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人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直综合训练题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直综合训练题，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
2．已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AC所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．设直线平面，过平面外一点与，都成30°角的直线有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条
5．过正方体的顶点作平面，使正方形､正方形､正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
7．如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：
①存在点P，使得直线平面ACF；
②存在点P，使得直线平面ACF；
③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.
其中所有真命题的序号（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①③④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
10．两条异面直线与同一平面所成的角可能是（ ）
A．均为锐角B．一个0度，一个90度C．均为0度D．均为90度
11．在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F分别是线段AC，A1B1上的点．下列结论成立的是（ ）
A．若AA1=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥A1C
B．若AA1=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC1A1的面积为
C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BC
D．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BB1C1C的面积为BC·EF
12．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某一翻折位置，使得
B．当面平面时，二面角的正切值为
C．四棱锥的体积的最大值为
D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
14．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，，平面PAD⊥平面ABCD，，且直线PB与CD所成角的正切值为，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为___________.
15．有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，；另一块三角板的两条直角边的长均为，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于__．
16．在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
18．（12分）如图(1)是一个水平放置的正三棱柱，D是棱BC的中点，正三棱柱的正视图如图(2)．
(1)求正三棱柱的体积；
(2)证明：∥平面；
(3)题图(1)中垂直于平面的平面有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)
19．（12分）已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离．
20．（12分）如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
22．（12分）如图所示，已知平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形.，F为CD的中点.
(1)证明：AF∥平面BCE.
(2)证明：平面BCE⊥平面CDE.
(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为
8.6空间直线、平面的垂直-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
【答案】A
【分析】依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.
【详解】直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，
因，故，从而有，A正确.
B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.
综上，选A.
2．已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法.
【详解】对于A，如果直线在平面内，则无法得出，故不正确；
对于B，直线只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确；
对于C，，直线有可能在平面内，无法得出，故不正确；
对于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确.
故选：D.
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AC所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】连接，证得，再在正方体中，得到，结合洗线面垂直的判定定理，证得平面，得到，即可求解.
【详解】连接，设与交于点，
因为为正方形，可得，
在正方体中，平面，可得，
又因为且平面，所以平面，
又由平面，所以，
即异面直线与直线所成的角为.
故选：D.
4．设直线平面，过平面外一点与，都成30°角的直线有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条
【答案】B
【分析】根据线面角的定义，结合题意，画出示意图，即可求得结果.
【详解】和成30°角的直线一定是以为顶点的圆锥的母线所在直线，如下所示：
当＝＝30°且∥时，直线，都满足条件．
故选：B.
5．过正方体的顶点作平面，使正方形､正方形､正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】由正方体性质可直接判断.
【详解】
如图所示，
由正方形可知，三棱锥为正三棱锥，
所以平面与平面，平面，平面所成角均相等，
所以平面平面，
同理，因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以平面，平面，平面与平面，平面，平面所成角均相等，
所以有4个，
故选：D.
6．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取中点，连接，证明平面，求出P在FC上.将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
【详解】取中点，连接，
由，，可知，则，
∴由知，即.
∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面，
∵，∴平面，平面，
∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；
∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，
∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，
将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：
将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，
直线CF方程为，即，
设，则，
∴.
故选：A﹒
7．如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】若是中点，连接，易得直线CM与面DEF所成角即为直线CM与面所成角为，利用线面垂直的判定可得面，由线面垂直、面面垂直的判定有面面，即可判断的变化范围，进而确定最小时的位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】若是中点，连接，则面DEF即为面，
所以直线CM与面DEF所成角，即为直线CM与面所成角为，
因为，，，则面，
又F是的中点，则F到面的距离为.
因为，，，则面，
又面，则面面，又面，面面，
所以直线CM与面所成角为，即为直线所成角.
又△为等腰直角三角形且，则，
由图知，M在线段上运动过程中，
即直线CM与平面DEF所成角最小时，重合，
此时，四面体MFCE的体积.
故选：A
8．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：
①存在点P，使得直线平面ACF；
②存在点P，使得直线平面ACF；
③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.
其中所有真命题的序号（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线平面ACF，推理导出矛盾
判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出外接圆面积判断④作答.
