人教版八年级上册12.1 全等三角形精品教学设计

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形精品教学设计，共48页。教案主要包含了置疑导入，说明与建议，情景导入，复习导入，悬念激趣，归纳导入，课堂引入，探究新知等内容，欢迎下载使用。

全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，全等三角形既是研究封闭图形的开端，又是研究相似三角形、四边形的基础，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习．
【置疑导入】
1．师生各自展示课前收集到的形状、大小相同的实物图形及自制的三角形模型．
2．教师演示课件(动态展示下面四组图案)，提出问题，学生观察思考、相互交流．
(1)图1中2022年北京－张家口(第24届)冬奥会的会徽的两张照片形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
(2)图2中球门框上相对的两个四边形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
(3)图3中同种颜色的三角形形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
【说明与建议】 说明：本环节意在说明现实生活中存在着大量形状、大小相同的图形．建议：在选材上选择贴近学生生活的图片激发学生探究的兴趣，为全等图形的学习做好铺垫．
命题角度1 利用全等形的概念进行全等图形的识别
1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是(A)

ABCD
命题角度2 利用全等三角形的性质找全等三角形的对应元素
2．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是(C)
A．AC＝CE B．∠A＝∠ECD
C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D
命题角度3 利用全等三角形的性质解决线段或角的问题
3．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝37°，∠C′＝23°，则∠B＝(C)
A．60° B．100° C．120° D．135°
4．如图△ABC≌△DEC，其中BE＝3，AE＝4，则DE的长是(D)
A．4 B．5 C．6 D．7
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12.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
本节课是三角形全等判定的第一课，主要讲的是如何利用“边边边”的条件证明两个三角形全等．本节课的内容是在学习了全等三角形的概念、全等三角形的性质后展开的，是证明两个三角形全等的重要方法之一．全等三角形是两个三角形最简单、最常见的关系，它不仅是学习后面知识的基础，而且也是证明线段相等、角相等的重要依据，学生只有很好的掌握了全等三角形的判定方法，并且能灵活地运用它，才能为以后学习四边形、圆等知识打下良好的基础．
【置疑导入】
探究一：请各位同学用课前准备好的长度分别为3 cm，4 cm，6 cm的细棒拼成三角形(如图)，和邻桌同学比较，它们一定全等吗？
探究二： 先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，A′C′＝AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
【说明与建议】 说明：通过学生拼接、画图、观察、比较、交流等，初步探索出两个三角形全等的条件，同时增强学生的动手操作能力．建议：本环节要注重学生的操作过程，让学生体会利用“SSS”判定三角形全等，为后面进一步探究做好铺垫．教师鼓励学生大胆猜测分析，尽量让学生自主、充分地探究．
命题角度1 根据“SSS”补充条件判定全等三角形
1．如图所示，已知AB＝CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定△ABC≌△DCB(C)
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠ACB
C．AC＝BD D．BC＝CD
命题角度2 直接利用三角形全等的判定方法——SSS证明两个三角形全等
2．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC 和△DEF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
命题角度3 通过添加辅助线利用SSS证明两个三角形全等
3．如图，已知AC，BD相交于点O，AD＝BC，AC＝BD.求证：∠A＝∠B.
证明：如图，连接CD，
在△ADC和△BCD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝BC，,AC＝BD，,DC＝CD，))
∴△ADC≌△BCD(SSS)．∴∠A＝∠B.
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第2课时 用“SAS”判定三角形全等
本节课是探索三角形全等条件的第二课时，是在学习了全等三角形的判定 1——SSS 之后展开的．它不仅是下节课探索三角形全等其它条件的基础，还是证明线段相等、角相等的重要依据，同时也为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好的模式和方法．因此，本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位．
【情景导入】
小名作业本上画的三角形的一边被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办呢？请你帮助小名想一个办法，并说明你的理由．
问题：三角形有六个要素，我们从这个残损的图形中能得到几个呢？(两边及其夹角)
引导学生观察分析，继而引导学生分析“SAS”是否能确定唯一的三角形．
【说明与建议】 说明：通过残损图形引起学生的兴趣，使学生无法确定三角形的三边，为学习新课做好铺垫．建议：尽量让学生充分探究“SSA”“AAS”“ASA”是否能确定唯一的三角形，注意把握好度，探究出“SSA”不能确定唯一的三角形即可，判定方法“AAS”“ASA”可让学生课后思考．
命题角度1 依据“SAS”补充判定两个三角形全等的条件
1．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需添加条件AB＝AC．
命题角度2 利用“SAS”及全等三角形的性质进行证明
2．如图，C是AB的中点，AE＝BD，∠A＝∠B.求证：∠E＝∠D.
