初中北师大版第四章 因式分解3 公式法精品课时练习

这是一份初中北师大版第四章 因式分解3 公式法精品课时练习，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
2.将多项式4x2y−4xy2−x3分解因式的结果是
( )
A. 4xy(x−y)−x3B. −x(x−2y)2
C. x(4xy−4y2−x2)D. −x(−4xy+4y2+x2)
3.在边长为a的正方形中挖去一个边为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
图甲 图乙
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2= a2−2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2
4.已知x是有理数，则多项式x−1−14x2的值
( )
A. 一定为负数B. 不可能为正数
C. 一定为正数D. 可能是正数、负数或零
5.(教材P86复习题T13变式)已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为
( )
A. 6B. ±6C. 12D. ±12
6.(2023·无锡中考改编)多项式4−4x+x2因式分解的结果是
( )
A. x(x−4)+4B. (x+2)(x−2)C. (x+2)2D. (x−2)2
7.已知a+b=1，ab=−6，则a3b−2a2b2+ab3的值为
( )
A. 57B. 120C. −39D. −150
8.无论a，b为何值，代数式a2+b2+6b+11−2a的值总是
( )
A. 非负数B. 0C. 正数D. 负数
9.生活中我们经常用到密码，如手机解锁．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如多项式因式分解后的结果是(x2+1)(x+1)(x−1)，当取x=10时，各个因式的值是：x2+1=101，x+1=11，x−1=9.于是就可以把“101119”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式x8−y8，当取x=3，y=−2时，用上述方法可以产生的六位数的密码为
( )
A. 971315B. 891315C. 971015D. 139715
10.已知实数n满足n2−n+1=0，则4n3−5n2+5n+11的值为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知4x2+mx+36是完全平方式，则m的值为 ．
12.
(1)已知a−b+c=5，且a2−(b−c)2=20，则a+b−c的值为 ．
(2)如果m2=n+5，n2=m+5，且m≠n，则m+n的值为 ．
13.若m为任意正整数，(m−37)2−(42−m)2的值总能被正整数n(n>1)整除，则n=_________．
14.如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
我们的数学学习是在公式化体系不断完善中进行的．前面我们学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，我们对式子a3−b3有如下推导：
a3−b3
=a3−a2b+a2b−b3
=a2(a−b)+b(a2−b2)
=a2(a−b)+b(a+b)(a−b)
=(a−b)[a2+b(a+b)]
=(a−b)(a2+ab+b2).
我们称上述公式为立方差公式．请同学们结合上述结论解答下列问题：
(1)因式分解：x3−8．
(2)请猜想：对于a3+b3有立方和公式吗？若有，请进行推导；若没有，请说明理由．
16.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32−12，16=52−32，24=72−52，因此8，16，24这三个数都是“和谐数”．
(1)在32，75，80这三个数中，是“和谐数”的是_________；
(2)已知200为“和谐数”，即200可以写成两个连续奇数的平方差，求这两个连续奇数的和；
(3)小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n−1和2n+1(其中n取正整数)，请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确．
17.(本小题8分)
因式分解：
(1) (2023·兰州中考)x2−25y2=2−2=________________；( )
(2)25−14m2；
(3) (m+n)2−4n2；
(4) (x−4)(x+1)+3x．
18.(本小题8分)
(1) (易错题)已知x2−16=(x−a)(x+a)，那么a等于
( )
A. 16B. ±4C. 4D. ±2
(2) 【条件变式】若x2−a=(x+5)(x+b)(a,b为常数)，则a=________，b=________．
19.(本小题8分)
材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)．
(1)分解因式：ab+a+b+1；
(2)若a，b(a>b)都是正整数且满足ab−a−b−4=0，求a+b的值；
(3)若a，b为实数且满足ab−a−b−5=0，S=2a2+3ab+b2+5a−b，求S的最小值．
20.(本小题8分)
阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：已知任意一个四位数m，若个位与百位上的数字之和为8，千位与十位上的数字之和也为8，则称m为“双雅数”.如：1276；
材料二：若一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，如：9=32，则9为完全平方数．
(1)判断下列四位数是不是“双雅数”，请在横线上填“是”或“不是”：
①3454 ______“双雅数”；
②2635 ______“双雅数”；
③7612 ______“双雅数”．
(2)一个“双雅数”，它的千位上的数是a，百位上的数是b，十位上的数是c，个位上的数是d，请证明它是11的倍数；
(3)若四位数m为“双雅数”，记F(m)=5(m−88)99，当F(m)是完全平方数时，求出所有满足条件的数m．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了因式分解的应用和等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
【解答】解：已知等式变形得：(a+b)(a−b)−c(a−b)=0，即(a−b)(a+b−c)=0，
∵a+b−c≠0，
∴a−b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选C．
2.【答案】B
【解析】本题考查的是因式分解的知识，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
先提公因式−x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．
解：4x2y−4xy2−x3
=−x(x2−4xy+4y2)
=−x(x−2y)2，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式．图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为a2−b2，图乙中阴影部分边长分别为(a+b)和(a−b)，其面积为(a+b)(a−b)，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式．
【解答】
解：∵图甲中阴影部分的面积=a2−b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选C．
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】D
【解析】【分析】
【解答】
解：
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=(x−2)2．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：∵a+b=1，ab=−6，
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=1+24=25
∴a3b−2a2b2+ab3
=ab(a2−2ab+b2)
=ab(a−b)2
=−6×25
=−150，
故选：D．
先根据条件求出(a−b)2的值，再把代数式分解因式，整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，整体代入求值是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了非负数的性质．利用配方法得到原式=(a−1)2+(b+3)2+1，然后根据非负数的性质进行判断．
【解答】
解：a2+b2+6b+11−2a=a2−2a+1+b2+6b+9+1
=(a−1)2+(b+3)2+1
∵(a−1)2≥0，(b+3)2≥0，
∴a2+b2+6b+11−2a>0．
故选C．
9.【答案】A
【解析】略
10.【答案】A
【解析】解：4n3−5n2+5n+11
=4n3−4n2−n2+5n+11
=4n(n2−n)−n2+5n+11
=−4n−n2+5n+11
=n−n2+11
=−(n2−n)+11
=1+11
=12．
故选：A．
由n2−n+1=0，可得n2−n=−1，把所给代数式整理成4n3−4n2−n2+5n+11，把前两项提取4n，得到含n2−n的式子，把n2−n=−1整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．
本题考查因式分解的应用．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．
11.【答案】±24
【解析】解：∵4x2+mx+36=(2x)2+mx+62，
∴mx=±2×2x×6，
解得m=±24．
故答案为：±24．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
12.【答案】【小题1】
4
【小题2】
−1

