出了一道题目：“如果等腰三角形有一个角是60°，那么这个三角形的三边有什么关系？”
小明假设底角为60°，得出了三个角都是60°；小亮假设顶角为60°，也得出了三个角都是60°，根据“等角对等边”，最后得出结论：三边都相等．
老师告诉他们“这种三条边都相等的三角形叫做等边三角形”．小明、小亮也发表了自己的看法，小明认为“三条边都相等的三角形是等边三角形，而不是等腰三角形”；小亮认为“等边三角形也是等腰三角形，只是比一般的等腰三角形特殊而已”．小明、小亮谁的看法有道理呢？
【说明与建议】 说明：通过问题情境引入本节课的课题，增强学生的学习兴趣．建议：教师引导学生既动手又动脑，自主探究发现等边三角形的边角关系，注重引导分类讨论，让学生经历观察——实践——猜想——证明的思维过程．
命题角度1 利用等边三角形的性质与判定进行简单的计算或证明
1．如图，AB＝AC＝8 cm，DB＝DC.若∠ABC＝60°，则BE＝4cm.
2．已知：如图所示，边长为6的等边△ABC，以BC边所在直线为x轴，过B点且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A点坐标为(3，3eq \r(3))．
命题角度2 与等边三角形有关的变式拓展型问题
3．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH.
(1)请说出AD＝BE的理由；
(2)试说出△BCH≌△ACG的理由；
(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．
解：(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
∠ACB＝∠ECD＝60°.
∴∠ACD＝∠ECB.
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE.
(2)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBH＝∠CAG.
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.
又∵AC＝BC，
∴△BCH≌△ACG(ASA)．
(3)△CGH是等边三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH，
∴CG＝CH(全等三角形的对应边相等)．
又∵∠ACG＝60°，
∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形)．
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
(2)点M是线段CD上的一点(不与点C，D重合)，以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
解：(1)证明
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝eq \f(1,2)AB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°.
∴DA＝DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE＝BE＝eq \f(1,2)AB.
∴BC＝BE.
∴△EBC是等边三角形．
(2)结论：AD＝DG＋DM.
证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD.
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形．
∴MW＝DM.
在△WGM和△DBM中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠W＝∠MDB，,MW＝MD，,∠WMG＝∠DMB，))
∴△WGM≌△DBM(ASA)．
∴BD＝WG＝DG＋DM.
∴AD＝DG＋DM.
命题角度3 与等边三角形有关的探索规律型问题
5．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如图①)；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是400．
6．如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1＝30°，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，△AnBnBn＋1都是等边三角形，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，B3，…，Bn＋1在OM上，A1B2∥A2B3∥A3B4，…，AnBn＋1∥y轴，OA1＝2eq \r(3)，则第n个等边△AnBnBn＋1的面积是4n－1eq \r(3)．
详见电子资源
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
本节课在学习了轴对称、等边三角形的性质与判定的基础上，探究直角三角形的一条特殊性质，学习含30度角的直角三角形的性质定理，它反映了直角三角形中的边角关系．本节课是等边三角形性质的简单运用，同时也为九年级学习锐角三角函数作了一定的知识储备．
【情景导入】
如图，一艘轮船从A处出发，以每小时10 n mile(海里)的速度向正北方向航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上．
(1)画出礁石C的大致位置；
(2)轮船继续航行多久，测得礁石C在正西方向？
【说明与建议】 说明：通过实际问题情境引入本节课的课题，激发学生的学习兴趣．建议：教师注意引导学生观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．
命题角度1 利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长
1．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC，CE＝3，则AB等于(B)
A．11 B．12 C．13 D．14
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，MA⊥AC交BC于点M.若AM＝1.2，则BC的长度为(A)
A．3.6 B．3.2 C．3 D．2.8
3．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为(C)
A．8 B．7 C．5 D．4
4．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D，E，设PA＝x.若用含x的式子表示AE的长，正确的是(B)
A．2－eq \f(1,2)x B．3－eq \f(1,4)x C．1＋eq \f(1,2)x D．2＋eq \f(1,4)x
命题角度2 等边三角形、直角三角形的性质的综合运用
5．如图，在等边△ABC中，D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F.若CD＝2，求DF的长．
解：在等边△ABC中，
∠A＝∠B＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠EDF＝∠B＝60°，∠CED＝∠A＝60°.
∴ED＝DC＝2.
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDF＝90°－60°＝30°.
∴DF＝2DE＝4.