证明：∵C是AB的中点，∴AC＝BC.
在△ACE和△BCD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝BD，,∠A＝∠B，,AC＝BC，))
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
∴∠E＝∠D.
命题角度3 利用“SAS”及全等三角形的性质进行计算
3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD.
(1)求证：△AEC≌△DFB.
(2)若∠A＝40°，∠ECD＝145°，求∠F的度数．
解：(1)证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D.
∵AB＝CD，∴AC＝DB.
在△AEC和△DFB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝DF，,∠A＝∠D，,AC＝DB，))
∴△AEC≌△DFB(SAS)．
(2)∵∠ECD＝145°，∠A＝40°.
∴∠E＝∠ECD－∠A＝105°.
∵△AEC≌△DFB，
∴∠F＝∠E＝105°.
1979年，拿破仑发动政变建立了拿破仑帝国，他不仅是一位将军，同时也是一位数学天才．在一次战斗中，他指挥的部队与敌军在莱茵河两岸形成对峙，只见他站在岸边，面向敌军方向站好，调整好自己的帽子，使视线通过帽檐正好落在敌军的阵地上，然后他便测量出敌军阵地的距离，命令炮火攻击，炮弹像长了眼睛似的落在敌人的阵地上，打破了僵局，赢得了胜利．你知道拿破仑测出距敌军阵地距离的道理吗？
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第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等

本节课研究三角形全等的判定定理之——“角边角”或“角角边”定理，它是在学生学习了认识三角形、图形的全等、全等三角形及其性质，以及探究出三角形全等的判定定理——“边角边”定理的基础上进行的．一方面引导学生从动手操作出发探索出“角边角”定理，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法；另一方面让学生能够运用“角边角或角角边定理”解决实际问题．另外判定三角形全等在初中几何学习中对于证明线段及角相等是一个非常重要而且有效的方法．
【复习导入】
问题1：三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？前面我们已经研究了已知三边和已知两边一角这两种情况，今天我们接着研究已知两角一边是否可以判定两个三角形全等．
问题2：三角形中已知两角一边有几种可能？三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下来，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
【说明与建议】 说明：通过设置富有阶梯性的问题，引导学生自主学习，发现问题，解决问题．建议：教学中教师提示学生类比“SSS”“SAS”归纳得到“ASA”．教师在教学中注意引导学生利用尺规作图法，作出△A′B′C′，并与△ABC进行比较，最终形成三角形全等的判定方法——“ASA”．
【悬念激趣】
一天，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成了三块，为了画一块完全一样的玻璃，他从打碎的三块玻璃中选一块带到玻璃店，小明的想法可行吗？若可行，你认为小明应该拿哪块玻璃去呢？为什么？请同学们讨论一下．(思考后请同学们回答)
【说明与建议】 说明：创设学生所熟悉的、鲜活的生活情境，从学生已有的生活经验和知识体验开始导入新课，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生强烈的好奇心和求知欲．建议：学生回答后，教师应给予鼓励，对回答的正确与否不做解释与评价，留一个悬念而后展开新课．
命题角度1 依据“ASA”或“AAS”补充判定两个三角形全等的条件
1．如图，在△ABC与△ADC中，已知∠BAC＝∠DAC，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，
(1)若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠B＝∠D．
(2)若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ACB＝∠ACD．
命题角度2 利用“ASA”或“AAS”证明两个三角形全等
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，且BC＝ED.
求证：DB＝CE.
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°.
在△ABC和△AED中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠A，,∠ACB＝∠ADE，,BC＝ED，))
∴△ABC≌△AED(AAS)．
∴AB＝AE，AC＝AD.
∴DB＝CE.
命题角度3 利用“ASA”或“AAS”及全等三角形的性质进行计算
3．如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB.
(1)求证：CE＝AB.
(2)若∠A＝125°，则∠BED的度数是55°．
证明：∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B.