【详解】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，
在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，
即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；
假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，
在中，，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，
因此，假设是错的，即②不正确；
因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，
于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，
，而，则，
当P与E重合时，，，因此，，③正确；
因平面平面，平面平面，，平面，则平面，
，在中，，显然有，，
由正弦定理得外接圆直径，，
三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，
所以所给命题中正确命题的序号是①③④.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
【答案】AB
【分析】根据空间位置关系的判定即空间角的定义直接判断各选项.
【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；
B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；
C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；
D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；
故选：AB.
10．两条异面直线与同一平面所成的角可能是（ ）
A．均为锐角B．一个0度，一个90度C．均为0度D．均为90度
【答案】ABC
【分析】根据题意，作出适当的立体图形，结合图形一一判断即可.
【详解】根据题意，作正方体，连接与.
对于选项A，由图可知，异面直线和与平面的夹角都为锐角，故A正确；
对于选项B，由图可知，异面直线和与平面的夹角分别为和，故B正确；
对于选项C，由图可知，异面直线和与平面的夹角都为为，故C正确；
对于选项D，由线面垂直的性质，知若两条直线垂直于同一个平面，则两直线平行，故不可能异面，故D错误.
故选：ABC.
11．在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F分别是线段AC，A1B1上的点．下列结论成立的是（ ）
A．若AA1=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥A1C
B．若AA1=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC1A1的面积为
C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BC
D．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BB1C1C的面积为BC·EF
【答案】BCD
【分析】A.易知，作，过作的平行线，与交于点F，证得平面，在AB上取一点H，作，得到平面平面，再根据点H有无数个判断； B. 根据是正三角形，设是中点，与重合，则，求得四边形的面积为，再分析不是中点，或不与重合时，线段的长度变化判断；C.根据，设是中点，记中点为，则，再结合B的结论判断； D.设是中点，是中点，记中点为，得到四边形是平行四边形，再结合C的结论判断.
【详解】如图所示：
因为AA1=AC，则平行四边形是菱形，则，作，因为平面平面，所以平面，则，过作的平行线，与交于点G，则，又，则平面，在AB上取一点H，作，分别交线段AC，A1B1上于点E，F，易得平面，平面，又，所以平面平面，则平面HEF，所以，因为点H有无数个，所以有无数条直线EF，使得EF⊥A1C，故A错误．
如图所示：
若，则是正三角形，设是中点，与重合，则，且四边形的面积为．∵平面平面，∴平面，∴平面．∵平面，∴当不是中点，或不与重合时，线段的长度将增加，四边形的面积不再等于．故B正确．
如图所示：
若，设是中点，记中点为，则．由结论B知，∴平面．由于，，即，∴直线与确定的平面就是平面．∴为线段上任意一点，都有，故C正确．
如图所示：
设是中点，是中点，记中点为，则，．又，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，．根据结论C，，∴，∴平行四边形的面积为，即四边形的面积为．所以D正确．
故选：BCD
12．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某一翻折位置，使得
B．当面平面时，二面角的正切值为
C．四棱锥的体积的最大值为
D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值
【答案】BCD
【分析】过D作，交分别于O，R，证明平面即可推理判断A；
作出二面角的平面角，计算判断B；求出点P到平面的最大距离计算
判断C；取AB中点K，证明即可推理判断D作答.
【详解】在正方形中，过D作，交分别于O，R，令，如图，
有，则，即是BC中点，
在翻折到的过程中，，，则平面，如图，
若存在某一翻折位置，使得，而，平面，
则平面，而平面平面，
与过一点有且只有一个平面垂直于已知平面矛盾，即在翻折中AM，PB不垂直，A不正确；
当平面平面时，因，平面平面，平面，
则有平面，又平面，有，在平面内过O作于Q，连PQ，
，平面，则平面，可得，是二面角的平面角，
显然，而，，
所以，B正确；
梯形的面积，当且仅当平面平面，即平面时，
点P到平面的距离最大，四棱锥的体积的最大值，最大体积为，C正确；
取AB中点K，连接CK，CN，KN，则有，且，而，
即四边形是平行四边形，，显然与同方向，
由等角定理知，在中，边均为定值，夹角也为定值，
由余弦定理知，CN长为定值，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
【答案】##
【分析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值.
【详解】
复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为，
连接，则平面，
故为AD与平面ABC所成角，而，
故为AD与平面ABC所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，，平面PAD⊥平面ABCD，，且直线PB与CD所成角的正切值为，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为___________.