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13.4 课题学习 最短路径问题
最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题，本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段和最短问题，再利用轴对称将线段和最小转化为两点之间，线段最短问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活．
【悬念激趣】
先来看著名的“将军饮马问题”：
古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图由A地出发到笔直的河岸去饮马，然后再去B地，怎样走路线最短呢？
精通数学、物理学的海伦是这样解答的：作点B关于笔直河岸的对称点B′，连接AB′交河岸于点C，点C即为所求．即从A地到C处饮马，再从C处去B地，这样所走的总路程最短．解释原因时，海伦指出：再另外任取一点C′，在此处饮马然后到B地的路线都会比线段AB′长．
海伦精彩地利用翻折法将一个折线问题转化为一个直线问题，那么解决最短路径问题有哪些规律呢？让我们一起来探索一下吧！
【说明与建议】 说明：利用名题赏析引入课题，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，激发学生的学习兴趣．建议：教师要充分调动学生学习的积极性，培养学生探索的欲望．教师为了讲清楚这个问题可作如下问题设置：这是一个实际问题，你能将这个问题抽象为数学问题吗？你打算首先做什么？
命题角度1 利用翻折法(轴对称变换)解决最值问题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为(C)
A．10B．11C．12D．13
命题角度2 利用平移法解决最值问题
2．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直)(D)

A.(BM垂直于a) B.(AM不平行BN)

C.(AN垂直于b) D.(AM平行BN)
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课题
13.1.1 轴对称
授课人
素养目标
1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．
2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．
3．掌握线段的垂直平分线的概念．
4．理解和掌握轴对称的性质.
5．通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，让学生体会数学在实际生活中的应用，激发学生学习的热情.
教学重点
轴对称图形的识别及轴对称图形与轴对称的联系.
教学难点
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
如图，已知∠B＝∠C，AD平分∠BAC，用来直接证明△ABD≌△ACD的依据是(C)
A．ASA B．SASC．AAS D．SSS
请思考：沿着AD折叠△ABD和△ACD能否重合？你能用全等的知识解释吗？
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．作品展示：
让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)．
2．小组活动：
(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样做？
(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？
师生活动：学生进行小组交流，教师点拨并引出轴对称的概念．
通过收集材料、剪纸操作，增加学生对轴对称图形的感性认识，为轴对称概念的引出作准备.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
一、轴对称图形
学生在观察、交流的基础上描述窗花的特征．
归纳概念：
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
教师在学生描述的基础上归纳轴对称图形及轴对称的概念，并板书概念．
二、两个图形关于某条直线对称
1．观察教材第59页图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？
2．两个图形成轴对称的定义．
观察下图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．
3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？
4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．
区别概念：
名称
轴对称图形
轴对称
区别
图形个数
一个图形
两个图形
图形的特殊性
一个具有特殊形状的图形
两个具有特殊位置关系的图形
联系
把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称
师生活动：学生认真观察展示的图片，合作交流，描述轴对称图形与轴对称的区别，教师指导学生从不同方面区别轴对称图形与轴对称.
三、轴对称的性质
观察教材第59页图13.1－4，线段 AA′与直线 MN 有怎样的位置关系？你能说明理由吗？
引导学生说出如下关系：AP＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.
类似地，点B与点B′，点C与点C′是否也有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？
结合学生发表的观点，教师总结并板书：
1.对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.
2.经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
3.轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
4.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
1.学生通过观察、思考、合作交流，认识两个图形成轴对称的本质特征，鼓励学生善于思考、勇于发现，培养合作意识.
2.学生在自己掌握图形特征的基础上准确掌握轴对称图形及轴对称的概念.
3.教师用多媒体展示△ABC与△A′B′C′沿直线MN折叠的过程，引导学生观察线段AA′，BB′，CC′与直线MN的关系．学生在观察、交流的基础上描述以上三条线段与直线MN的关系.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (盐城中考)北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是(D)

A B C D
例2 下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)

A B C D
例3 如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B＝110°，∠A′＝25°，则∠C的度数为(B)
A.25° B．45° C.70° D．110°
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
【变式训练】
1.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点(A、P、A′不共线)，下列结论中，错误的是(D)
A.△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C.△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
2.如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C，D，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，若CD＝18 cm，则△PMN的周长为18__cm.
教师指导： (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定成轴对称.
(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等．
1.通过练习，进一步培养学生的观察、辨别能力，巩固所学知识.
2.考查轴对称图形性质，同时强化对于轴对称是全等变化的认识，培养利用转化思想和整体思想解决具体问题的能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1.(桂林中考)下列图形中，是轴对称图形的是(B)

A B C D
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP，BP.下列判断不一定正确的是(D)
A.AM＝BM B．∠ANM＝∠BNM
C.∠MAP＝∠MBP D．AP＝BN
3.如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°.那么∠D＝110°.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的任意两点，若△ABC的面积为10 cm2，则图中阴影部分的面积是5__cm2.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
及时反馈学习效果．考查学生对轴对称图形和轴对称概念的理解，知道轴对称图形的对称轴的不唯一性，体会轴对称在现实生活中的广泛应用.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)学完本节课后，你有哪些收获，有哪些进步，还存在哪些困惑？
(2)本节课我们共同欣赏了生活中的轴对称图形，通过图形理解了轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念，请大家回忆一下，它们有什么区别和联系？
(3)轴对称和全等有什么关系？轴对称还有什么性质？
教师引导学生回顾本节课的知识，并总结、归纳本节课的重点.
2.布置作业：
教材第64～65页习题13.1第1，2，3，4，5题．
巩固、梳理所学知识．对学生进行鼓励，并进行思想教育.
