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高中人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行同步训练题
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这是一份高中人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行同步训练题，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段和上的点，则满足与平面平行的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
5．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中假命题是（ ）
A．存在点F，使得平面
B．存在点F，使得平面
C．对于任意的点F，四边形均为平行四边形
D．对于任意的点F，三棱锥的体积均不变
6．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点做平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知正方体的棱长是，、分别是棱和的中点，点在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正方体的棱长是2，E，F分别是棱和的中点，点P在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最大值为a．以A为球心，a为半径的球面与底面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（ ）
A．B．平面C．D．
10．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的选项是（ ）
A．与平行；
B．与是异面直线；
C．与平面平行；
D．平面与平面平行.
11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
12．已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）
A．四边形的周长为定值B．当时，四边形为正方形
C．当时，截球所得截面的周长为D．四棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图所示，已知，，，四点不共面，且AB∥α，CD∥α，α，，，，则四边形的形状是______．
14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．
16．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱和的中点，是侧面内的动点，且平面，当的外接圆面积最小时，三棱锥的外接球的表面积为____________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
18．（12分）已知在正三棱柱中，侧棱长为3，H、G分别是AB，中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求此三棱柱的侧面积．
19．（12分）直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．
(1)求证：平面；
(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．
20．（12分）如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点D为的中点，点E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积.
21．（12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（12分）如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.
(1)求证：平面平面；
(2)已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值.
8.5 空间直线、平面的平行-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
【答案】D
【分析】根据过直线外一点作与直线平行的直线只有一条.可排除AC.再由线面平行的性质定理即可选出答案.
【详解】过直线与点的平面有且只有一个,记该平面为.
又因直线平面，点平面
所以过点且平行于直线的直线只有一条，且这条线为平面与平面的相交线.
故选：D.
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理.属于基础题.
2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
故选：A．
3．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段和上的点，则满足与平面平行的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【分析】取的中点，连接，在上任取一点，过点在平面，作，再过作，角与点，连接，根据线面平行的判定定理，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而得到平面， 又由点为上任一点，得到有无数条.
【详解】取的中点，连接，则，
连接，在上任取一点，
过点在平面，作，其中为的中点，角于，
再过作，角与点，连接，
设在平面内的正投影为，连接，则，
又由且平面，平面，
所以平面，
同理：由，可推得平面，
根据面面平行的判定定理，可得平面平面，
因为平面，所以平面，
又由点为上任一点，所以这样的的直线有无数条.
故选：D.
4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
【答案】C
【分析】能得出面，关键是看平面中有没有与平行的直线，或者有没有过的平面与平面平行.逐一判断即可.
【详解】在①中，由正方体性质得到平面与所在平面平行，平面，故①成立；
②若下底面中心为,则NO//AB，面=，与面不平行，故②不成立；
在③中，与平行，平面，故③成立；
④过作与AB平行的直线，则与平面相交，与面不平行，故④不成立.
故选：.
【点睛】
本题主要考查线面之间的关系以及线面平行的判定定理的应用，是基础题.
5．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中假命题是（ ）
A．存在点F，使得平面
B．存在点F，使得平面
C．对于任意的点F，四边形均为平行四边形
D．对于任意的点F，三棱锥的体积均不变
【答案】B
【分析】对于A，根据线面平行的判定判断即可；对于B，可知与平面一定相交，从而可知不正确；对于C，由面面平行的性质可判断；对于D，由体积公式可判断.
【详解】对于A，当F为的中点时，则E也为的中点，，平面，
平面，平面，故A为真命题；
对于B，因为平面，由正方体性质知与相交于一点，所以平面不可能，故B为假命题；
对于C，由面面平行的性质，可知，因此四边形一定为平行四边形，故C是真命题；
对于D，平面，所以点F到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故D是真命题.
故选：B.
6．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点做平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析截面积变化过程
【详解】因为平面平面PAD，当两平面距离增大时，由图可知截棱锥面积减小，即随单调递减，故排除A，C
当时，，排除B、
故选：D
7．已知正方体的棱长是，、分别是棱和的中点，点在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别取、的中点、，连接、、、、、、、，证明出平面平面，可知点的轨迹为线段，分析可知当时，即当点为线段的中点时，的长度取最小值，利用勾股定理可求得结果.
【详解】分别取、的中点、，连接、、、、、、、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则，同理可得，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，故且，
因为且，所以，且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
平面，平面，
当点时，平面，则平面，所以点的轨迹为线段，
平面，平面，则，
，则，同理可得，
因为，
所以，当时，即当点为线段的中点时，的长度取最小值，
此时.