【答案】##
【分析】取AD中点为E，连接PE、BE﹒由AB∥CD可知∠ABP为直线PB与CD所成角，tan∠ABP＝，于是可求cs∠ABP，解三角形ABP可得AP长度.以PAD为底面将四棱锥补为三棱柱即可求其外接球球心和半径，从而解得答案.
【详解】取AD中点为E，连接PE、BE，
∵PA＝PD，∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，
设AP＝x，则，，.
∵AB∥CD，∴∠ABP为直线PB与CD所成角，∴tan∠ABP＝，∴cs∠ABP＝，
在△ABP中，根据余弦定理得，，
即，解得，
∴为等边三角形，
设△APD外接圆半径为r，则根据正弦定理得，，
如图所示，将四棱锥补为直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为四棱锥的外接球.
设直三棱柱ADP－BCE上下底面外接圆圆心为、，
则＝AB＝3为直三棱柱的高，
则中点O即为外接球球心，设外接球半径为R，
则如图在Rt△中，，
∴四棱锥P—ABCD外接球的表面积为.
15．有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，；另一块三角板的两条直角边的长均为，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于__．
【答案】或
【分析】根据题意，两块直角三角板有两种放置方式，分情况求解即可.
【详解】解：有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，，
另一块三角板的两条直角边的长均为，
这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，有两种放置方式：
第一种：
如图一： 直角中，， ，，为直角三角形，不重合的两个顶点间的距离；
第二种：
如图二：直角中，，，，
不重合的两个顶点间的距离．
综上，不重合的两个顶点间的距离等于2或．
故答案为：2或．
16．在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.
【答案】##
【分析】先通过始终是等腰直角三角形确定动点的轨迹是一段圆弧，再结合垂直关系证明圆弧对应的圆心角为，即可求出动点的轨迹长度.
【详解】
如图，设的中点为，绕旋转，此时平面平面，取中点，中点，中点，
连接.
，，和是等腰直角三角形，
且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，又面，
面，面，同理面，又，面面，又平面平面，
故面面，又面面，，故面，又面，，
故动点形成的轨迹长度为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
(1)
因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
(2)
因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.
18．（12分）如图(1)是一个水平放置的正三棱柱，D是棱BC的中点，正三棱柱的正视图如图(2)．
(1)求正三棱柱的体积；
(2)证明：∥平面；
(3)题图(1)中垂直于平面的平面有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)平面有三个，分别为平面ABC，平面，平面.
【分析】(1)根据几何关系求出底面正三角形边长和面积，根据棱柱体积公式即可计算；
(2)连接交于，连接.根据三角形中位线证明∥即可；
(3)根据三棱柱是直三棱柱即可得到两个底面与侧面垂直，再由AD⊥BC可得AD⊥平面，从而得过AD的平面也满足.
(1)
依题意，在正三棱柱中，，，∴，
∴正三棱柱的体积；
(2)
连接交于，连接.
是正三棱柱的侧面，为矩形，
是的中点，
是的中位线，
∥，又平面，平面，
∥平面；
(3)
题图(1)中垂直于平面的平面有三个，分别为平面，平面，平面.
①∵三棱柱为直三棱柱，则平面⊥平面ABC，平面⊥平面；
②∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，
∵平面∩平面ABC＝BC，平面⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴AD⊥平面，∵AD平面，∴平面⊥平面.
19．（12分）已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理得线线垂直，再证明线面垂直从而得面面垂直；
（2）利用等体积法可求解.
(1)
在中，，，，
由余弦定理得，所以，
由勾股定理知．折叠后，则有，，
因为，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
(2)
设点到平面的距离为，则由知：，
，
∴由，
知：，
．
20．（12分）如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据二面角和线面角的定义，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可.
(1)
设点在面内的射影为点，由知，又为直角三角形，故点为线段的中点，则面，又平面，
平面平面；
(2)
过点作的平行线交于点，则，连接，
因为面，面，
所以平面，所以面，
而面，
所以 ，所以即为二面角的平面角，故，
，则，，，
过点作于，连接，
由面面，
因为平面平面，，平面，
所以面，
即为直线与平面所成角，.
21．（12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直线与平面位置关系，把问题转化为全等三角形问题即可证明；
（2）用等面积法建立二面角与线面角关系，当线面角满足正弦最大时，即可求二面角大小．
(1)
证明：分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，
从而可得；
(2)
解：由（1）知，是二面角的平面角，设，，
在中，，
过点作于，则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．
22．（12分）如图所示，已知平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形.，F为CD的中点.