板书设计
13.1.1 轴对称
一、轴对称图形
二、两个图形关于某条直线对称
三、轴对称的性质
提纲挈领，重点突出.
教学反思
教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动，也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策的过程.
课题
13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
授课人
素养目标
1.掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.
2.通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法.
教学重点
线段的垂直平分线的性质与判定.
教学难点
线段的垂直平分线的性质与判定的运用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．
通过问题激发学生的学习兴趣和进一步探究新知的欲望.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．线段的垂直平分线的性质与判定
教师出示教材第 61页探究，让学生测量，思考有什么发现．
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
性质的证明：
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：
上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线 MN 是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接 PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.
教师分析证明思路：图中有两个直角三角形△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PA＝PB.
师生活动：教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
归纳：
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
反过来，如果 PA＝PB，那么点P是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？
逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行完成．
归纳：
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
教师把线段的垂直平分线的性质、判定与角平分线的性质、判定进行比较．
2．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C，如图所示．
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
(2)以点C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线．
教师活动：引导学生写出已知、求作，并思考作法，指导学生完成作图．
学生活动：完成作图，说出这样做的理由．
【变式】 尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
学生仿照上述作图进行解答，可以进行小组合作，然后展示作图过程或痕迹，师生共同订正．
1.加深学生对定义的理解，培养学生的动手能力．
2．学生通过证明、比较，准确掌握线段的垂直平分线的性质和判定.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(B)
A．6 B．5 C．4 D．3
例2 如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，作直线l垂直平分FG，下列说法正确的是(A)
A．直线l是线段EH的垂直平分线
B．直线l是线段EQ的垂直平分线
C．直线l是线段FH的垂直平分线
D．EH是线段l的垂直平分线
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，∠B＝68°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于eq \f(1,2)AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为(D)
A．50° B．52° C．54° D．56°
2．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝1，则AC的长为(C)
A．16 B．15 C．14 D．13
师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨．
1.巩固对线段的垂直平分线的性质与判定的理解，进一步体会转化思想与整体思想对解题的指导意义．
2．进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题、解决问题的能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．三角形中，到三个顶点距离相等的点是(A)
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点
2．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于eq \f(1,2)AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD.若AC＝6，AB＝8，BC＝4，则△BEC的周长(A)
A．10 B．12 C．8 D．14
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26 cm，AF＝5 cm，则DC的长为(B)
A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)线段的垂直平分线的性质和判定分别是什么？
(2)线段的垂直平分线的性质为推导两条线段相等提供了一种新思路，你还知道哪些方法能证明两条线段相等？
2．布置作业：
教材第65～66页习题13.1第6，9，13题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
1．线段的垂直平分线的性质
2．线段的垂直平分线的判定
3．尺规作图
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
正多边形的边数
3
4
5
6
…
对称轴的条数
3
4
5
6
…
课题
13.1.2 第2课时 作轴对称图形的对称轴
授课人
素养目标
1.会画轴对称图形的对称轴.
2.通过学习轴对称图形的对称轴的画法，进一步激发学生学习数学，应用数学知识创造美好生活的热情和愿望.
教学重点
利用尺规作图的方法作出对称轴或确定符合条件的点.
教学难点
尺规作图的规范性与合理性.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
任意画一条直线l与直线外一点P，用尺规作图的方法过点P作直线l的垂线．
复习旧知，并为本节课的学习做好铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
(1)如图，在平面内有任意两点A，B，我们能说这两点是成轴对称的两个图形吗？为什么？如果能，它的对称轴是什么？
(2)你能用折叠的方法得到图中A，B两点的对称轴吗？动手试一下．
(3)你能大致画出图中A，B两点的对称轴吗？画出来．
(4)你能准确画出图中A，B两点的对称轴吗？
教师活动：通过问题串引导学生思考，强调“准确”画出对称轴，不同于以往所画对称轴的大致位置，所以必须要用尺规作图的方法．
学生活动：在独立思考的基础上，可以进行讨论．
确定作图方法，为下面的内容做好铺垫．通过作图进一步巩固轴对称的性质，同时展现出轴对称的性质在作图题中的作用．充分调动学生学习的积极性，让学生自行完成.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．教师根据学生画的情况准确板书线段的垂直平分线的画法．
作法：(1)连接AB；
(2)分别以点A，B为圆心，以大于eq \f(1,2)AB的长为半径画弧，分别交于C，D两点；
(3)作直线CD.
直线CD即为所求作的直线．
归纳：同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
2．如图所示的正五角星是一个轴对称图形，请作出它的一条对称轴．
分析：连接正五角星的一组对称点，作所连线段的垂直平分线，即得它的一条对称轴．
师生共同得到以下作法：
如图①，点A和点A′是正五角星的一组对称点．连接AA′，作线段AA′的垂直平分线l.直线l就是这个正五角星的一条对称轴．
进一步思考一下问题：
(1)在图①中，如果把A，B两点看作对称点，你能作出这个正五角星的一条对称轴吗？
提示：(1)如图②，连接AB，作线段AB的垂直平分线m，直线m就是这个正五角星的一条对称轴．
(2)图①中的正五角星一共有几条对称轴？你能把它们都作出来吗？
答：一共有五条对称轴，如图③所示．
通过观察、思考、画图，鼓励学生善于思考、勇于发现、敢于动手，帮助学生熟练掌握线段的垂直平分线的画法.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
解：作法略，如图，MN即是所求作的直线．
【点拨】 作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．
例2 已知线段AB，求作其垂直平分线．
解：作法略．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
1．如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它们的对称轴．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
2．如图，一个三角形状的水池，现要在水池内安装一个喷水头，且喷水头到池边的距离都要相等，请用尺规找出喷水池的位置点P.