在△DEC和△CAB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠D＝∠ACB，,CD＝BC，,∠DCE＝∠B，))
∴△DEC≌△CAB(ASA)．
∴CE＝AB.
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第4课时 用“HL”判定直角三角形全等

本节课探索的是直角三角形全等的条件．通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材．三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段及角相等的主要工具．而探索斜边与直角边长度之比则是以后学习三角函数的基础．因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础．
【归纳导入】
1．判定两个三角形全等的方法有________、________、________、________．
2．如图AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.
(1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF________，根据________；
(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF________，根据________；
(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF________，根据________；
(4)若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则△ABC与△DEF________，根据________．
3．我们知道：满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，那么满足“SSA”条件的两个直角三角形(这个相等的角是直角)是否全等呢？如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E，若AB＝DE，AC＝DF，则Rt△ABC与Rt△DEF是否全等？现在我们就来研究这个问题．
【说明与建议】 说明：在复习巩固原有知识的基础上，进一步探究直角三角形全等的判定方法，以培养学生分析问题、解决问题的能力．建议：教师可进一步设计此类问题与学生共同探究．
命题角度1 依据“HL”补充判定两个三角形全等的条件
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是(A)

A．AB＝DC B．∠A＝∠DC．∠B＝∠C D．AE＝BF
命题角度2 利用“HL”证明两个三角形全等
2．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.
求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF＝CE，,AB＝CD，))
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．
命题角度3 利用“HL”及全等三角形的性质进行计算与证明
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E.若∠B＝28°，则∠AEC＝(B)
A．28° B．59°C．60° D．62°
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12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
角平分线的性质是在学习了“全等三角形的性质和判定”后，通过一些实际问题讨论角的平分线的性质．教材中通过实际问题来引入本节内容，这样设计是能更好的体现角的平分线的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际．通过本节的学习可以为后继研究几何图形打下良好的铺垫．同时，可以锻炼学生的观察、分析、归纳能力，培养学生的探究精神和创新意识．
【置疑导入】
如图是小明制作的风筝，他根据AB＝AD，BC＝DC，不用度量就知道AC是∠DAB的平分线，你知道其中的道理吗？
【说明与建议】 说明：以生活中的实例引入，充分调动学生的学习兴趣，也体现了数学来源于生活．建议：教师注意引导学生从三角形全等的角度说明，教师要充分利用此例揭示角平分线的作法．
命题角度1 角的平分线的作图
1．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．
解：作∠AOB的平分线交AB于点M，即M处为水厂的位置．
命题角度2 利用角平分线的性质解决有关问题
2．如图所示，P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于点D，PD＝3 cm，则点P到OB的距离为(C)
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
3．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积为(B)
A．16 B．15 C．14 D．13
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第2课时 角的平分线的判定
本节课的教学内容主要是探索并证明角平分线的判定定理，会用角平分线的判定定理解决问题．本节课是在已经学习了证明直角三角形全等和角平分线的性质基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．
【悬念激趣】
某考古队为了进行研究，寻找一座古城遗址，根据史料记载，该古城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000 m，如图所示(比例尺为1∶200000)．根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能在图中合理地标出古城遗址的位置吗？
【说明与建议】 说明：通过探秘古城遗址的方式，激发学生兴趣，体现数学知识的实际应用．建议：根据图示抽象出简单的几何图形，用直线表示河流，用点表示古塔，把实际问题转化为几何问题；要确定一个点的位置，通常利用两条线(直线或弧线)的交点来确定，引导学生分析，由“到古塔的距离是3000 m”可知这个点一定在以古塔为圆心、以3000 m(图上距离是1.5 cm)为半径的圆(弧)上；另外一个条件“到两条河岸的距离相等”如何确定呢？这就是我们本节课要学习的内容．
命题角度1 利用角的平分线的判定解决有关问题
1．如图，P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，PA＝PB.求证：OP平分∠MON.
证明：∵PA＝PB，PA⊥OM，PB⊥ON，
∴点P在∠MON的平分线上．
∴OP平分∠MON.
命题角度2 综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题
2．如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)
A．1处B．2处C．3处D．4处
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课题
12.1 全等三角形
授课人
素养目标
1.了解全等形及全等三角形的概念．
2．理解全等三角形的性质.
3．会用数学语言表达全等三角形的性质.
4．会用全等三角形的性质解决实际生活中的问题.