(1)证明：AF∥平面BCE.
(2)证明：平面BCE⊥平面CDE.
(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在.
【分析】(1)取中点，连结，，证明四边形是平行四边形；
(2)证明BM∥AF⊥CD，BM⊥MF即可；
(3)假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.连结，过作，垂足为，连结，则.设PN＝x，表示出其他边，在中，由余弦定理解出x，若x＜MD，则满足题意.
(1)
取中点，连结，，
是的中位线，，，
∵平面ACD，DE平面ACD
∴，又，，，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
∥平面；
(2)
平面，平面，
，四边形是矩形，．
是正三角形，是中点，．
，，
，平面，平面，
平面，平面，
平面平面；
(3)
假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.
连结，过作，垂足为，连结.
由(2)知平面平面，又平面平面＝CE，
∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为BP和平面BCE的夹角，∴.
设，则
，，，
设，由题知∠CED＝45°，则在Rt△EPN中，
在Rt△PBN中，，
∴在中，由余弦定理得：，
，解得，
若P在线段DE上，则PN最长为MD＝，∵，∴满足题意，
上存在一点，使直线和平面所成的角为.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
2．已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AC所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．设直线平面，过平面外一点与，都成30°角的直线有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条
5．过正方体的顶点作平面，使正方形､正方形､正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
7．如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：
①存在点P，使得直线平面ACF；
②存在点P，使得直线平面ACF；
③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.
其中所有真命题的序号（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①③④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
10．两条异面直线与同一平面所成的角可能是（ ）
A．均为锐角B．一个0度，一个90度C．均为0度D．均为90度
11．在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F分别是线段AC，A1B1上的点．下列结论成立的是（ ）
A．若AA1=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥A1C
B．若AA1=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC1A1的面积为
C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BC
D．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BB1C1C的面积为BC·EF
12．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某一翻折位置，使得
B．当面平面时，二面角的正切值为
C．四棱锥的体积的最大值为
D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
14．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，，平面PAD⊥平面ABCD，，且直线PB与CD所成角的正切值为，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为___________.
15．有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，；另一块三角板的两条直角边的长均为，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于__．
16．在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
18．（12分）如图(1)是一个水平放置的正三棱柱，D是棱BC的中点，正三棱柱的正视图如图(2)．
(1)求正三棱柱的体积；
(2)证明：∥平面；
(3)题图(1)中垂直于平面的平面有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)
19．（12分）已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离．
20．（12分）如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
22．（12分）如图所示，已知平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形.，F为CD的中点.
(1)证明：AF∥平面BCE.
(2)证明：平面BCE⊥平面CDE.
(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为
8.6空间直线、平面的垂直-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是
A．，则
B．，则
C．，则
D．，则
【答案】A
【分析】依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可.
【详解】直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为的法向量，
因，故，从而有，A正确.
B、C中可能平行，故B、C错，D中平行、异面、相交都有可能，故D错.
综上，选A.
2．已知互不重合的直线，互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法.
【详解】对于A，如果直线在平面内，则无法得出，故不正确；
对于B，直线只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确；
对于C，，直线有可能在平面内，无法得出，故不正确；
对于D，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确.
故选：D.
3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线AC所成的角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】连接，证得，再在正方体中，得到，结合洗线面垂直的判定定理，证得平面，得到，即可求解.
【详解】连接，设与交于点，
因为为正方形，可得，
在正方体中，平面，可得，
又因为且平面，所以平面，
又由平面，所以，
即异面直线与直线所成的角为.
故选：D.
4．设直线平面，过平面外一点与，都成30°角的直线有（ ）
A．1条B．2条
C．3条D．4条
【答案】B
【分析】根据线面角的定义，结合题意，画出示意图，即可求得结果.
【详解】和成30°角的直线一定是以为顶点的圆锥的母线所在直线，如下所示：
当＝＝30°且∥时，直线，都满足条件．
故选：B.
5．过正方体的顶点作平面，使正方形､正方形､正方形所在平面与平面所成的二面角的平面角相等，则这样的平面可以作（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】由正方体性质可直接判断.