解：①以A为圆心，以任意长为半径画圆分别交AC，AB于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于eq \f(1,2)MN为半径画圆，两圆相交于G点，作射线AG，则AG即为∠A的平分线；②同理，以B为圆心，以任意长为半径画圆分别交AB，BC于H，I两点，再分别以H，I为圆心，以大于eq \f(1,2)HI为半径画圆，两圆相交于点F，作射线BF，BF交射线AG于点P，则P点即为所求点．
【点拨】角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线．
考查学生的动手能力及培养学生分析问题、解决问题的能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．(自贡中考)下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是(D)

A B C D
2．指出图中各有多少条对称轴．
解：如图，(1)有6条对称轴；(2)有4条对称轴；(3)有1条对称轴；(4)有2条对称轴；(5)有1条对称轴；(6)有1条对称轴．
3．用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A，B的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)
解：如图，点P即为所求．
4．如图，公路m，n边有两个村庄A和B，现要建一个活动点，要求到公路m，n的距离相等，到村庄A和B的距离也相等，请你画出这样的点．(保留作图痕迹，不写作法和证明)
解：连接AB，作AB的垂直平分线l，作m，n两夹角的平分线a，b，a，b分别与l相交于点P1，P2，P1，P2就是要求作的点．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
及时反馈学习效果，考查学生对轴对称图形与轴对称图形的对称轴的条数的判定，巩固线段垂直平分线的画法.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)这节课我们一直在进行尺规作图，主要探索了两类作图问题，分别是什么？
提示：①作出轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称轴；
②利用线段垂直平分线的作法解决现实生活中的确定位置问题．
(2)结合自己在这节课中的表现，总结一下在尺规作图中你要注意哪些问题．
2．布置作业：
教材第65～66页习题13.1第7，8，10，12题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 作轴对称图形的对称轴
1．线段垂直平分线的画法；
2．轴对称图形的对称轴的画法．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
课题
13.2 第1课时 画轴对称图形
授课人
素养目标
1.通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法.
2.通过探索画一般的轴对称图形的过程，使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.培养审美情趣，培养数学思维.
教学重点
利用轴对称作图.
教学难点
利用对称变换设计图案.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．
巩固旧知，引出新知.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，再把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．
认真观察：左脚印和右脚印有什么关系？图中的线段PP′与直线l是什么关系？
解：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，直线l垂直平分线段PP′.
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠、描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动：学生先观察图片、动手操作，再独立思考，然后进行交流．
教师活动：
教师组织活动，引导学生归纳：
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．
(2)新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
从学生最感兴趣的实际问题入手，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
思考1：如何画一个点的对称图形？
画出点A关于直线l的对称点A′，
画法：(1)过点A作对称轴的垂线，垂足为 B；
(2)延长AB至A′，使得 BA′＝AB.点 A′就是点A关于直线的对称点.
思考2：如图1，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？
学生活动：
学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A，B，C关于直线l的对称点再连接即可.
教师活动：
在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图2，作点A关于直线l的对称点的方法是：
(1)过点A作直线l的垂线，垂足为O；
(2)连接AO并延长到点A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．
归纳：
几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些关键殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
1.学生通过观察、思考、动手、合作交流，培养学生的合作意识和思维能力．
2．学生体会作轴对称图形的本质是作出图形的关键点的对称点.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形．
解：如图所示，四边形A′B′C′D即为所求．
例2 如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形．
解：如图所示．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
活动三：开放训练、体现应用
【变式训练】
1．如图，请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整，使得它们关于直线l对称．(保留作图痕迹)
解：如图所示．
2．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入1号球袋．
师生活动：给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到正确答案，并对学习有困难的学生适当引导、点拨．
教师指导学生画图．考查学生作轴对称图形的方法，知道在对称轴上的点其对称点是它本身，为后面的练习做铺垫.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．如图，桌面上有M，N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是(D)
A．点AB．点BC．点CD．点D
2．如图，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿底边上的高线对折，按上面方式再次对折，然后沿圆弧剪开，去掉较小部分，展开后将其平铺，得到的图形应该是(A)

A B C D
3．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是21：05．
4．在上图中补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形，有4种不同的方法．
5．如图，三角形ABC和直线MN，且三角形ABC的顶点在网格的交点上．
(1)画出三角形ABC向上平移4小格后的三角形A1B1C1；
(2)画出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A2B2C2.(以上作图不要求写作法)
解：(1)如图所示，△A1B1C1，即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2，即为所求．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
针对本课时的主要问题进行检测，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
对称点的作法、对称线段的作法及对称图形的作法．
2．布置作业：
教材第71～72页习题13.2第1，6题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
作一个点关于某条直线的对称点
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
13.2 第2课时 用坐标表示轴对称
授课人
素养目标
1．能在平面直角坐标系中作点关于坐标轴的对称点．
2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，能表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标.