教学重点
探究全等三角形的性质.
教学难点
理解全等三角形边、角之间的对应关系.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
在前面我们学习了三角形及多边形的有关知识，请同学们回顾一下三角形的元素有哪些？(三个顶点、三个内角、三条边)
回顾旧知，为讲解新知识做准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
观察下列图形，它们的形状、大小有什么关系？
操作并交流：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有何发现？
学生活动：先进行剪纸操作活动，然后观察思考，再与同学合作交流．
讨论交流：同学们，像上述这样“一模一样”的例子，生活还有许多，你能再举出一些例子吗？
学生活动：分组讨论交流．
教师点拨：像这种“一模一样”的两个图形，我们称为全等形，本节课我们就来学习和研究全等形的有关知识．
丰富的图形和问题容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中同时引出本节要讨论的内容.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
通过【课堂引入】讨论发现：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等形．
同学们能够根据全等形的定义给全等三角形也下一个定义吗？
师生共同总结：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
1．如下图，△ABC与△DEF完全重合(PPT演示重合过程)．
这时，点A与点D重合．点B与点E重合，我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
活动二：实践探究、交流新知
问题：你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？
点C与点F是对应点；BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边；∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
教师引导学生归纳在全等三角形中找对应元素的方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角也是对应角．
2．在图1中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF; 在图2中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC; 在图3中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？
△ABC≌△DEF △ABC≌△DBC △ABC≌△ADE
得出结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
你能说出图2中的对应顶点，对应边、对应角．
学生回答：
对应顶点：点A和点D, 点B和点B, 点C和点C ；
对应角：∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB；
对应边：AB与DB，AC与DC，BC与BC.
教师提问：对于图1中，△ABC≌△DEF ，那么对应边有什么关系？对应角呢？
得出结论：
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
1.本活动主要是加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．
2．经过观察、操作可以发现，全等三角形可以经过平移、翻折、旋转得到，变化前后对应角相等、对应边相等．教师要组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 下列四组图形中，与如图图形全等的是(B)

ABCD
例2 如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，则下列结论中一定成立的是(D)
A．∠BAM＝∠MANB．AM＝CN
C．∠BAM＝∠B D．AM＝AN
【变式训练】
1．如图所示，两个三角形全等，则∠α等于(D)
A．72° B．60° C．58° D．50°
2．一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x＋y＝(A)
A．11 B．7 C．8 D．13
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
1.运用全等形的定义及全等三角形的性质解题，巩固全等的概念．
2．计算一条边的长度或一个角的度数时，可以借助于三角形全等的性质将其转化为它的对应边或对应角来计算.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列关于全等三角形的说法，不正确的是(A)
A．形状相同的三角形是全等三角形
B．全等三角形的形状相同
C．全等三角形的大小相等
D．全等三角形的对应边相等
2．如图，若△OAD≌△OBC，∠COD＝65°，∠C＝20°，则∠OAD的度数为(D)
A．65° B．75° C．85° D．95°
3．如图，△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，AB＝8，则AD＋BD＝12．
4．如图，在图中的两个三角形是全等三角形，其中点A和点D、点B和E是对应点．
(1)用符号表示两个三角形全等，并写出图中相等的线段和角；
(2)写出图中一组平行的线段，并说明理由．
解：(1)△ABC≌△DEF，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA.
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第33页习题12.1第 1，2，3，4题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.1 全等三角形
1．全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
12.2 第1课时 用“SSS”判定三角形全等
授课人
素养目标
1．掌握“边边边”的判定方法内容．
2．能初步应用“SSS”条件判定两个三角形全等．
3．会作一个角等于已知角.
4．会用归纳推理的数学思维探究三角形全等的条件.
教学重点
“边边边”判定方法的使用.