故选：C.
8．已知正方体的棱长是2，E，F分别是棱和的中点，点P在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最大值为a．以A为球心，a为半径的球面与底面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别取 的中点M，N，连接MN，AM，AN，易证平面AMN平面，从而得到点P的轨迹是线段MN，则长度的最大值为 ，然后在平面内取一点P，使得，即以为圆心，以1为半径的圆弧求解.
【详解】解：如图所示：
分别取 的中点M，N，连接MN，AM，AN，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理 平面，又，
所以平面AMN平面，
因为点P在正方形（包括边界）内，且平面，
所以点P的轨迹是线段MN，
所以长度的最大值为 ，
在平面内取一点P，使得，则，
所以以A为球心，为半径的球面与底面的交线为
以为圆心，以1为半径的圆弧RPQ，
其长度为，
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（ ）
A．B．平面C．D．
【答案】BD
【分析】利用线面平行的性质结合线面平行的判定可得出结论.
【详解】因为平面，平面，平面平面，，
平面，平面，因此，平面.
故选：BD.
10．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的选项是（ ）
A．与平行；
B．与是异面直线；
C．与平面平行；
D．平面与平面平行.
【答案】CD
【分析】先将正方体的平面展开图复原为正方体，再结合图形，对选项一一判断即可.
【详解】对于选项A，由展开图得到正方体的直观图如图，与异面，故A错误；
对于选项B，与平行，故B错误；
对于选项C，因为四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；
对于选项D，显然，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，故D正确.
故选：CD.
11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】ABD
【分析】.根据，得到直线与直线所成的角求解； .取中点，连接，，利用面面平行的判定定理和性质定理判断；.假设与到平面的距离相等，转化平面是否过的中点判断； .根据，把截面补形为等腰梯形判断.
【详解】如图所示：
.因为，所以直线与直线所成的角，，故正确；
.取中点，连接，，
在正方体中，，，
平面，平面，
所以平面，同理可证平面，，
所以平面平面，
平面，所以平面，故正确；
.假设与到平面的距离相等，即平面将平分，
则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，
则假设不成立，故错误；
.在正方体中，，
把截面补形为等腰梯形，易知，
之间的距离为，
所以其面积为，故正确，
故选：ABD
12．已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）
A．四边形的周长为定值B．当时，四边形为正方形
C．当时，截球所得截面的周长为D．四棱锥的体积的最大值为
【答案】ABD
【分析】求得四边形的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面截球所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥的体积的最大值判断选项D.
【详解】平面，平面平面，平面平面
则 ，，则
又平面，平面平面，平面平面
则 ，，则
则四边形为平行四边形.
由，可得，则，
又正四面体的棱长为3，
则，
选项A：四边形的周长为.判断正确；
选项B：当时，，，则平行四边形为菱形
又正四面体中，对棱，则，
则菱形为正方形. 判断正确；
分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ ，
设DN、CM交于K ，连接AK，则AK为正四面体的高
正四面体的棱长为3，其外接球的球心为,则在AK上，连接CO
，，
设球半径为R，则，
即，解之得
由，可得
同理有，则为异面直线之间的距离
，则点到的距离为，球心到的距离为
选项C：当时，设与交于T，则，T到的距离为
球心到平面的距离为
则平面截球所得截面半径为
则平面截球所得截面的周长为.判断错误；
选项D：由，
可得点A到平面的距离为，又平行四边形为矩形，
则四棱锥的体积
令，则
由得，由，得
则在单调递增，在单调递减，在时取最大值，即的最大值为故四棱锥的体积的最大值为.判断正确.故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图所示，已知，，，四点不共面，且AB∥α，CD∥α，α，，，，则四边形的形状是______．
【答案】平行四边形
【分析】由线面平行的性质推证得////，即可说明四边形的形状.
【详解】因为，，则由确定的平面面，
又//，面，则//；
又，，则由确定的平面面，
又//，面,则//；
故//；
同理可得：//，故四边形为平行四边形.
故答案为：平行四边形.
14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
【答案】##0.5
【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得线线平行，由平行线性得结论．
【详解】连接交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，又，∴.
故答案为：．
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．
【答案】
【分析】根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.
【详解】由题得，取中点H，中点G，连结，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，，则为最小值.
16．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱和的中点，是侧面内的动点，且平面，当的外接圆面积最小时，三棱锥的外接球的表面积为____________.