【详解】
如图所示，
由正方形可知，三棱锥为正三棱锥，
所以平面与平面，平面，平面所成角均相等，
所以平面平面，
同理，因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以平面，平面，平面与平面，平面，平面所成角均相等，
所以有4个，
故选：D.
6．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取中点，连接，证明平面，求出P在FC上.将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
【详解】取中点，连接，
由，，可知，则，
∴由知，即.
∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，
∴平面，∵平面，∴，
∵，∴平面，
∵，∴平面，平面，
∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；
∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，
∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，
将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：
将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.
以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，
直线CF方程为，即，
设，则，
∴.
故选：A﹒
7．如图①，在Rt△ABC中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到OA，DE的位置，使，如图②．若F是的中点，点M在线段上运动，则当直线CM与平面DEF所成角最小时，四面体MFCE的体积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】若是中点，连接，易得直线CM与面DEF所成角即为直线CM与面所成角为，利用线面垂直的判定可得面，由线面垂直、面面垂直的判定有面面，即可判断的变化范围，进而确定最小时的位置，再利用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】若是中点，连接，则面DEF即为面，
所以直线CM与面DEF所成角，即为直线CM与面所成角为，
因为，，，则面，
又F是的中点，则F到面的距离为.
因为，，，则面，
又面，则面面，又面，面面，
所以直线CM与面所成角为，即为直线所成角.
又△为等腰直角三角形且，则，
由图知，M在线段上运动过程中，
即直线CM与平面DEF所成角最小时，重合，
此时，四面体MFCE的体积.
故选：A
8．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上.给出下列命题：
①存在点P，使得直线平面ACF；
②存在点P，使得直线平面ACF；
③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是.
其中所有真命题的序号（ ）
A．①③B．①④C．①②④D．①③④
【答案】D
【分析】当点P是线段EF中点时判断①；假定存在点P，使得直线平面ACF，推理导出矛盾
判断②；利用线面角的定义转化列式计算判断③；求出外接圆面积判断④作答.
【详解】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，
在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，
即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；
假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，
在中，，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，
因此，假设是错的，即②不正确；
因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，
于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，
，而，则，
当P与E重合时，，，因此，，③正确；
因平面平面，平面平面，，平面，则平面，
，在中，，显然有，，
由正弦定理得外接圆直径，，
三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，
所以所给命题中正确命题的序号是①③④.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．平面
C．与平面所成角是D．与所成的角等于与所成的角
【答案】AB
【分析】根据空间位置关系的判定即空间角的定义直接判断各选项.
【详解】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；
B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；
C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；
D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；
故选：AB.
10．两条异面直线与同一平面所成的角可能是（ ）
A．均为锐角B．一个0度，一个90度C．均为0度D．均为90度
【答案】ABC
【分析】根据题意，作出适当的立体图形，结合图形一一判断即可.
【详解】根据题意，作正方体，连接与.
对于选项A，由图可知，异面直线和与平面的夹角都为锐角，故A正确；
对于选项B，由图可知，异面直线和与平面的夹角分别为和，故B正确；
对于选项C，由图可知，异面直线和与平面的夹角都为为，故C正确；
对于选项D，由线面垂直的性质，知若两条直线垂直于同一个平面，则两直线平行，故不可能异面，故D错误.
故选：ABC.
11．在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，A1A=A1C．E，F分别是线段AC，A1B1上的点．下列结论成立的是（ ）
A．若AA1=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥A1C
B．若AA1=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC1A1的面积为
C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BC
D．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BB1C1C的面积为BC·EF
【答案】BCD
【分析】A.易知，作，过作的平行线，与交于点F，证得平面，在AB上取一点H，作，得到平面平面，再根据点H有无数个判断； B. 根据是正三角形，设是中点，与重合，则，求得四边形的面积为，再分析不是中点，或不与重合时，线段的长度变化判断；C.根据，设是中点，记中点为，则，再结合B的结论判断； D.设是中点，是中点，记中点为，得到四边形是平行四边形，再结合C的结论判断.
