初中数学北师大版八年级下册3 公式法学案

4.3.2公式法

导学案

学习目标

1．掌握完完全平方式、全完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式．

2．逆用乘法公式的过程中发展逆向思维的意识和能力.

探究案

一、自学释疑

1. 能用完全平方公式因式分解的多项式的项数、系数、指数、符号有什么特征？

2.用公式法因式分解，你是怎么理解公式中的a、b的？

3. 将多项式因式分解首先考虑的分解法是什么？

4. 把一个多项式因式分解，一般按什么步骤进行？

二、合作探究

探究点一：

问题1: 事实上，把乘法公式的(完全平方公式)：

(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²

反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)

                                              ；

形如                        的式子称为完全平方式.

根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做                    .

问题2：把下列完全平方式因式分解：

（1）x ²＋14x＋49；                  （2）（m＋n）²－6（m+n）＋9

探究点二

问题1: 因式分解下列各式：

（1）3ax²+6axy+3ay²；        （2）－x²－4y²+4xy.

温馨提示：

当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解，直至不能再分解为止.

首项系数是负数时，应先提出“－”号或整个负数.

因式分解的一般步骤：

（1）“提”，先看多项式各项，有就提出来；（2）“套”，尝试用乘法公式来分解；（3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.

问题2: 已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a ²+b ²+c ²=ab+ac+bc，是说明∆ABC是等边三角形.

探究点三

问题：阅读材料

我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）²的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a² 就不能直接应用完全平方公式了， 我们可以采用如下的办法：

x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a²

 =（x+a）²-（2a）²

 =(x+3a)(x-a)

像这样把二次三项式因式分解的数学方法叫配方法。

（1）这种方法的关键是                         ；

（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.

举一反三

1. 若x ² +2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．

2. 已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

随堂检测

1．下列式子中是完全平方式的是(     )

  A．a²＋ab＋b²               B．a²＋2a＋2

  C．a²－2b＋b²               D．a²＋2a＋1².

2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(     )

  A．x²＋x＋1                         B．x²＋2x－1

  C．x²－1                            D．x²－6x＋9

3．多项式mx²－m和多项式x²－2x＋1的公因式是(A)

  A．x－1              B．x＋1

  C．x²－1             D．(x－1) ²

4．对(x－1) ²－2(x－1)＋1因式分解的结果是(D)

  A．(x－1)(x－2)                 B．x²

  C．(x＋1) ²                       D．(x－2) ²

5. 把下列各式因式分解

(1)16x ²－(x ²＋4) ²；          (2)(x ²－2xy＋y ²)＋(－2x＋2y)＋1.

我的收获

                                                                  .

参考答案

探究点一

问题1：a²+2ab+b²=(a+b)²，  a²-2ab+b²=(a-b)² ；（a²±2ab+b²） ；公式法 .

问题2：解：(1) x ²＋14x＋49

=x ²+2×7x+7 ²=(x+7) ²

(2)（m＋n）²－6（m+n）＋9

=[(m+n)-3] ²

=(m+n-3) ²

探究点二

问题1：解：（1）原式=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y) ²

（2）原式=-(x²+4y²-4xy)=-(x²-4xy+4y²) =-[(x²-2•x•2y+(2y) ²] =-(x-2y) ²

问题2：

解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac,

∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0

等式两边同乘以2，得

2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0

（a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0

∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，

a=b=c  即∆ABC为等边三角形

探究点三

问题

解：（1）9（m+n）²－（m－n）²

     =（3m+3n+m-n）（3m+3n-m+n）

     =（4m+2n）（2m+4n）

     =4（2m+n）（m+2n）

 （2）2x³－8x

     =2x（x²-4）

     =2x（x+2）（x-2）

（3）x 4-1

=（x²+1） （x²-1）

=（x²+1）（x+1）（x-1）

举一反三

1. 解：∵x ² +2（a+4）x+25是完全平方式，

∴2（a+4）=±2×5，

解得a=1或a=-9．

故a的值是1或-9．

2. 解：设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）

则x ²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n

∴n＋3=-4，m=3n．

解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.

随堂检测

答案：

 1-4 DDAD　

5. 解：(1)16x ²－(x ²＋4) ²

＝(4x＋x ²＋4)(4x－x ²－4)

＝－(x＋2) ² (x－2) ².

    (2)(x ²－2xy＋y ²)＋(－2x＋2y)＋1.

＝(x－y) ²－2(x－y)＋1

＝(x－y－1) ².