【答案】++
【分析】由已知，证明，取的中点，连接，证明，然后证明面平面，找到动点在侧面的轨迹，根据的外接圆面积最小确定点的位置，然后先计算外接圆半径，然后使用勾股定理再计算三棱锥的外接球半径，从而求得其表面积即可.
【详解】
由已知，如图所示，连接，因为，分别是棱和的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以,
平面，平面，所以平面，
取的中点，连接，取的中点，连接，，
因为，分别是棱和的中点，所以，平面，平面，所以平面，
而平面，， 所以平面平面，
而是侧面内的动点，且平面，
所以是棱内的动点，
因为平面， 平面，所以，
在中， ，所以外接圆半径为斜边的一半，
要使外接圆面积最小，即外接圆半径最小，即取得最小值，又，
所以为中点时取得最小值，
由，， ，为中点，所以，
设的外接圆半径为，，
三棱锥的外接球半径为，所以，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】先得到，，则四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理证明即可.
【详解】因为，分别是，的中点，所以
又，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，而平面，
所以平面.
18．（12分）已知在正三棱柱中，侧棱长为3，H、G分别是AB，中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求此三棱柱的侧面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到四边形为平行四边形，即，即可得证；
（2）由（1）可得，根据正三棱柱的性质及勾股定理求出，即可求出底面边长，再根据侧面积公式计算可得；
(1)
证明：取的中点，连接、，因为为的中点，
所以且，又是的中点，
且三棱柱是正三棱柱，
所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
(2)
解：由（1）可知，所以，又，
正三棱柱中侧棱垂直于底面且底面是正三角形，
所以，所以，即，
所以棱柱的侧面积
19．（12分）直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．
(1)求证：平面；
(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取BC中点为，连接，，由面面平行的判断定理证明平面平面，从而即可证明平面；
（2）证明平面，即平面，从而有，根据三棱锥的体积公式即可求解.
(1)
证明：取BC中点为，连接，，
因为点、分别为，的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
(2)
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
所以，
又为正方形，，，
所以，且，，，又，
所以平面，即平面，
所以当点为中点时，三棱锥的体积.
20．（12分）如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点D为的中点，点E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连结，证明即可；
（2）设，由可求出，然后求出外接球的半径即可.
(1)
证明：连结，
因为侧面为矩形，所以点为的中点，
又因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，平面.
(2)
设，因为，
又因为直三棱柱的所有棱长均相等
所以，点到平面的距离为，，
所以，，解得：，
因为等边三角形的外接圆半径为，三棱柱的高，
所以，三棱柱的外接球半径
所以，三棱柱的外接球表面积.
21．（12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.
【分析】
（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可得，由直线与平面平行的判定可得平面；
（2）取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，，则，，，四点共面，然后证明即可.
解：（1）证明：如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又四边形是平行四边形，，，为的中点，，.
，，则四边形为平行四边形，.
平面，平面，平面；
（2）存在点符合题目条件，且此时.
取的中点，连接交于，在上取点，使，
连接，，则，，，四点共面.
证明如下：在平行四边形中，，分别为，的中点，
，又是的中点，是的重心，且.又，，
，，与确定一个平面，而直线，
，则，，，四点共面.
故在线段上存在一点，使得，，，四点共面
22．如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.
(1)求证：平面平面；
(2)已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)时，体积最大为36
【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明；
（2）结合几何关系（线面垂直、相似三角形）设法先求出，再求出的体积，由体积对应关系推导出，利用函数思想通过二次函数求最值．
(1)
证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，
且为的中点，为的中点，且，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，连接，如图所示，
，且，
则四边形为平行四边形，
，且平面，平面，
平面，
，且，平面，
平面平面；
(2)
，为的中点，，
平面平面，平面平面，
且平面平面，，平面，
平面，平面，
与平面的距离，
平面，，在△中，，则，
，
平面，则平面，而平面，，
且，又，，平面，平面，且平面，，记交点为，则三角形为直角三角形，
△，且，，，
，，，
，
，
，设，
即，当时，即，三棱柱的体积最大，36.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段和上的点，则满足与平面平行的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
5．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中假命题是（ ）
A．存在点F，使得平面
B．存在点F，使得平面
C．对于任意的点F，四边形均为平行四边形
D．对于任意的点F，三棱锥的体积均不变
6．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点做平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知正方体的棱长是，、分别是棱和的中点，点在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正方体的棱长是2，E，F分别是棱和的中点，点P在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最大值为a．以A为球心，a为半径的球面与底面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（ ）
A．B．平面C．D．
10．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的选项是（ ）
A．与平行；
B．与是异面直线；
C．与平面平行；
D．平面与平面平行.