3．在找点、描点的过程中，让学生体验数形结合的思想，体验学习数学的乐趣.
教学重点
1．在直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变换规律．
2．利用坐标变换规律在平面直角坐标系中作一个图形的轴对称图形.
教学难点
平面直角坐标系中，关于直线x＝m(或直线y＝n)对称的点的坐标变换规律.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
请利用前面所学的知识完成下面的问题：
如图，已知△ABC和直线MN，试作出△ABC关于直线MN对称的图形．
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
教材第69页图13.2－3是一张老北京城的示意图．
①提问：同学们去过北京吗？知道老北京城整体上有什么样的特点吗？通过图片，你知道它的对称轴在哪？其中，东直门、西直门就关于它轴对称．
现在咱们以这条对称轴为y轴，天安门为原点，就可以在这个平面图上建立平面直角坐标系．
②引出小故事：一天小明在天安门广场玩，一位外国友人向小明问西直门的位置，可小明只知道东直门的位置，不过，小明想了想，就准确的告诉了她．提问：你知道西直门的位置具体在坐标系中的哪一点上吗？
③由于老北京城的轴对称设计，城内许多建筑都关于这条中轴线对称，把老北京城的示意图，抽象成简单的平面直角坐标系，各个景点的地理位置就可用坐标表示出来．
提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？
师生活动：教师引导学生分析问题，激发学生的求知欲．学生从中受到启发继续探究点的位置与坐标之间的关系．
通过观察图形、找对称轴、建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置，对旧知进行了复习，也为探索新知识做好铺垫，建立新旧知识之间的联系.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1 在平面直角坐标系内描出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标之间有什么规律吗？
已知点
A(2，－3)
B(－1，2)
C(－6，－5)
D(0.5，1)
E(4，0)
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
学生活动：学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过讨论得出规律：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y).
由以上规律可得出：课堂引入中的西直门的坐标与东直门的坐标关于y轴对称，则西直门的坐标为(－3.5，4).
教师活动：组织学生进行探索、观察、猜测，然后进行归纳总结.
问题2 请你说出点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标，再说出点P1关于y轴对称的点P2的坐标，观察点P经过两次轴对称所得的点P2的坐标有什么规律.
学生运用规律求出点P1，P2的坐标，然后观察、归纳坐标规律.
归纳：一个点关于横轴、纵轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
1.观察操作，主动探索，研究平面直角坐标系内的轴对称.
2.加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程.
3.问题2的设置是为了加深学生对前面规律的理解.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 022的值.
解：(1)∵点A，B关于x轴对称，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－b＝2b－1，,5＋a－a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－8，,b＝－5.))
(2)∵点A，B关于y轴对称，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a－b＋2b－1＝0，,5＋a＝－a＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝3.))
∴(4a＋b)2 022＝(－4＋3)2 022＝1.
例2 (教材第70页例2)如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
解：图略.
【变式训练】
1.若点A(a，5)，在第二象限，则点A关于直线m(直线m上各点的横坐标都是1)对称的点坐标是(B)
A.(－a，5) B．(2－a，5)
C.(－a－4，－5) D．(－a－2，－5)
2.如图，已知点A(4，－1)，B(2，－4)，C(5，－5).
(1)作出△ABC以直线y＝1为对称轴的对称图形△A1B1C1；
(2)写出A，C关于直线x＝－2的对称点A2，C2的坐标及四边形ACC2A2的面积.
解：(1)略.
(2)A2(－8，－1)，C2(－9，－5)，S四边形ACC2A2＝52.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
考查学生的动手能力及培养学生分析问题、解决问题的能力.
知识的综合与拓展提高应考能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1.在平面直角坐标系中，点A(11，12)与点B(－11，12)关于y轴对称.
2.已知点P(a，3)和点Q(4，b)关于x轴对称，则(a＋b)2 021的值为(A)

A.1 B．－1 C．72 021 D．－72 021
3.已知点A(4，3)和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝－3对称，则平面内点B的坐标为(D)
A.(0，－3) B．(4，－9) C．(4，0) D．(－10，3)
4.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是(－1，5)，(－5，3)，(－3，－1)；作出△ABC关于x轴、y轴的对称图形.
解：如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作的图形.
5．如图，P，M关于直线x＝1的对称点为P′，M′.
(1)写出P′的坐标(4，4)，M′的坐标(3，1)；
(2)思考，写出P(－2，4)关于直线x＝－1的对称点坐标(0，4)；写出N′(5，－2)关于直线x＝2的对称点坐标(－1，－2)；
(3)思考，写出点(a，b)关于直线x＝n的对称点坐标(2n－a，b).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)掌握两点关于坐标轴对称的坐标规律.
(2)会求某点关于坐标轴对称的点的坐标.