教学难点
探索三角形全等的条件.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
通过前面的学习，我们知道完全重合的两个三角形全等．
已知△ABC≌△DEF，你能得到哪些结论？
教师引导学生回答：对应边相等，对应角相等．
回顾旧知，为讲解新知识做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你能找出其中相等的边与角吗？
图中相等的边：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′；
相等的角：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
问题：通过上例我们知道符合三个角、三条边均对应相等的两个三角形是全等三角形．那么是否一定需要六个条件才能判定两个三角形全等呢？满足上述六个条件中的一部分能否保证两个三角形全等呢？
提出问题，明确探究方向，激发探究欲望.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1：
(1)△ABC和△A′B′C′满足上述六个条件中的一个有几种情况？满足上述六个条件中的两个有几种情况？
(2)先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′ 满足上述六个条件中的一个或两个，你画的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？试一试．
教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情况．
教师引导学生共同完成一个条件的情况的探究，然后指导学生分组操作．
得出结论：只给出一个或两个条件时，不能保证所画的两个三角形一定全等．
问题2：
(1)满足上述条件中的三个条件，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们可以分情况讨论有哪几种情况？
教师先提问，引导学生回答出满足三个条件的四种情况，教师再明确探究任务，指导学生进行画图探究，获取“SSS”条件．
(2)我们先探究两个三角形三边分别对应相等的这种情况：先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使 AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′.
(3)你能画出满足上述条件的△A′B′C′吗？应该怎样画呢？
在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法．
(4)把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们能重合吗？
教师要关注学生在阐述结论时语言是不是规范．
(5)上面的探究反映了什么规律？
师生活动：在思考、实践的基础上可以归纳出判定两个三角形全等的方法：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．
1.通过观察和试验，培养学生合作交流的意识．
2．教师明确已知三边画三角形的方法，明确判定三角形全等需要三个条件．学生作图并比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第36页例1)在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,BD＝CD，,AD＝AD，))
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
例2 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D.
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′.
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相较于点D′.
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
【变式训练】
如图，已知AB＝CD，DA＝BC.求证：∠A＝∠C.
证明：连接BD，在△ABD和△CDB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CD，,BD＝DB，,DA＝BC，))
∴△ABD≌△CDB(SSS)．
∴∠A＝∠C.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
1.培养学生逻辑思维能力，学会用“SSS”条件判断三角形全等．
2．规范尺规作图的步骤，体会其中蕴含的数学知识，加深对尺规作图方法与原理的理解.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定(B)
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对
2．如图，已知AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝46°，则∠ACD的度数是(C)
A．120° B．125° C．127° D．104°
3．如图，已知OA＝OB，AC＝BC，∠1＝30°，则∠ACB的度数为60°.
4．如图，若AB＝CD，AE＝CF，那么用“SSS”判定ABE≌△CDF需要添加的一个条件可以是答案不唯一，如BE＝DF或BF＝DE．
5．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，BD＝CD.
(1)图中有几对全等三角形？请分别写出来；
(2)请选择一对全等三角形并进行证明．
解．(1)一共有3对全等三角形，△ABE≌△ACE，△ABD≌△ACD，△BED≌△CED.
(2)选△ABE≌△ACE，
证明：在△ABE和△ACE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,BE＝CE，,AE＝AE，))
∴△ABE≌△ACE(SSS)．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第37页练习第 1，2题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
12.2 第2课时 用“SAS”判定三角形全等
授课人
素养目标
1．掌握“边角边”的判定方法．
2．能初步应用“SAS”条件判定两个三角形全等.
3．会用“SAS”判定三角形全等解决生活实际中的问题.
教学重点
“边角边”判定方法的使用.
教学难点
探索三角形全等的条件.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.什么是全等三角形？
2．全等三角形的性质有哪些？
3．“SSS”的具体内容是什么？
回顾旧知，为讲解新知识做铺垫.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
小刚到小名家去玩，发现小名正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量．小刚帮他想出一个办法：把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，如下图所示，这样只要测量A，C之间的距离，就可以知道玻璃容器的内径．你想知道为什么吗？
使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程，激发学生学习新知的强烈欲望.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．已知△ABC，画一个△A′B′C′，使AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.教师画一个△ABC.
先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法，
操作：
(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？
(2)上面的探究说明什么规律？
总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
通过上面的探究，你明白【课堂引入】中小刚的操作依据了吗？
2．画△ABC和△DEF，使∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝5 cm，AC＝DF＝3 cm.观察所得的两个三角形是否全等？
解：如图．
两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．
方法归纳：应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点注意”：
(1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系．
(2)顺序：在应用时一定要按边、角、边的顺序排列条件，不能出现边、边、角(或角、边、边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等．
1.进一步学习三角形的画法，从实践中体会三角形全等的条件．
2．使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等．
3．培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 (教材第38页例2)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件．
证明：在△ABC和△DEC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CA＝CD，,∠1＝∠2，,CB＝CE，))
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
∴AB＝DE.