【解析】1.
因为a−b+c=5，且a2−(b−c)2=［a+(b−c)］［a−(b−c)］=20，所以a+b−c=4．
2.
因为m2=n+5，n2=m+5，且m≠n，即m−n≠0，所以m2−n2=n−m，即(m+n)(m−n)=−(m−n)，所以m+n=−1．
13.【答案】5
【解析】解：(m−37)2−(42−m)2=[(m−37)+(42−m)][(m−37)−(42−m)]=5(2m−79)，
所以正整数n=5．
利用平方差公式进行因式分解，然后整理成含有常数因式的形式，即可解答．
本题考查了平方差公式分解因式的知识点，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
14.【答案】3m+6
【解析】由题意，(2m+3)2−(m+3)2=［(2m+3)+(m+3)］·［(2m+3)−(m+3)］=m·(3m+6)，因为拼成的长方形一边长为m，则另一边长为3m+6．
15.【答案】【小题1】解：x3−8=x3−23=(x−2)(x2+2x+4)．
【小题2】
解：a3+b3有立方和公式．
推导：a3+b3 =a3+a2b−a2b+b3
=a2(a+b)−b(a2−b2)
=a2(a+b)−b(a+b)(a−b)
=(a+b)[a2−b(a−b)]
=(a+b)(a2−ab+b2).

【解析】1. 本题考查了因式分解的运用，理解题意是解题关键．
根据题干中的立方差公式即可解答．
2. 本题考查了因式分解的运用，仿照题干中的例子进行推导即可．
16.【答案】【小题1】
32，80
【小题2】
解：设这两个连续的奇数分别为x，x+2，
由题意，得(x+2)2−x2=200，
则(x+2+x)(x+2−x)=200，
所以x+2+x=100．
故这两个连续奇数的和为100．
【小题3】
解：(2n+1)2−(2n−1)2=[(2n+1)+(2n−1)]·[(2n+1)−(2n−1)]=4n×2=8n，
故“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．