2.布置作业：
教材第71～72页习题13.2第2，3，4，7题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
关于x轴、y轴对称点的坐标规律
提纲挈领，重点突出.
教学反思
进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
授课人
素养目标
1．理解并掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
3．观察等腰三角形的对称性，发展形象思维.
4．通过实践、观察、证明等腰三角形的性质的过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心.
教学重点
等腰三角形的性质及应用.
教学难点
等腰三角形性质的证明.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容．
师生活动：教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状，教师板书课题．
通过动手操作引入本节课的课题，激发学生的好奇心和求知欲.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
把导入中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段
重合的角
等腰△ABC是不是轴对称图形？对称轴是什么？
等腰△ABC除两腰相等外，它的角有什么性质？用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质.
教师活动：引导学生归纳.
性质1：等腰△的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
等腰△ABC中，AD有几种角色？各是什么？用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
学生活动：学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法．若证∠B＝∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.
于是可以作辅助线构造两个三角形，作BC边上的中线AD，证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明.
教师活动：让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．
通过观察、思考、描述、证明，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第76页例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数.
解：在△ABC中，∠A＝36°，
∠ABC＝∠C＝72°.
例2 如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，
∴BP＝PC.
∵AD＝AE，
∴DP＝PE.
∴BP－DP＝PC－PE.
∴BD＝CE.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.
【变式训练】
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数.
解：设∠B＝x°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°.
∵DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝x°.
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°.
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝2x°.
在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°，
∴x°＋2x°＋2x°＝180°，
解得x°＝36°.
∴∠B＝36°.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小.
解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，
∴∠B＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝52°.
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝eq \f(1,2)(180°－∠B)＝64°.
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝26°.
师生活动：变式题由学生独立完成，然后师生共同订正，对典型错误进行展示，让学生汲取教训．
1.巩固等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质.
2.培养学生运用方程的思想解决问题，把几何知识转化为代数知识的能力.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1.如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AC，则∠B的大小为(D)
A.20° B．25° C．30° D．35°
2.有两边相等的三角形的两边长为4 cm，5 cm，则它的周长为(D)
A.8 cm B．14 cm C．13 cm D．14 cm或13 cm
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE，且BA＝AE.若∠BAE＝30°，求∠C的度数.
解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC.
∴∠C＝∠CAE.
∵∠BAE＝30°，
∴∠AED＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°.
∴∠C＝eq \f(1,2)∠AED＝37.5°.
4.如图，已知在等腰△ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP＝PQ＝QC＝BC.求∠PCQ的度数.
解：设∠A＝α.
∵AP＝PQ，
∴∠AQP＝∠A＝α.
∴∠CPQ＝∠A＋∠AQP＝2α.
∵PQ＝CQ，
∴∠PCQ＝∠QPC＝2α.
∴∠BQC＝∠A＋∠ACQ＝3α.
∵CQ＝BC，
∴∠CQB＝∠B＝3α.
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B＝3α.
∵∠A＋∠ACB＋∠B＝180°，
∴α＋3α＋3α＝180°.
∴α＝eq \f(180°,7).
∴∠PCQ＝2α＝eq \f(360°,7).
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
巩固等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质．学以致用，达到学有所成，了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？师生活动：学生思考后，用自己的语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：
(1)等边对等角；
(2)等腰三角形的三线合一；
(3)等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线).
2.布置作业：
教材第81～82页习题13.3第1，3，4，6，7题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
授课人
素养目标
1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．
2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算.
3．通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.
教学重点
等腰三角形判定方法的应用.
教学难点
等腰三角形判定方法的证明.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课我们学习了等腰三角形的两条重要性质，它们分别是什么？
2．解决与等腰三角形有关的证明题或者计算题，经常添加什么辅助线？
温故知新.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
提出问题：出示教材第77页“思考”．
学生思考，回答后教师提问：
在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生猜想它们所对的边相等．
即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
如何证明？
抛出问题展开教学，类比等腰三角形的性质，拓宽思考面，寻求验证方法.
活动二：实践探究、交流新知
教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线．
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，你能证明AB＝AC吗？
①作高AD可以吗？
②作角平分线AD呢？
③作中线AD呢？
学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程．
师生共同归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”．
1.学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作对称轴．
2．教师强调此判定方法是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第78页例2)求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.
求证：AB＝AC.
证明：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∴∠B＝∠C(等量代换)．
∴AB＝AC(等角对等边)．
即△ABC是等腰三角形.
例2 (教材第78页例3)已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
解：答案略．
师生活动：教师引导学生分析并写出已知与求作，教师指导学生作图．
学生发表自己的想法，教师总结学生的设想，给出正确的作法．
【变式训练】
1．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是4秒．
2．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
解：∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.
∵∠ADE＝∠B，∠ADE＋∠BAD＋∠AED＝180°，∠B＋∠BDA＋∠BAD＝180°，
∴∠AED＝∠BAD.
∴ED＝AD.