培养学生逻辑思维能力，巩固新知，学会用“SAS”条件判断三角形全等.
活动三：开放训练、体现应用
【变式训练】
1．如图，线段BE，DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C.
证明：在△ABE和△ACD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，))
∴△ABE≌ACD(SAS)．
∴∠B＝∠C.
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC与△ADE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAE，,AC＝AE，))
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
∴BC＝DE.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列条件能判定两个三角形全等的是(D)
A．有两条边对应相等的两个三角形
B．有两边及一角对应相等的两个三角形
C．有三角对应相等的两个三角形
D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形
2．已知：如图，∠CAB＝∠DBA，只需补充条件AC＝BD，就可以根据“SAS”得到△ABC≌△BAD.
3．如图，线段AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则AB和CD的位置关系是AB∥CD．若AB＝6 cm，则CD＝6__cm．
4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E，F两点分别在边AB，AC上，若BE＝CD，BD＝CF，∠B＝∠C，∠A＝50°，求∠EDF的度数．
解：在△BDE和△CFD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BE＝CD，,∠B＝∠C，,BD＝CF，))
∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴∠BDE＝∠CFD.
∴∠EDF＝180°－(∠BDE＋∠CDF)＝180°－(∠CFD＋∠CDF)＝180°－(180°－∠C)＝∠C＝(180°－∠A)÷2＝65°.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第39页练习第 1，2题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.2 三角形全等的判定
第2课时 用“SAS”判定三角形全等
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
12.2 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
授课人
素养目标
1．掌握“角边角”或“角角边”的判定方法．
2．能初步应用“角边角”或“角角边”条件判定两个三角形全等.
3．会类比“ASA”的判定方法，得到“AAS”的判定方法.
教学重点
“角边角”或“角角边”判定方法的使用.
教学难点
分析问题，探索三角形全等的条件.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
2．到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？各是什么？
复习学过的旧知识，为新知识的建构打基础.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
如图， 一块三角形玻璃被小明不小心打碎了，他可以带着这片碎玻璃去重新配一块与原来一样的三角形玻璃吗？
从生活中常见的问题出发，引起学生的兴趣，激发学生学习新知的欲望.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
教师提问：三角形中已知两角一边有几种可能？
学生回答：(1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．
做一做：三角形的两个内角分别是50°和70°，它们的夹边为5 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的，你能得出什么规律？
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．
教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．
活动结果展示：
以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)，
教师继续提问：我们刚才画的三角形是一个特殊三角形，现在随意画一个△ABC, 能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？
学生活动： 动手操作，感知问题的规律，
作法：(1)画A′B′＝AB；
(2)在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E交于点C′.则△A′B′C′即为所求(如下图)．
总结：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
你能回答【课堂引入】中的问题吗？
2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)
教师提问：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？
教师适时引导：运用三角形内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△DEF，学生活动：先让学生独立完成，对于有困难的学生给予指导和鼓励．
最后归纳：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
1.进一步学习三角形的画法，从实践中体会三角形全等的条件．
2．让学生学会思考问题，能清楚地表达思考过程，培养学生的动手操作，实践探究能力以及逻辑思维能力.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第40页例3)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠A（公共角），,AC＝AB，,∠C＝∠B，))
∴△ACD≌△ABE(ASA)．
∴AD＝AE.
例2 如图，∠ACB＝∠B＝90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD＝AE.求证：AC＝BC.
【点拨】 证明△ACE≌△CBD，就可以得出AC＝BC.
证明：∵∠ACB＝90°，CF⊥AE.
∴∠ACF＋∠BCD＝∠ACF＋∠CAF＝90°.
∴∠BCD＝∠CAF，
即∠CAE＝∠BCD.
在△ACE和△CBD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACE＝∠B，,∠CAE＝∠BCD，,AE＝CD，))
∴△ACE≌△CBD(AAS)．
∴AC＝BC.
【变式训练】
如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作任一条直线AN，分别过点B，C作BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E，求证：DE＝BD－CE.
证明：∵∠BAC＝90°，BD⊥AN，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°.
∴∠CAE＝∠ABD.