【详解】如图所示：
因为AA1=AC，则平行四边形是菱形，则，作，因为平面平面，所以平面，则，过作的平行线，与交于点G，则，又，则平面，在AB上取一点H，作，分别交线段AC，A1B1上于点E，F，易得平面，平面，又，所以平面平面，则平面HEF，所以，因为点H有无数个，所以有无数条直线EF，使得EF⊥A1C，故A错误．
如图所示：
若，则是正三角形，设是中点，与重合，则，且四边形的面积为．∵平面平面，∴平面，∴平面．∵平面，∴当不是中点，或不与重合时，线段的长度将增加，四边形的面积不再等于．故B正确．
如图所示：
若，设是中点，记中点为，则．由结论B知，∴平面．由于，，即，∴直线与确定的平面就是平面．∴为线段上任意一点，都有，故C正确．
如图所示：
设是中点，是中点，记中点为，则，．又，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，．根据结论C，，∴，∴平行四边形的面积为，即四边形的面积为．所以D正确．
故选：BCD
12．如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某一翻折位置，使得
B．当面平面时，二面角的正切值为
C．四棱锥的体积的最大值为
D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值
【答案】BCD
【分析】过D作，交分别于O，R，证明平面即可推理判断A；
作出二面角的平面角，计算判断B；求出点P到平面的最大距离计算
判断C；取AB中点K，证明即可推理判断D作答.
【详解】在正方形中，过D作，交分别于O，R，令，如图，
有，则，即是BC中点，
在翻折到的过程中，，，则平面，如图，
若存在某一翻折位置，使得，而，平面，
则平面，而平面平面，
与过一点有且只有一个平面垂直于已知平面矛盾，即在翻折中AM，PB不垂直，A不正确；
当平面平面时，因，平面平面，平面，
则有平面，又平面，有，在平面内过O作于Q，连PQ，
，平面，则平面，可得，是二面角的平面角，
显然，而，，
所以，B正确；
梯形的面积，当且仅当平面平面，即平面时，
点P到平面的距离最大，四棱锥的体积的最大值，最大体积为，C正确；
取AB中点K，连接CK，CN，KN，则有，且，而，
即四边形是平行四边形，，显然与同方向，
由等角定理知，在中，边均为定值，夹角也为定值，
由余弦定理知，CN长为定值，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上的四点，BD则在正方体盒子中，AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
【答案】##
【分析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值.
【详解】
复原后的正方体如图所示，设所在面的正方形的余下的一个顶点为，
连接，则平面，
故为AD与平面ABC所成角，而，
故为AD与平面ABC所成角的正弦值为.
故答案为：.
14．已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，，平面PAD⊥平面ABCD，，且直线PB与CD所成角的正切值为，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为___________.
【答案】##
【分析】取AD中点为E，连接PE、BE﹒由AB∥CD可知∠ABP为直线PB与CD所成角，tan∠ABP＝，于是可求cs∠ABP，解三角形ABP可得AP长度.以PAD为底面将四棱锥补为三棱柱即可求其外接球球心和半径，从而解得答案.
【详解】取AD中点为E，连接PE、BE，
∵PA＝PD，∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，
设AP＝x，则，，.
∵AB∥CD，∴∠ABP为直线PB与CD所成角，∴tan∠ABP＝，∴cs∠ABP＝，
在△ABP中，根据余弦定理得，，
即，解得，
∴为等边三角形，
设△APD外接圆半径为r，则根据正弦定理得，，
如图所示，将四棱锥补为直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为四棱锥的外接球.
设直三棱柱ADP－BCE上下底面外接圆圆心为、，
则＝AB＝3为直三棱柱的高，
则中点O即为外接球球心，设外接球半径为R，
则如图在Rt△中，，
∴四棱锥P—ABCD外接球的表面积为.
15．有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，；另一块三角板的两条直角边的长均为，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于__．
【答案】或
【分析】根据题意，两块直角三角板有两种放置方式，分情况求解即可.
【详解】解：有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，，
另一块三角板的两条直角边的长均为，
这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，有两种放置方式：
第一种：
如图一： 直角中，， ，，为直角三角形，不重合的两个顶点间的距离；
第二种：
如图二：直角中，，，，
不重合的两个顶点间的距离．
综上，不重合的两个顶点间的距离等于2或．
故答案为：2或．
16．在矩形中，是的中点，，将沿折起得到，设的中点为，若将绕旋转，则在此过程中动点形成的轨迹长度为___________.
【答案】##
【分析】先通过始终是等腰直角三角形确定动点的轨迹是一段圆弧，再结合垂直关系证明圆弧对应的圆心角为，即可求出动点的轨迹长度.
【详解】
如图，设的中点为，绕旋转，此时平面平面，取中点，中点，中点，
连接.
