数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置示范课ppt课件
展开学习目标用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a2)+(y-b2)=r2(r>0)的位置关系及判断
例4 一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40km处,港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港,那么它是否会有触礁危险?
分析:先画出示意图,了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离,再根据题意,建立适当的平面直角坐标系,求出暗礁所在区域的边缘圆的方程,以及轮船返港直线方程,利用方程判断直线与圆的位置关系,进而确定轮船是否有触礁危险。
直线与圆的方程的实际应用
解:以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴,建立如图所示直角坐标系为了运算的简便,我们取10km为单位长度,则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0)
∴受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
即3x+4y-12=0
联立直线l与圆O的方程,得
∴直线l与圆O相离,轮船沿直线返港不会有触礁危险
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,如点、直线、圆,把平面几何问题转化为代数问题.(2)通过代数运算,解决代数问题.(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
建立适当的直角坐标系应遵循的三大原则:(1)若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴(2)常选特殊点作为直角坐标系的原点(3)尽量使已知点位于坐标轴上
解决直线与圆的方程的实际应用题的步骤:
已知台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,求B城市处于危险区内的时间.
解:如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系
分析 可将和y-x转化成与直线斜率、截距有关的问题,x2+y2可看成是点(x,y)与点(0,0)距离的平方,然后结合图形求解
直线与圆相切,斜率取得最大、最小值
(2)设y-x=b,则y=x+b,由点到直线的距离公式,得
(3)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方
在原点和圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值
过直线与圆的交点的圆系方程
求过直线2x+y+4=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.
解:设过圆x2+y2+2x-4y+1=0与直线2x+y+4=0的交点的圆系方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0
整理得x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0
要使圆的面积最小,只需半径长r最小
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