∵BD⊥AN，CE⊥AN，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
在△ABD和△CAE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BDA＝∠AEC，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝CA，))
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∵DE＝AE－AD，
∴DE＝BD－CE.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
1.巩固新知，能熟练运用两个判定定理．
2．提高学生运用数学知识的能力，做到学以致用.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列说法中，正确的是(C)
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一组边对应相等．
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
2.如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去，那么这两块三角形的玻璃完全一样的依据是(D)
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
3．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．
4．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.
(1)从图中任找两组全等三角形；
(2)从(1)中任选一组进行证明．
解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(答案不唯一)．
(2)选△ABE≌△CDF，
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
∵AF＝CE，
∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABE＝∠CDF，,∠BAE＝∠DCF，,AE＝CF，))
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第41页练习第 1，2题，第44页习题12.2第4，5题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.2 三角形全等的判定
第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
12.2 第4课时 用“HL”判定三角形全等
授课人
素养目标
1．掌握“斜边、直角边”的判定方法．
2．能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.
3．使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维.
教学重点
“斜边、直角边”判定方法的使用.
教学难点
分析问题，探索直角三角形全等的条件.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
判定三角形全等的方法有哪些？
复习巩固旧知识，为新知识的学习做基础.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF(其中∠C＝∠F＝90°)是否全等？若全等，在()里填写理由；若不全等，在()里打“×”：
①AC＝DF，∠A＝∠D；( )
②AC＝DF，BC＝EF；( )
③AB＝DE，∠B＝∠E；( )
④∠A＝∠D，∠B＝∠E；( )
⑤AC＝DF，AB＝DE.( )
问题：满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等呢？
从学生已有的知识出发，激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
师生活动：先让学生画图分析，寻找规律．教师适时引导．
作法：
(1)画∠MC′N＝90°；
(2)在射线C′M上截取B′C′＝BC；
(3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；
(4)连接A′B′.
则△A′B′C′即为所求作的三角形(如下图)．
教师引导学生共同总结： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
1.巩固三角形的画法，从实践中体会三角形全等的条件．
2．操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边”可以判定两个直角三角形全等．
3．培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 (教材第42页例5)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BA，,AC＝BD，))
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴BC＝AD.
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，
即BC＝BE.
【变式训练】
1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.则图中全等三角形共有(B)
A．2对 B．3对C．4对 D．5对
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E.若B，C在DE的同侧(如图所示)且AD＝CE.求证：AB⊥AC.
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CA，,AD＝CE，))
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)．
∴∠DBA＝∠EAC.
∵∠BAD＋∠DBA＝90°，
∴∠BAD＋∠EAC＝90°.
∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°.
∴AB⊥AC.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
1.培养学生逻辑思维能力，学会用“HL”条件判断三角形全等．
2．规范使用“HL”判定方法证明三角形全等的书写格式．在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．下列语句中不正确的是(C)
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
2．如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则△AEO≌△AFO的依据是(A)
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
3．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有(C)
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AC上，点E在BA的延长线上，BD＝CE，BD的延长线交CE于点F.求证：BF⊥CE.
证明：在Rt△BAD和Rt△CAE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD＝CE，,AB＝AC，))
∴Rt△BAD≌Rt△CAE(HL)．
∴∠ABD＝∠ACE.
又∵∠BDA＝∠CDF，
∴∠CFD＝∠BAD＝90°，即BF⊥CE.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第43页练习第 1，2题，第44页习题12.2第7，8题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”判定直角三角形全等
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
12.3 第1课时 角的平分线的性质
授课人
素养目标
1.掌握角的平分线的性质，能灵活运用角平分线的性质解题.
2.通过探索角平分线的性质的过程，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.
教学重点
角的平分线的作法，探究并证明角平分线的性质.
教学难点
探究角平分线的性质.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.角的平分线的定义是什么？
2．如图，射线OC是∠AOB的平分线，若∠BOC＝36°，则∠AOB的度数为(A)
A．72°B．60°C．54°D．36°
复习旧知识，为学习新课做准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
通过实际问题的引入，使学生产生的探究的兴趣.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
1．通过上述问题，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N.
