数学选择性必修 第一册1.2 等差数列课文ppt课件

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第1章 数 列
1.2.2　等差数列与一次函数
课标要求
1.理解等差数列的通项公式就是一个定义域为正整数的一次函数.2.通过函数的引入增强运用等差数列公式解决问题的能力.3.会用一次函数的知识解决等差数列的相关问题.4.能运用等差数列的性质解决有关问题.
素养要求
1.通过理解等差数列与一次函数的关系，发展学生的数学抽象和直观想象素养.2.通过解决等差数列的相关问题，发展学生的数学运算和逻辑推理素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.等差数列的单调性与图象对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)，当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线，等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点__________组成.
(n，an)
(1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增(如图甲)；(2)当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减(如图乙)；(3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列(如图丙).
2.等差数列通项公式的变形及推广
3.等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝_________.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为______数列.
ap＋aq
和
等差
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为______的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为______的等差数列.(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列.(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为______数列；d<0⇔{an}为______数列；d＝0⇔{an}为常数列.
d
cd
2d
pd1＋qd2
递增
递减
1.思考辨析，判断正误 (1)等差数列的单调性与公差有关.( ) (2)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.( ) 提示　反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不满足a10＝a1＋a9. (3)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.( ) (4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，…也是等差数列. ( ) 提示　反例：设两数列为1，3，5，…；4，6，8，….显然1，4，3，6，5，8，…不是等差数列. (5)若数列{an}为等差数列，则an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N＋.( )
√
×
√
×
√
B
2.在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝(　　) A.－1 B.2 C.4 D.6 解析　由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
C
3.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　) A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 解析　由题意得a1＋a2＋…＋a101＝0， 又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
4.在等差数列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，则a6＝________. 解析　由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.
-1
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
例1 已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (1)求首项a1和公差d； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的增减性. 解　(1)由于an＝2n－1＝1＋2(n－1)， 所以首项a1＝1，公差d＝2. (2)数列{an}的图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点， 如图所示.
(3)由(1)可知d>0，所以数列{an}是递增数列.
训练1 若数列{an}满足a1＝15，3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1<0的k值为________.
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例2 在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式. 解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2. 又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N＋.
题型二　an＝am＋(n－m)d的应用
训练2 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________. 解析　法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
8
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.
＝2×5＋(－2)＝8.
例3 (1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A.32 B.27 C.24 D.16
C
解析　法一　设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.法二　在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
迁移 本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8. 解　法一　∵在等差数列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， ∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450. 解得a5＝90. ∴a2＋a8＝2a5＝180. 法二　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 根据an＝a1＋(n－1)d， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450. ∴a1＋4d＝90. 而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.
训练3 (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
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(2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________.
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解析　法一　由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.
课堂小结
1.两个知识点(1)等差数列与一次函数的关系.(2)等差数列的性质.2.两种常用方法(1)等差数列的常见设法.(2)等差数列实际应用问题的步骤.3.易错点：解题时注意运用相关性质的限制条件.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
A
C
解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为(　　) A.12 B.8 C.6 D.4解析　由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
B
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　)
C
5.等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　) A.10 B.20 C.40 D.2＋log25 解析　因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220， 所以原式＝log2220＝20.
B
4
n2
9.已知数列{an}的首项a1＝3，通项公式为an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，求p，q的值. 解　由a1＝3，得2p＋q＝3.① 因为a1，a4，a5成等差数列，所以2a4＝a1＋a5. 又因为a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q， 所以3＋25p＋5q＝25p＋8q.② 由①②得p＝q＝1.故所求p，q的值都是1.
10.对数列{an}，规定{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N＋).对于k≥2，k∈Z＋，规定{Δkan}为{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an). (1)试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项； (2)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n(n∈N＋)，试判断数列{Δan}，{Δ2an}是否为等差数列. 解　(1)由题意，一个等差数列的一阶差分数列是一个各项均为其公差的常数列.故可得许多一阶差分数列，如1，1，1，1，1，…(答案不唯一，符合题意即可). (2)∵Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2， Δan＋1－Δan＝2，Δa1＝a2－a1＝4. ∴{Δan}是首项为4，公差为2的等差数列. ∴Δan＝2n＋2，∵Δ2an＝Δan＋1－Δan＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2， ∴{Δ2an}是首项为2，公差为0的等差数列.
D
二、能力提升
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.
12.(多选)已知等差数列{an}中，a1＝4，公差为d(d∈N＋)，若2 022是该数列的一项，则公差d不可能是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4
CD
13. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ 解　设某单位需购买电视机n台. 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}， an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；
购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.
14.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________.
12n－1
三、创新拓展
25