，，和是等腰直角三角形，
且在旋转过程中保持形状大小不变，故动点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，又面，
面，面，同理面，又，面面，又平面平面，
故面面，又面面，，故面，又面，，
故动点形成的轨迹长度为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
(1)
因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
(2)
因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.
18．（12分）如图(1)是一个水平放置的正三棱柱，D是棱BC的中点，正三棱柱的正视图如图(2)．
(1)求正三棱柱的体积；
(2)证明：∥平面；
(3)题图(1)中垂直于平面的平面有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)平面有三个，分别为平面ABC，平面，平面.
【分析】(1)根据几何关系求出底面正三角形边长和面积，根据棱柱体积公式即可计算；
(2)连接交于，连接.根据三角形中位线证明∥即可；
(3)根据三棱柱是直三棱柱即可得到两个底面与侧面垂直，再由AD⊥BC可得AD⊥平面，从而得过AD的平面也满足.
(1)
依题意，在正三棱柱中，，，∴，
∴正三棱柱的体积；
(2)
连接交于，连接.
是正三棱柱的侧面，为矩形，
是的中点，
是的中位线，
∥，又平面，平面，
∥平面；
(3)
题图(1)中垂直于平面的平面有三个，分别为平面，平面，平面.
①∵三棱柱为直三棱柱，则平面⊥平面ABC，平面⊥平面；
②∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，
∵平面∩平面ABC＝BC，平面⊥平面ABC，AD平面ABC，
∴AD⊥平面，∵AD平面，∴平面⊥平面.
19．（12分）已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理得线线垂直，再证明线面垂直从而得面面垂直；
（2）利用等体积法可求解.
(1)
在中，，，，
由余弦定理得，所以，
由勾股定理知．折叠后，则有，，
因为，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
(2)
设点到平面的距离为，则由知：，
，
∴由，
知：，
．
20．（12分）如图，在三棱锥中，.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据二面角和线面角的定义，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可.
(1)
设点在面内的射影为点，由知，又为直角三角形，故点为线段的中点，则面，又平面，
平面平面；
(2)
过点作的平行线交于点，则，连接，
因为面，面，
所以平面，所以面，
而面，
所以 ，所以即为二面角的平面角，故，
，则，，，
过点作于，连接，
由面面，
因为平面平面，，平面，
所以面，
即为直线与平面所成角，.
21．（12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．
(1)证明：∠PAD＝∠PBC；
(2)当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直线与平面位置关系，把问题转化为全等三角形问题即可证明；
（2）用等面积法建立二面角与线面角关系，当线面角满足正弦最大时，即可求二面角大小．
(1)
证明：分别取，的中点，，连接，，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为垂直平分，所以，
又因为，，所以，
从而可得；
(2)
解：由（1）知，是二面角的平面角，设，，
在中，，
过点作于，则，
因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为，
设直线与平面所成角为，所以，
令，，，
则，
当且仅当，即时，有最大值2，
此时直线与平面所成角为的正弦值最大，
所以当直线与平面所成角的正弦值最大时，二面角的大小为．
22．（12分）如图所示，已知平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形.，F为CD的中点.
(1)证明：AF∥平面BCE.
(2)证明：平面BCE⊥平面CDE.
(3)在DE上是否存在一点P，使直线BP和平面BCE所成的角为
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在.
【分析】(1)取中点，连结，，证明四边形是平行四边形；
(2)证明BM∥AF⊥CD，BM⊥MF即可；
(3)假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.连结，过作，垂足为，连结，则.设PN＝x，表示出其他边，在中，由余弦定理解出x，若x＜MD，则满足题意.
(1)
取中点，连结，，
是的中位线，，，
∵平面ACD，DE平面ACD
∴，又，，，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
∥平面；
(2)
平面，平面，
，四边形是矩形，．
是正三角形，是中点，．
，，
，平面，平面，
平面，平面，
平面平面；
(3)
假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.
连结，过作，垂足为，连结.
由(2)知平面平面，又平面平面＝CE，
∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为BP和平面BCE的夹角，∴.
设，则
，，，
设，由题知∠CED＝45°，则在Rt△EPN中，
在Rt△PBN中，，
∴在中，由余弦定理得：，
，解得，
若P在线段DE上，则PN最长为MD＝，∵，∴满足题意，
上存在一点，使直线和平面所成的角为.
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