2021学年1.2 等差数列示范课课件ppt

这是一份2021学年1.2 等差数列示范课课件ppt，共21页。PPT课件主要包含了教学目标，学科素养，知识回顾，新知探索，拓展提升，归纳总结，SumUp，课后作业等内容，欢迎下载使用。

Retrspective Knwledge
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d ．

等差数列通项公式的性质： 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 如果数列{an}为等差数列，那么an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+）特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap．
New Knwledge explre
数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an = f (n)，因而可以利用函数知识来研究数列的性质．我们先看两个具体例子：
求下列等差数列{an }的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性： （1）a1 =7，d =3； （2）a1 =7，d =－2．
不难求得，等差数列{an }的通项公式分别为∶
 （1） an=3n－2；（2）an=－2n＋9．
上述通项公式可以看成自变量 n 取正整数值的函数，将通项公式中的正整数自变量 n 换成实数自变量x，得到一次函数y=3x－2 和 y=－2x＋9，它们的图象都是直线． 当x取正整数值 n 时，就得到an ，等差数列的图象由直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．如图 1.2-2（1）、（2）所示．
由于一次函数y=3x－2的一次项系数3>0，函数递增，因此数列{3n－2}也递增； 而一次函数y=－2x＋9的一次项系数一2<0，函数递减，因此数列{－2n＋9}也递减．
对于一般的等差数列{an }，其通项公式为an=a1＋(n－1)d ，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到 y = a1＋(x－1)d = dx＋(a1－d)．
当d≠0 时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d )； 当d=0时，y=a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．
当d>0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增； 当d<0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减； 当d=0时，y=a1 为水平方向的直线，数列{an }为常数列．
例4 已知数列{an}的通项公式为a1， an=pn＋q，其中 p，q为常数， 且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗?
解：取数列{an}中任意相邻两项an与an－1(n≥2)， 作差得 an－an－1= (pn＋q)－[p(n－1)＋q] =p， 它是一个与n无关的常数，所以数列{an}一定是等差数列．
注：若 p=0，则an= q，数列{an}是常数列，也是等差数列．
例5 已知（2，－1），（4，－7）是等差数列{an}的图象上的两点．（1）求数列{an}的通项公式；（2）画出数列{an}的图象；（3）判断数列{an}的单调性．
解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 因为（2，－1），（4，－7）是等差数列{an}的图象上的两点， 所以 a2= －1，a4= －7，
 即 a1＋d=－1，a1＋3d=－7， 解得 a1=2，d=－3， 因此，an=a1＋(n－1)d =－3n＋5．
例5 已知（2，－1），（4，－7）是等差数列{an}的图象上的两点．（1）求数列{an}的通项公式； an =－3n＋5（2）画出数列{an}的图象；（3）判断数列{an}的单调性．
解：（2）等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y=－2x＋5上的一系列孤立点，如图
（3）因为公差d =－3 < 0，所以等差数列{an}为递减数列．
例6 已知等差数列{an}满足ap=q，aq=p，(p，q∈N+，p ≠ q)，求ap+q的值．
解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 a1＋(p－1) d=q，a1＋(q－1) d=p， 解得 a1=p＋q－1，d=－1， 因此， ap+q=a1＋(p+q－1) d =(p＋q－1)＋(p+q－1) ×(－1) = 0．
练习 已知（4，19），（7，10）是等差数列{an}的图象上的两点．（1）求数列{an}的通项公式； （2）画出数列{an}的图象；（3）判断数列{an}的单调性．
Expansin And Prmtin
性质 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
证明：记等差数列{an}的公差为d，则 an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d，两式相减，得 an－am= (n－m)d，即 an=am＋(n－m)d ．
解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ap=a1＋(p－1) d=q， ① aq=a1＋(q－1) d=p，② ①－②得 ap－aq=(p－q) d，则 ③ ③式从函数的观点看，等差数列{an}的任意两项的函数值之差与相应自变量之差的比为公差d．于是将ap，aq，与ap+q，aq分别代入③式得 解得ap+q=0．
等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．
当d>0时，直线y=d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增； 当d<0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减； 当d=0时，y=a1为水平方向的直线，数列{an }为常数列．
Hmewrk After Class