(2)分别以M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)画射线OC，射线OC即为所求(如下图)．
问题1：在上面作法的第二步中，去掉“大于eq \f(1,2)MN的长”这个条件行吗？
问题2：第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
问题3：你从【课堂引入】的平分角的仪器中得到了什么启示？
师生活动：学生根据老师提出的问题进行回答，老师最后补充总结．
归纳：(1)去掉“大于eq \f(1,2)MN的长”这个条件，所画的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
(2)若分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
(3)角的平分线的画法，明确作图的理论依据是根据三角形全等的条件“SSS”．
角平分线的性质
1．将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD，PE，量一量PD，PE的长度，你有什么发现？
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生活动：学生动手操作，分组讨论，尝试得出结论．教师适时引导，肯定学生．
2．证明角平分线的性质．
我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即：
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
已知：∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，求证：PD＝PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠PDO＝∠PEO，,∠AOC＝∠BOC，,OP＝OP，))
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD＝PE.
3．几何语言
∵点P在∠AOB的平分线上，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE.
1.通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识．
2．运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例1 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF.
∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD＝CD，,DE＝DF，))
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴BE＝CF.
例2 已知△ABC，在△ABC中作出∠ABC的平分线BD，要求尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹)
解：线段BD即为所求．
【变式训练】
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是(D)
A．9 B．8 C．7 D．6
2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，M为OP上任意一点，连接CM，DM，则CM和DM的大小关系是相等．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
通过训练，加深对角的平分线的性质的运用和理解.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，下列结论中不正确的是(D)
A．PE＝PF B．AE＝AF
C．△APE≌△APF D．AP＝PE＋PF
2．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD∶S△ADC＝(C)
A．1∶1 B．4∶5 C．5∶4 D．16∶25
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)
A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝DF，求证：CF＝EB.
证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC.
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DF＝DB，,DC＝DE，))
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．
∴CF＝EB.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
学以致用，课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第50页练习第 1，2题，第51页习题12.3第1，2题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.
课题
12.3 第2课时 角的平分线的判定
授课人
素养目标
1．理解证明角的平分线的判定定理的方法．
2．能够正确区别角的平分线的判定定理和性质定理，灵活运用二者求解简单问题.
3．通过探索角的平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力.
教学重点
角的平分线的判定的证明及运用.
教学难点
灵活应用角的平分线的性质和判定解决问题.
授课类型
新授课
课时
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.角平分线的作法(尺规作图)．
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为(B)
A．6B．5C．4D．3
复习旧知识，为学习新课做准备.
活动一：创设情境、导入新课
【课堂引入】
在我们已经学过的定理中，有一些条件和结论是可以互换的，比如平行线的性质定理和判定定理，你能说出将角的平分线的性质定理的条件和结论互换得到的命题吗？你觉得这个新命题正确吗？
通过已学过知识的举例，快速引入正题.
活动二：实践探究、交流新知
【探究新知】
问题1：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000)?
问题2：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题成立吗？
问题3：请试着证明这个命题．(提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明)
师生活动：学生根据自学要求独立操作，然后互相交流各自的结论．教师可以抽一小组进行展讲，其他各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对展示小组进行评价．
教师归纳总结并板书：角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
已知：P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB.
求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连接OP.
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OP＝OP，,PA＝PB，))
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)．
∴∠1＝∠2.
∴OP平分∠MON.
即点P在∠MON的平分线上．
几何语言：
如上图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，
∴∠1＝∠2(OP平分∠MON).
经历角平分线的判定定理的探索过程，让学生感受知识的产生可以来自于数学自身．结合推理证明，进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.
活动三：开放训练、体现应用
【典型例题】
例 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE，△CDF是直角三角形．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BD＝CD，,BE＝CF，))
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线．
【变式训练】
如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DB＝DC，,BE＝CF，))
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
通过训练，巩固新知加深对角平分线的判定的运用和理解.
活动四：课堂检测
【课堂检测】
1．到三角形的三边距离相等的点是(B)
A．三角形三条高的交点
B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．以上均不对
2．如图，AD⊥DC，AB⊥BC.若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(C)
A．60° B．45° C．30° D．75°
3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
4．如图，已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BED＝∠CFD，,∠BDE＝∠CDF，,BD＝CD，))
∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
课堂小结
1.课堂小结：
(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？
(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？
2．布置作业：
教材第51～52页习题12.3第3，7题．
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
板书设计
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
一、回顾复习
二、探究新知
三、典型例题
四、课堂检测
五、课堂小结
提纲挈领，重点突出.
教学反思
反思，更进一步提升.