高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列导学案，共8页。学案主要包含了易错警示等内容，欢迎下载使用。

(1)理解数列的an与Sn的关系．
(2)会求等差数列前n项和的最值．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 Sn与an的关系❶
an＝
要点二 等差数列前n项和的最值
1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
2．因为Sn＝n2＋n❷，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
批注❶ 如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为
an＝
批注❷ 用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意的是：n∈N*.
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．( )
(2)对于数列{an}，一定有关系式an＝Sn－Sn－1.( )
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn一定同时存在最大值和最小值．( )
(4)若等差数列{an}的公差d>0，则该数列Sn一定有最小值，d<0，则该数列Sn一定有最大值．( )
2．若数列{an}中，an＝43－3n，则Sn的最大值n＝( )
A．13 B．14
C．15 D．14或15
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a4的值为( )
A．15 B．27
C．37 D．64
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于( )
A．4n－2 B．n2
C．2n＋1 D．2n
5．等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n，则其最小值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 an与Sn的关系的应用
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}是否为等差数列？
方法归纳
已知Sn求an的一般步骤
巩固训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
题型2 等差数列前n项和的最值
例2 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
变式探究1 将本例中“a1>0，S3＝S11”换成“an＝26－2n”，当Sn取最大值时，n的值为________．
变式探究2 将本例中“a1>0，S3＝S11”换为“a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0”，求使Sn>0成立的最大自然数n.
方法归纳
1．在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法
2．寻求正、负项分界点的方法
巩固训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 020>0，S2 021<0，则当n＝________时，Sn最大．
题型3 求数列{|an|}的前n项和
例3 已知等差数列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)Sn为数列{|an|}的前n项和，求Sn.
方法归纳
求数列{|an|}前n项和的方法
(1)一般地，数列{|an|}与数列{an}是两个不相同的数列，只有数列{an}中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列．因此，求数列{|an|}的前n项和时，应先弄清n取什么值时an>0或an<0，去掉绝对值符号后再求和．
(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则有：
①若a1>0，d<0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，从而Tn＝
②若a1<0，d>0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，从而
巩固训练3 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
易错辨析 数列中的最值错误
例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．
解析：方法一 由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0.
构建不等式组即解得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时Sn最大．
方法二 由S11＝S18知，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d.
由于n∈N＋，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大．
方法三 由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大．
答案：14或15
【易错警示】
1．2.3 等差数列的前n项和(2)
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
S1 Sn－Sn－1
要点二
1．最大 最小
2．最小 最大
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N＋，∴n＝14.
答案：B
3．解析：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴a4＝S4－S3＝43－33＝37.
答案：C
4．解析：当n＝1时，S1＝a1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋n－1]＝2n，
因为a1＝2满足an＝2n，
所以an＝2n.
答案：D
5．解析：由Sn＝n2－3n＝－，可知当n＝1或2时，Sn的最小值为－2.
答案：－2
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1]＝－4n＋5，所以数列{an}的通项公式为an＝.
(2)当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列．
巩固训练1 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10，
当n＝1时，a1＝S1＝－8也适合，所以an＝2n－10.
又因为5＜ak＜8，所以5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9，故k＝8.
答案：B
例2 解析：方法一(函数法) 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因为a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．
方法二(通项变号法) 由解法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
答案：7
变式探究1 解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋.
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大．
答案：12或13
变式探究2 解析：∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，
∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列．
∴a2 019>0，a2 020<0.
且|a2 019|>|a2 020|，∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0，
∴S4 038＝>0，
又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0，
∴S4 039＝＜0，
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4 038.
巩固训练2 解析：∵S2020>0，S2 021<0，
∴>0，<0，
∴a1＋a2 020＝a1 010＋a1 011>0，a1＋a2 021＝2a1 011<0，
∴a1 010>0，a1 011<0，
∴当n＝1 010时，Sn最大．
答案：1 010
例3 解析：(1)在等差数列{an}中，由a1＋a4＋a7＝－6得a4＝－2，则，解得或，
而公差d>0，则，d＝＝2，于是得a1＝－8，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－10.
解析：(2)由(1)知an＝2n－10，因此，|an|＝|2n－10|＝，
当1≤n≤5时，Sn＝－a1－a2－…－an＝－×n＝－n2＋9n，
当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋(|a6|＋…＋|an|)
＝(－a1－a2－…－a5)＋(a6＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)
＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a5)＝×n＋40＝n2－9n＋40，
所以Sn＝(n∈N＋)．
巩固训练3 解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－3n＋104.
∵n＝1也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0得n≤34，
即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.
方法一 ①当n≤34时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an
＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝2
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
方法二 ①同方法一．
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)
＝
＝n2－n＋3 502，
故Tn＝出错原因
纠错心得
由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错．
在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项．