11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
12．已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）
A．四边形的周长为定值B．当时，四边形为正方形
C．当时，截球所得截面的周长为D．四棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图所示，已知，，，四点不共面，且AB∥α，CD∥α，α，，，，则四边形的形状是______．
14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．
16．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱和的中点，是侧面内的动点，且平面，当的外接圆面积最小时，三棱锥的外接球的表面积为____________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
18．（12分）已知在正三棱柱中，侧棱长为3，H、G分别是AB，中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求此三棱柱的侧面积．
19．（12分）直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．
(1)求证：平面；
(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．
20．（12分）如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点D为的中点，点E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积.
21．（12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22．（12分）如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.
(1)求证：平面平面；
(2)已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值.
8.5 空间直线、平面的平行-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
【答案】D
【分析】根据过直线外一点作与直线平行的直线只有一条.可排除AC.再由线面平行的性质定理即可选出答案.
【详解】过直线与点的平面有且只有一个,记该平面为.
又因直线平面，点平面
所以过点且平行于直线的直线只有一条，且这条线为平面与平面的相交线.
故选：D.
【点睛】
本题考查线面平行的性质定理.属于基础题.
2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．
【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行：
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：
故选：A．
3．已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段和上的点，则满足与平面平行的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【分析】取的中点，连接，在上任取一点，过点在平面，作，再过作，角与点，连接，根据线面平行的判定定理，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而得到平面， 又由点为上任一点，得到有无数条.
【详解】取的中点，连接，则，
连接，在上任取一点，
过点在平面，作，其中为的中点，角于，
再过作，角与点，连接，
设在平面内的正投影为，连接，则，
又由且平面，平面，
所以平面，
同理：由，可推得平面，
根据面面平行的判定定理，可得平面平面，
因为平面，所以平面，
又由点为上任一点，所以这样的的直线有无数条.
故选：D.
4．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面MNP的图形的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①③④
【答案】C
【分析】能得出面，关键是看平面中有没有与平行的直线，或者有没有过的平面与平面平行.逐一判断即可.
【详解】在①中，由正方体性质得到平面与所在平面平行，平面，故①成立；
②若下底面中心为,则NO//AB，面=，与面不平行，故②不成立；
在③中，与平行，平面，故③成立；
④过作与AB平行的直线，则与平面相交，与面不平行，故④不成立.
故选：.
【点睛】
本题主要考查线面之间的关系以及线面平行的判定定理的应用，是基础题.
5．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中假命题是（ ）
A．存在点F，使得平面
B．存在点F，使得平面
C．对于任意的点F，四边形均为平行四边形
D．对于任意的点F，三棱锥的体积均不变
【答案】B
【分析】对于A，根据线面平行的判定判断即可；对于B，可知与平面一定相交，从而可知不正确；对于C，由面面平行的性质可判断；对于D，由体积公式可判断.
【详解】对于A，当F为的中点时，则E也为的中点，，平面，
平面，平面，故A为真命题；
对于B，因为平面，由正方体性质知与相交于一点，所以平面不可能，故B为假命题；
对于C，由面面平行的性质，可知，因此四边形一定为平行四边形，故C是真命题；
对于D，平面，所以点F到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故D是真命题.
故选：B.
6．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面ABCD，且，是PB 上一个动点，过点做平面平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析截面积变化过程
【详解】因为平面平面PAD，当两平面距离增大时，由图可知截棱锥面积减小，即随单调递减，故排除A，C
当时，，排除B、
故选：D
7．已知正方体的棱长是，、分别是棱和的中点，点在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别取、的中点、，连接、、、、、、、，证明出平面平面，可知点的轨迹为线段，分析可知当时，即当点为线段的中点时，的长度取最小值，利用勾股定理可求得结果.
【详解】分别取、的中点、，连接、、、、、、、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则，同理可得，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，故且，
因为且，所以，且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
平面，平面，
当点时，平面，则平面，所以点的轨迹为线段，
平面，平面，则，
，则，同理可得，
因为，
所以，当时，即当点为线段的中点时，的长度取最小值，
此时.
故选：C.
8．已知正方体的棱长是2，E，F分别是棱和的中点，点P在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最大值为a．以A为球心，a为半径的球面与底面的交线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别取 的中点M，N，连接MN，AM，AN，易证平面AMN平面，从而得到点P的轨迹是线段MN，则长度的最大值为 ，然后在平面内取一点P，使得，即以为圆心，以1为半径的圆弧求解.