【解析】1. 【分析】
本题考查新定义问题，属基础题．
根据新定义判断即可．
【解答】
解：92−72=32，
212−192=80，
故32与80是“和谐数”，
75不能表示成两个连续奇数的平方差，
故75不是“和谐数”．
故答案为：32，80．
2. 本题考查因式分解有关的新定义问题，属中档题．
设这两个连续的奇数分别为x，x+2，根据“和谐数”的定义可得(x+2)2−x2=200，利用平方差公式进行因式分解，求得x+2+x的值即可得解．
3. 本题考查因式分解有关的新定义问题，属中档题．
根据平方差公式进行因式分解即可证得结论．
17.【答案】【小题1】
x ；5y ；(x+5y)(x−5y)
【小题2】
解：原式 =52(12m2)
=(5+12m)(5−12m) ．
【小题3】
解：原式=(m+n+2n)(m+n−2n)
=(m+3n)(m−n).
【小题4】
解：原式=x2−3x−4+3x
=x2−4
=(x+2)(x−2)．

【解析】1. 【分析】
此题考查了运用公式法因式分解的能力.直接用平方差公式分解．
【解答】
解：x2−25y2=( x )2−( 5y )2=(x+5y)(x−5y).
2. 此题考查了运用公式法因式分解的能力.直接用平方差公式分解．
3. 此题考查了运用公式法因式分解的能力.直接用平方差公式分解，再整理即可．
4. 此题考查了运用公式法因式分解的能力.先把原式整理，再用平方差公式分解．
18.【答案】【小题1】
B
【小题2】
25 ; −5

【解析】1. 【分析】
本题考查用公式法分解因式.直接用平方差公式分解即可．
【解答】
解：x2−16=(x−a)(x+a)
=(x+4)(x−4)．
那么a等于±4．
2. 【分析】
本题考查用公式法分解因式.直接用平方差公式分解即可．
【解答】
解：∵x2−25=(x+5)(x−5)
∴答案为25 ; −5．
19.【答案】解：(1)ab+a+b+1
=(ab+a)+(b+1)
=a(b+1)+(b+1)
=(a+1)(b+1)；
(2)由题得ab−a−b+1=5，即(a−1)(b−1)=5，
∵a，b为正整数且a>b，
∴a−1=5b−1=1，即a=6b=2，
∴a+b=8；
(2)由题得ab=a+b+5，
S=2a2+3ab+b2+5a−b
=2a2+3a+3b+15+b2+5a−b
=2a2+8a+b2+2b+15
=2(a2+4a+4)+(b2+2b+1)+6
=2(a+2)2+(b+1)2+6，
∵(a+2)2≥0，(b+1)2≥0，
∴S≥6，(当且仅当a=−2，b=−1时取等号)，
经验证：a=−2，b=−1满足ab−a−b−5=0，
综上，S的最小值为6．
【解析】(1)先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
(2)现将ab−a−b−4=0变形为ab−a−b+1=5，即(a−1)(b−1)=5，然后再解决本题．
(3)先将ab−a−b−5=0变形为ab=a+b+5，再代入S，然后进行变形，得到S=2(a+2)2+(b+1)2+6，最后探究S的最小值．
本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)①是； ②不是； ③是。
(2)证明：
记该数为n，则n=1000a+100b+10c+d，其中a+c=b+d=8，
所以n=1000a+100b+10(8−a)+(8−b)
=990a+99b+88
=11(90a+9b+8)，
因为a，b都为整数，
所以11(90a+9b+8)能被11整除，
所以一个“双雅数”是11的倍数；
(3)设m的千位数上的数字为a，百位上的数字为b，由(2)知，m=990a+99b+88，
所以F(m)=5(m−88)99
=5(990a+99b+88−88)99
=5(10a+b)，
因为F(m)是完全平方数，
所以(10a+b)为完全平方数的5倍，
所以10a+b=20或45或80，
①a=2，b=0，m=2068，
②a=4，b=5，m=4543，
③a=8，b=0，m=8008，
综上，满足条件的数m有2068，4543，8008．
【解析】解：(1)①3454，
因为4+4=8，5+3=8，
所以3454是“双雅数”；
②2635，
因为5+6≠8，2+3≠8，
所以2635不是“双雅数”；
③7612，
因为2+6=8，1+7=8，
所以7612是“双雅数”；
故答案为：①是；②不是；③是；
(2)见答案；
(3)见答案。
(1)根据“双雅数”的定义判断即可；
(2)设该数n=1000a+100b+10c+d，再由该数是“双雅数”得a+c=b+d=8，则n=11(90a+9b+8)即可解答；
(3)设m的千位数上的数字为a，百位上的数字为b，由(2)知，m=990a+99b+88，将其代入F(m)=5(m−88)99中，可得F(m)=5(10a+b)，再由F(m)是完全平方数分类讨论即可．
此题主要考查了因式分解，新定义，完全平方数，理解新定义是解本题的关键．