高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置授课ppt课件

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1. 掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2. 会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系；3. 能运用直线与圆的位置关系，求解圆的弦长与切线方程.
情境导学：“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句. 它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．从日落这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？它们有哪些位置关系呢？
知识点 1：直线与圆的位置关系
思考：如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？
回顾：在初中，是怎样判断直线与圆的位置关系？
问题 1：已知直线 l：3x + y – 6 = 0 和圆心为 C 的圆：x2 + y2 – 2y – 4 = 0，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
分析：根据初中知识，可通过两种方法判断： ① 直线与圆的公共点个数；② 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小关系；
方法 ①：直线与圆的交点个数：可转化为直线方程与圆方程的解得个数；
因为 Δ = (– 3)2 – 4×1×2 = 1 > 0，所以直线 l 与圆 C 相交，且有两个公共点.
判断直线 l：3x + y – 6 = 0 与圆：x2 + y2 – 2y – 4 = 0 的位置关系.
方法 ②：将圆化为标准形式，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线 l 的距离 d 与半径 r 的比较大小即可；
将圆的方程化为标准形式得：(x – 0)2 + (y – 1)2 = 5，
思考：类比初中的方法，说说用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？ 问题 1 中两种解法的差异是什么？
侧重于“坐标”与“方程”
侧重于图形的几何性质，步骤较简洁
判断直线与圆的位置关系的方法
例 1：已知直线方程 mx – y – m – 1 = 0，圆的方程 x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0. 当 m 为何值时，圆与直线：（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点.
解：代数法、几何法任选一种解答即可.
已知圆的方程可化为 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4，即圆心为 C (2，1)，半径 r = 2；
例 2：若直线 2x – y + 2 = 0 与圆 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 相交，求直线被圆截得的弦长.
解：由圆的方程得：圆心坐标为 (1，2)，半径为 2；
思考：说说如何用代数法求解直线被圆截得的弦长？
知识点 2：圆的弦长与切线方程的求解
例 3：过点 P (2，1) 作圆 O：x2 + y2 = 1 的切线 l，求此切线 l 的方程.
解法 1：由题意可知，切线斜率 k 存在，则切线 l 的方程为： y – 1 = k(x – 2)，即 kx – y + 1 – 2k = 0；
因此，所求切线 l 的方程为 y = 1 或 4x – 3y – 5 = 0.
过点 P (2，1) 作圆 O：x2 + y2 = 1 的切线 l，求此切线 l 的方程.
解法 2：由题意可知，切线斜率 k 存在，则切线 l 的方程为：y – 1 = k(x – 2)；
变式：过点 P (1，2) 作圆 O：x2 + y2 = 1 的切线 l，求此切线 l 的方程.
解：① 当切线 l 的斜率存在时：设切线 l 的方程为：y – 2 = k(x – 1)；
因此，所求切线 l 的方程为 3x – 4y + 5 = 0；
即 kx – y + 2 – k = 0；
综上，切线 l 的方程为 x = 1 或 3x – 4y + 5 = 0.
② 当切线 l 的斜率不存在时：此时直线 x = 1 也符合题意；
2. 过点 P (1，0) 作圆 O：x2 + y2 = 1 的切线 l，求此切线 l 的方程.
解：将点 P 代入圆 O 的方程得：点 P 在圆上，故只有一条切线；
所以，切线 l 的方程为 x = 1.
如图，此时切线 l 的斜率不存在，求得切线为 x = 1；
1. 先判断点 P 与圆的位置关系，求出切线条数：
2. 在求切线的过程中，要注意讨论斜率不存在的情况.