【详解】解：如图所示：
分别取 的中点M，N，连接MN，AM，AN，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理 平面，又，
所以平面AMN平面，
因为点P在正方形（包括边界）内，且平面，
所以点P的轨迹是线段MN，
所以长度的最大值为 ，
在平面内取一点P，使得，则，
所以以A为球心，为半径的球面与底面的交线为
以为圆心，以1为半径的圆弧RPQ，
其长度为，
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，在四棱锥中，、分别为、上的点，且平面，则（ ）
A．B．平面C．D．
【答案】BD
【分析】利用线面平行的性质结合线面平行的判定可得出结论.
【详解】因为平面，平面，平面平面，，
平面，平面，因此，平面.
故选：BD.
10．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，下列四个命题中，正确命题的选项是（ ）
A．与平行；
B．与是异面直线；
C．与平面平行；
D．平面与平面平行.
【答案】CD
【分析】先将正方体的平面展开图复原为正方体，再结合图形，对选项一一判断即可.
【详解】对于选项A，由展开图得到正方体的直观图如图，与异面，故A错误；
对于选项B，与平行，故B错误；
对于选项C，因为四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确；
对于选项D，显然，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，故D正确.
故选：CD.
11．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】ABD
【分析】.根据，得到直线与直线所成的角求解； .取中点，连接，，利用面面平行的判定定理和性质定理判断；.假设与到平面的距离相等，转化平面是否过的中点判断； .根据，把截面补形为等腰梯形判断.
【详解】如图所示：
.因为，所以直线与直线所成的角，，故正确；
.取中点，连接，，
在正方体中，，，
平面，平面，
所以平面，同理可证平面，，
所以平面平面，
平面，所以平面，故正确；
.假设与到平面的距离相等，即平面将平分，
则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，
则假设不成立，故错误；
.在正方体中，，
把截面补形为等腰梯形，易知，
之间的距离为，
所以其面积为，故正确，
故选：ABD
12．已知正四面体的棱长为3，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则（ ）
A．四边形的周长为定值B．当时，四边形为正方形
C．当时，截球所得截面的周长为D．四棱锥的体积的最大值为
【答案】ABD
【分析】求得四边形的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面截球所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥的体积的最大值判断选项D.
【详解】平面，平面平面，平面平面
则 ，，则
又平面，平面平面，平面平面
则 ，，则
则四边形为平行四边形.
由，可得，则，
又正四面体的棱长为3，
则，
选项A：四边形的周长为.判断正确；
选项B：当时，，，则平行四边形为菱形
又正四面体中，对棱，则，
则菱形为正方形. 判断正确；
分别取BD、BC、AC的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ ，
设DN、CM交于K ，连接AK，则AK为正四面体的高
正四面体的棱长为3，其外接球的球心为,则在AK上，连接CO
，，
设球半径为R，则，
即，解之得
由，可得
同理有，则为异面直线之间的距离
，则点到的距离为，球心到的距离为
选项C：当时，设与交于T，则，T到的距离为
球心到平面的距离为
则平面截球所得截面半径为
则平面截球所得截面的周长为.判断错误；
选项D：由，
可得点A到平面的距离为，又平行四边形为矩形，
则四棱锥的体积
令，则
由得，由，得
则在单调递增，在单调递减，在时取最大值，即的最大值为故四棱锥的体积的最大值为.判断正确.故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图所示，已知，，，四点不共面，且AB∥α，CD∥α，α，，，，则四边形的形状是______．
【答案】平行四边形
【分析】由线面平行的性质推证得////，即可说明四边形的形状.
【详解】因为，，则由确定的平面面，
又//，面，则//；
又，，则由确定的平面面，
又//，面,则//；
故//；
同理可得：//，故四边形为平行四边形.
故答案为：平行四边形.
14．如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
【答案】##0.5
【分析】连接交于点，连接，由线面平行的性质得线线平行，由平行线性得结论．
【详解】连接交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，又，∴.
故答案为：．
15．如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点（包括边界），且，则的最小值为____．
【答案】
【分析】根据题意，可知，即求的最小值.在侧面内找到满足平面且最小的点即可.
【详解】由题得，取中点H，中点G，连结，，GH，，平面，，平面，平面平面，平面，故平面，又平面，则点F在两平面交线直线GH上，那么的最小值是时，，则为最小值.
