数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程示范课课件ppt

这是一份数学选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程示范课课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了圆的一般方程，待定系数法求圆的方程，相关点法求轨迹方程等内容，欢迎下载使用。

1. 理解圆的一般方程及其特点；2. 掌握圆的一般方程和标准方程的互化；3. 会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.
知识点 1：圆的一般方程
问题 1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？
思考：圆的方程是否也有一般式？
问题 2：说出圆 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 4 的圆心坐标、半径并展开该方程.
展开式：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
圆心坐标：(1，– 2)；半径为 2；
思考：若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0，
由于 a，b，r 均为常数，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F，
问题 3：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为： (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1；
因为任意一个点的坐标 (x，y) 都不满足上述方程，即这个方程不表示任何图形；
所以形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.
思考：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (2) 中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
（3）当D2 + E2 – 4F < 0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？
圆的标准方程与圆的一般方程的特点
① 易于看出圆心与半径；② 方程几何特征明显；
① 特殊的二元二次方程；② 方程代数特征明显.
例 1：判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径.
解：可直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数判断；
方法一：(– 4m)2 + (2m)2 – 4(20m – 20) = 16m2 + 4m2 – 80m + 80 = 20(m – 2)2；
判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆.
方法二：原方程可化为(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2，
二元二次方程表示圆的两种判断方法
1. 判断下列方程能否表示圆的方程，若能，请化成圆的标准方程形式.（1）x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0； （2）2x2 + 2y2 – 12x + 4y = 0；
解：直接利用 D2 + E2 – 4F > 0 是否成立来判断即可；
（1）(– 2)2 + 42 – 4×(– 4) = 36 > 0 ；可化为 (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 9；
（2）先将方程二次项系数化为 1 得：x2 + y2 – 6x + 2y = 0 (– 6)2 + 22 = 40 > 0 ；可化为 (x – 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.
例 2：求过三点 O (0，0)，M1 (1，1)，M2 (4，2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①，因为三点都在圆上，所以
所以，所求圆的方程为 x2 + y2 – 8x + 6y = 0；
思考：与课本例2的方法比较，你有什么体会？
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；（2）根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；（3）解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程.
注意：① 若知道或涉及圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单；② 若已知三点求圆的方程，常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
知识点 2：与圆有关的简单的轨迹方程
例 3：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4，3)，端点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
M 的轨迹方程：点M 的坐标 (x，y) 满足的关系式.
分析：点 A 的运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，即点 A 的坐标满足圆的方程 (x + 1)2 + y2 = 4；建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，从而求出点 M 的轨迹方程.
已知B(4，3)，A在圆(x + 1)2 + y2 = 4上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
解：设点 M 的坐标为 (x，y)，点 A 的坐标是 (x0，y0)
又点 B 坐标为 (4，3)，M 线段 AB 的中点，所以
因为点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②，
（1）设动点坐标为 (?，?) (求谁设谁)；（2）用动点坐标把相关点的坐标表示出来；（3）把相关点的坐标代入已知的轨迹方程；（4）整理化简，得到动点的轨迹方程.