∴△ADE为等腰三角形．
师生活动：变式题由学生独立完成，然后师生共同订正．
1.巩固所学知识，体会运用等腰三角形的判定方法进行证明的方法．
2．学生通过例2的学习，自主探究作图的方法.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(B)
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a∶b∶c＝2∶3∶4
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，AB＝7 cm，BD＝3 cm，则△BDE的周长为(B)
A．13 cm B．10 cm C．4 cm D．7 cm
3．如图，△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB，AC于E，F.若△ABC的周长比△AEF的周长长12 cm，O到AB的距离为3 cm，△OBC的面积18cm2.
4．上午9时，一条船从海岛A出发，以12海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，如图，海岛A在灯塔C的南偏西32°方向，灯塔C在海岛B的北偏东64°方向，则灯塔C到海岛B的距离是36海里．
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE.
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(2)求∠BDE的度数．
解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°.
∴BD＝AD.
即△ABD是等腰三角形．
(2)∵点E是AB的中点，
∴AE＝EB.
∴∠DEB＝90°.
∴∠BDE＝90°－36°＝54°.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)会运用“等角对等边”判定一个三角形是等腰三角形．
(2)掌握证明两条线段相等的常用方法．
2．布置作业：
教材第79页练习第1，2，4题，第83页习题13.3第10，11题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定方法
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
授课人
素养目标
1．掌握等边三角形的定义．
2．理解等边三角形的性质与判定.
3．通过探索等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.会用数学的思维思考现实世界.
教学重点
探究等边三角形的性质与判定方法，并能进行简单的应用.
教学难点
等边三角形的性质与判定的应用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
前面我们学习了等腰三角形的性质及其判定，请回答下面的问题：
1．叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的？
2．叙述等腰三角形的判定，它是怎么得到的？
学生回忆并回答，为学习本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．
观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
学生回答：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形．
怎样判定一个三角形是等边三角形呢？
今天我们来研究等边三角形的性质与判定.
明确等边三角形是特殊的等腰三角形，引发学生探寻其更多的性质.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
一、等边三角形具有什么性质呢？
1．用量角器量出等边三角形各个内角的度数，并提出猜想．
2．你能否用已知的知识通过推理得到你的猜想是正确的？
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.
3．上面的条件和结论如何叙述？
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
二、如何判定一个三角形是等边三角形？
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？
2．求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在学生充分讨论的基础上，教师引导学生利用口头证明等方法，归纳等边三角形的判定方法：
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
1.学生通过观察、思考、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，养成自觉探索几何命题的良好习惯．
2．教师引导学生动手，发现等边三角形三个角的关系，让学生经历观察——实践——猜想——证明的创新思维过程.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第80页例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
想一想：本题还有其他证法吗？
例2 如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)求证：DC＝CF.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝180°－90°－60°＝30°.
(2)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.
∴△DEC是等边三角形．∴CE＝CD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝FC.
∴DC＝FC.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
【变式训练】
如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点．
(1)求证：AD＝BE；
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形．
解：(1)证明：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD.
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝ BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE.
(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.
∵△DCE为等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED＝∠ADC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋60°＝120°.
∴∠DOE＝180°－(∠ADE＋∠BED)＝60°.
(3)证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC.
又∵点M，N分别是线段AD，BE的中点，∴AM＝eq \f(1,2)AD，BN＝eq \f(1,2)BE.
∴AM＝BN.在△ACM和△BCN中eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝BC，,∠CAM＝∠CBN，,AM＝BN，))
∴△ACM≌△BCN(SAS)．∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN.
又∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝60°.∴∠BCN＋∠MCB＝60°.
∴∠MCN＝60°.∴△MNC是等边三角形.
初步运用等边三角形的性质和判定，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间，激发学生学习的积极性.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列三角形，不一定是等边三角形的是(C)
A．三个角都相等的三角形
B．有两个角等于60°的三角形
C．边上的高也是这边的中线的三角形
D．有一个外角等于120°的等腰三角形
2．如图，等边△ABC的三边表示三面镜子，BP＝eq \f(1,3)AB＝1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR＝60°.光线依次经BC反射，AC反射，AB反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为(B)
A．6 B．9 C．9eq \r(3) D．27
3．在△ABC中，已知AB＝AC＝4 cm，∠A＝60°，则△ABC的周长为12cm.
4．如图，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM＝MN＝NC＝AM＝AN.则∠BAN＝90°．
5．如图，在等边△ABC中，AB＝9 cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2 cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5 cm/s速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．
(1)你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来；
(2)请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝9 cm.
∵点P的速度为2 cm/s，时间为t s，∴CP＝2t.
则PB＝BC－CP＝(9－2t)cm.
∵点Q的速度为5 cm/s，时间为t s，∴BQ＝5t.
(2)若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9－2t＝5t，解得t＝eq \f(9,7).
所以当t＝eq \f(9,7)s时，△PBQ为等边三角形．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
课堂检测是为了加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，分层次进行检测，使学生思维得到拓展，能力得以提升.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)等边三角形的性质和判定分别有哪些？
(2)等边三角形及其性质和判定与等腰三角形有什么关系？
2．布置作业：
教材第80页练习第1，2题，第83页习题13.3第12，14题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.3.2 等腰三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质
等边三角形的判定方法
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
授课人
素养目标
1.掌握含30°角的直角三角形的性质与应用.