16．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱和的中点，是侧面内的动点，且平面，当的外接圆面积最小时，三棱锥的外接球的表面积为____________.
【答案】++
【分析】由已知，证明，取的中点，连接，证明，然后证明面平面，找到动点在侧面的轨迹，根据的外接圆面积最小确定点的位置，然后先计算外接圆半径，然后使用勾股定理再计算三棱锥的外接球半径，从而求得其表面积即可.
【详解】
由已知，如图所示，连接，因为，分别是棱和的中点，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以,
平面，平面，所以平面，
取的中点，连接，取的中点，连接，，
因为，分别是棱和的中点，所以，平面，平面，所以平面，
而平面，， 所以平面平面，
而是侧面内的动点，且平面，
所以是棱内的动点，
因为平面， 平面，所以，
在中， ，所以外接圆半径为斜边的一半，
要使外接圆面积最小，即外接圆半径最小，即取得最小值，又，
所以为中点时取得最小值，
由，， ，为中点，所以，
设的外接圆半径为，，
三棱锥的外接球半径为，所以，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】先得到，，则四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理证明即可.
【详解】因为，分别是，的中点，所以
又，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，而平面，
所以平面.
18．（12分）已知在正三棱柱中，侧棱长为3，H、G分别是AB，中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求此三棱柱的侧面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接、，即可得到四边形为平行四边形，即，即可得证；
（2）由（1）可得，根据正三棱柱的性质及勾股定理求出，即可求出底面边长，再根据侧面积公式计算可得；
(1)
证明：取的中点，连接、，因为为的中点，
所以且，又是的中点，
且三棱柱是正三棱柱，
所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
(2)
解：由（1）可知，所以，又，
正三棱柱中侧棱垂直于底面且底面是正三角形，
所以，所以，即，
所以棱柱的侧面积
19．（12分）直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．
(1)求证：平面；
(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取BC中点为，连接，，由面面平行的判断定理证明平面平面，从而即可证明平面；
（2）证明平面，即平面，从而有，根据三棱锥的体积公式即可求解.
(1)
证明：取BC中点为，连接，，
因为点、分别为，的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
(2)
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
所以，
又为正方形，，，
所以，且，，，又，
所以平面，即平面，
所以当点为中点时，三棱锥的体积.
20．（12分）如图所示，直三棱柱的所有棱长均相等，点D为的中点，点E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求该三棱柱的外接球表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连结，证明即可；
（2）设，由可求出，然后求出外接球的半径即可.
(1)
证明：连结，
因为侧面为矩形，所以点为的中点，
又因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以，平面.
(2)
设，因为，
又因为直三棱柱的所有棱长均相等
所以，点到平面的距离为，，
所以，，解得：，
因为等边三角形的外接圆半径为，三棱柱的高，
所以，三棱柱的外接球半径
所以，三棱柱的外接球表面积.
21．（12分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；.
【分析】
（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可得，由直线与平面平行的判定可得平面；
（2）取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，，则，，，四点共面，然后证明即可.
解：（1）证明：如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又四边形是平行四边形，，，为的中点，，.
，，则四边形为平行四边形，.
平面，平面，平面；
（2）存在点符合题目条件，且此时.
取的中点，连接交于，在上取点，使，
连接，，则，，，四点共面.
证明如下：在平行四边形中，，分别为，的中点，
，又是的中点，是的重心，且.又，，
，，与确定一个平面，而直线，
，则，，，四点共面.
故在线段上存在一点，使得，，，四点共面
22．如图，在斜三棱柱中，，D为AB的中点，为的中点，平面平面，异面直线与互相垂直.
(1)求证：平面平面；
(2)已知，设到平面的距离为，试问取何值时，三棱柱的体积最大？并求出最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)时，体积最大为36
【分析】（1）由平面与平面平行的判定证明；
（2）结合几何关系（线面垂直、相似三角形）设法先求出，再求出的体积，由体积对应关系推导出，利用函数思想通过二次函数求最值．
(1)
证明：在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，
且为的中点，为的中点，且，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，连接，如图所示，
，且，
则四边形为平行四边形，
，且平面，平面，
平面，
，且，平面，
平面平面；
(2)
，为的中点，，
平面平面，平面平面，
且平面平面，，平面，
平面，平面，
与平面的距离，
平面，，在△中，，则，
，
平面，则平面，而平面，，
且，又，，平面，平面，且平面，，记交点为，则三角形为直角三角形，
△，且，，，
，，，
，
，
，设，
即，当时，即，三棱柱的体积最大，36.
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