人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程图文课件ppt

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程图文课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了圆的标准方程，CMr，ABC三点等内容，欢迎下载使用。

1. 理解圆的定义，掌握圆的标准方程；2. 能根据圆心和半径写出圆的标准方程，判断点与圆的位置关系；3. 会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.
生活情境：观察下列生活中的物体，说说它们抽象出来的平面图形是什么？
知识点 1：圆的标准方程
问题 1：圆的定义是什么？如图平面直角坐标系中，如何才能确定一个圆？
圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合； 定 点 ：圆心 A（确定圆的位置）； 定 长 ：半径 r （确定圆的大小）；
平面直角坐标系中：如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.
问题 2：如图，已知圆心 A 的坐标为 (a，b)，半径为 r，设圆上任意一点 M (x，y)，如何求该圆的方程？
在平面直角坐标系中，⊙A是以下点的集合P = {M| |MA| = r}，
思考：⊙A上的任意一点均满足方程（1）吗？反之，满足方程（1）的点都在圆上吗？
（1）若点M (x，y)在⊙A上，点M 的坐标就满足方程；（2）若点M坐标(x，y)满足方程，则点M与圆心A间的距离为r，故点M在⊙A上；
思考：圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的标准方程是什么？
解：已知圆的标准方程为 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2，
代入圆心和半径得：( x + 3 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 5，
1. 直接说出下列圆的标准方程的圆心坐标和半径：（1）( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9； （2）( x + 5 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 52；（3）( x − 3 ) 2 + ( y + 7 ) 2 = 16； （4） x2 + y2 = 10.
知识点 2：点与圆的位置关系
例 2：求圆心为 A (2，−3)，半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M1 (5，−7)， M2 (−2，−1) 是否在这个圆上.
（根据点的坐标与圆的方程的关系，只要点的坐标满足圆的方程，点就在圆上）
解：将圆心坐标和半径代入圆的标准方程得：( x − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 25，
将点M1 (5，−7)，M2 (−2，−1) 分别代入方程 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25 的左边，得：(5 − 2) 2 + (−7 + 3) 2 = 25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程； (−2 − 2) 2 + (−1 + 3) 2 = 20，左右两边不相等，点M1的坐标不满足圆的方程；
综上，圆的标准方程为 (x − 2) 2 + (y + 3) 2 = 25；点M1在圆上，点M2不在圆上.
|OA| < 2，|OB| > 2，|OC| = 2.
思考：结合上述实例，说说该如何判断点M (x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2 = r2 的位置关系？
点 M (x0，y0) 与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2 = r2 的位置关系：
(x0－a)2 + (y0－b)2 > r2
(x0－a)2 + (y0－b)2 < r2
2. 圆的标准方程为 (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25，试判断下列各点与圆的位置关系. （1）M1 (0，0)； （2）M2 (7，1)； （3）M1 (– 1，2).
解：分别计算各点到圆心 (3，– 2) 的距离 d，再与半径 r = 5 比较即可判断；
（1）d 2 = (0 – 3)2 + (0 + 2)2 = 13 < 25 = r 2，即距离小于半径，故点 M1 在圆内；
（2）d 2 = (7 – 3)2 + (1 + 2)2 = 25 = 25 = r 2 ，即距离等于半径，故点 M1 在圆上；
（3）d 2 = (–1 – 3)2 + (2 + 2)2 = 32 > 25 = r 2 ，即距离大于半径，故点 M1 在圆上.
小结：计算距离时，不用算出具体值，直接代入求出 d 2，再与 r2 比较即可.
知识点 3：多种方法求圆的标准方程
例 3：△ABC的三个顶点分别是 A (5，1)，B (7，-3)，C (2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
分析：不在同一条直线上的三个点可确定一个圆，故△ABC有唯一的外接圆， 显然只要确定了 a，b，r 圆的标准方程就确定了.
已知：A (5，1)，B (7，-3)，C (2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
解：待定系数法：设所求的方程是 (x – a)2＋(y – b)2 = r2 ①
因为 A、B、C 三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①；
上述三式两两相减，可消去 a2、b2、r2，得到关于 a、b 的二元一次方程组，解此方程组得 a = 2，b = – 3，代入 (5 – a)2 + (1 – b)2 = r2，解得 r2 = 25；所以，△ABC的外接圆的标准方程是 (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25.
思考：△ABC的外接圆的圆心是△ABC的外心，即△ABC三边垂直平分线的交点. 根据上述定义，请用几何法求出过三点 A (5，1)，B (7，-3)，C (2，-8) 的△ABC 的外接圆的标准方程.（说出思路即可）
直线 AB、BC 的垂直平分线方程 DM、DN
△ABC 的外接圆的标准方程
例 4：已知圆心为 C 的圆经过 A (1，1)，B (2，-2) 两点，且圆心 C 在直线 l：x – y + 1 = 0 上，请用两种不同的方法求此圆的标准方程.
待定系数法:设圆心C的坐标为 (a，b)，由已知得：a–b+1=0①；
又A，B是圆上两点，所以 |CA| = |CB|，根据两点间距离公式，有
综上，所求圆的标准方程为：(x+3) 2 + (y+2) 2 = 25.
由①② 得：a=-3，b=-2，所以圆心C的坐标为 (-3，-2)；
经过A (1，1)，B (2，-2)两点，且圆心在 x – y + 1 = 0 上的圆的标准方程.
由垂径定理可知，圆心 C 在线段AB垂直平分线上，
综上，所求圆的标准方程为：( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 25.
几何法：如图，设线段AB的中点为D，由A(1，1)，B(2，-2)两点的坐标得：
线段AB的垂直平分线l′的方程为：x – 3y – 3 = 0，