2.通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.会用发展变化的思维思考30°角相互转化的事实.
教学重点
含30°角的直角三角形的性质的发现与运用.
教学难点
含有30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.等边三角形的性质和判定方法有哪些？
2．在△ABC中，∠A＝60°，请补充一个条件，使△ABC是等边三角形．
学生回忆并作答．
复习巩固，为本节课做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
1．请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？
2．探究：在这些图形中，轴对称图形有________个，其中三角形有________个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由
3．你能借助如下拼出的△ABD，找到含30°角的直角△ABC的直角边 BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？
1.提出问题，创设情境．
2．学生经历拼摆三角形和度量三角尺的活动，发现结论．同时复习巩固轴对称、等腰三角形、等边三角形的概念及其性质，加强知识间的联系.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题：
(1)判断△ABD的形状，依据是什么？
(2)线段BC与CD的大小有什么关系？为什么？
(3)线段BC与AB的大小有什么关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗？
师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论．
教师给出含30°角的直角三角形性质的准确描述，并板书性质．
归纳：
含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？
师生活动：学生分析条件和结论，并转化成数学符号；教师纠正和补充学生的发言，引导学生从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D，使CD＝BC，连接AD.学生分组讨论证明过程，板书演示．教师指导、纠错．
3．总结：
该性质适用范围是什么？(直角三角形)
运用该性质可求什么？
(计算和证明线段的倍分，揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性)
逆命题成立吗？
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.(请同学们课后验证)
1.通过操作培养学生从一般到特殊转化的思想．
2．学生通过观察、思考、猜测、证明、归纳，培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力，使学生养成自觉探索几何命题的良好习惯.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第81页例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长．
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝eq \f(1,2)AB，DE＝eq \f(1,2)AD.
∴BC＝eq \f(1,2)×7.4＝3.7(m)．
又∵AD＝eq \f(1,2)AB，
∴DE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
例2 上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
解：根据题意得，AB＝15×2＝30(海里)，
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，∴∠ACB＝15°.
∴BC＝AB＝30(海里)．
∴CD＝eq \f(1,2)BC＝15(海里)．
∴船与灯塔C的最短距离15海里．
【变式训练】
如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE＝eq \f(1,4)AB.
证明：如图，连接AD，
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝120°，∴∠B＝eq \f(1,2)(180°－∠BAC)＝eq \f(1,2)(180°－120°)＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠ADE＋∠BAD＝90°.∴∠ADE＝∠B＝30°.
在Rt△ABD中，AD＝eq \f(1,2)AB，
在Rt△ADE中，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,4)AB，
即AE＝eq \f(1,4)AB.
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
让学生体会特殊形状的三角形通过角的关系可以转化为边的关系，同样通过边的关系也可以转化为角的关系.
考查学生对含30°角的直角三角形的性质的掌握.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E.若EC＝3，则DC的长为(C)
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，则AD与BD之比为(B)
A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶1
3．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作EF⊥AB于点E，交BC边延长线于点F.若AE＝2，求BF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝eq \f(1,2)AC.
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝90°－∠A＝30°.
∴CD＝AD＝2AE＝4，AC＝8.
∵∠CDF＝∠ADE＝30°，∴∠F＝∠ACB－∠CDF＝30°.
∴∠CDF＝∠F.∴DC＝CF＝4.
∴BF＝BC＋CF＝8＋4＝12.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)掌握含30°角的直角三角形的边角性质．
(2)会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题．
2．布置作业：
教材第81页练习，第83页习题13.3第15题．
注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计
13.3.2 等腰三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
性质的探究
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.
课题
13.4 课题学习 最短路径问题
授课人
素养目标
1.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.
2.运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法.
3.在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系.
教学重点
运用所学知识解决最短路径问题.
教学难点
选择合适的方法解决问题.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.两点之间的所有连线中，什么线最短？
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？
回顾旧知，为讲解新知识做准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小．
提示：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．
以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．问题1 如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？
(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；
(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).
追问2 对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
追问3 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．
问题2 你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短．
师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．
2．仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？
(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.
上面的问题就转化为：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
追问4：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？
如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．
追问5：你能找到所要求的N点的位置吗？
如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．
即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．
追问6：你能证明点N的位置即为所求吗？
如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.
证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.
由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.
根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.
∴AM′＋N′B＞AM＋NB.
∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.
师生活动：教师可引导学生分析，对于有疑问的地方进行讲解说明．
归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.
1.通过一系列的探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．
2．通过观察、思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(C)
A．A点 B．B点C．C点 D．D点
例2 如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
解：如图所示．
理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
【变式训练】
如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝8，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB＋EF的最小值，则这个最小值是(D)
A．5 B．6 C．7 D．8
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
进一步巩固学生对最短路径问题的解决方法的掌握.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是(A)

A B C D
2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是4．
3．如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路线．
解：连接PQ，作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP.最短路线即为PQMP.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第93页第15题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
13.4 课题学习 最短路径问题
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提高自身素质.