高中数学1.2 等差数列备课ppt课件

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1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
在探索等差数列的前n项和公式的过程中，发展学生的数学运算、逻辑推理和数学建模素养.
课前预习教材必备知识探究
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1.数列前n项和的概念把a1＋a2＋…＋an叫作数列{an}的前n项和，记作Sn.a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝__________ (n≥2).
2.等差数列前n项和公式
3.a1，d，n，an，Sn知三求二
4.数列中an与Sn的关系
1.思考辨析，判断正误 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等.( ) 提示　当an＝0时，Sn＝an.
(3)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和.( )
2.在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　)A.12 B.24 C.36 D.48
3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于(　　)A.n B.n2 C.2n＋1 D.2n－1解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又因a1＝1适合an＝2n－1，所以an＝2n－1.
4.在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________，项数n＝________.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
例1 在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.解　(1)法一　由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
(2)利用等差数列的性质解题.
训练1 (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2 020，S6－2S3＝18，则S2 022＝(　　)A.－2 020 B.2 020 C.2 021 D.2 022
(2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
题型二　已知Sn求an
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n(n∈N＋)，试判断数列{an}是不是等差数列.解　∵Sn＝2n2＋3n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝5＝4×1＋1.∴n＝1时，适合an＝4n＋1.∴数列{an}的通项公式是an＝4n＋1.an＋1－an＝4，故数列{an}是等差数列.
训练2 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n＋1，试判断该数列是不是等差数列.解　∵Sn＝2n2＋3n＋1，∴n≥2时，
当n＝1时，a1＝S1＝6≠4×1＋1.
故数列{an}不是等差数列.
例3 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，…a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元.由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
训练3 有30根水泥电线杆，要运往1 000 m远的地方开始安装，在1 000 m处放一根，以后每50 m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？解　如图，假定30根水泥电线杆存放在M处.
a1＝MA＝1 000(m)，a2＝MB＝1 050(m)，a3＝MC＝1 100(m)，a6＝a3＋50×3＝1 250(m)，…，a30＝a3＋150×9(m).由于一辆汽车每次只能装3根，故每运一次只能到a3，a6，a9，…，a30这些地方，这样组成公差为150，首项为1 100的等差数列，令汽车行程为S，则有S＝2(a3＋a6＋…＋a30)＝2[a3＋(a3＋150×1)＋…＋(a3＋150×9)]
答：这辆汽车行程共有35.5 km.
1.推导等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋)，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.3.对于数列的应用题，首先要根据问题将所给的条件转化为数学模型，然后解此数学模型，最后回到应用问题中得出结论.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7＝(　　)A.18 B.21 C.42 D.64
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　)A.2 B.3 C.6 D.7解析　由S2＝a1＋a2＝4及S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝20，得a3＋a4＝16，故(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，即4d＝12，d＝3.
3.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)A.486 B.572C.665 D.765解析　∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4
①×3－②得：(21－15)d＝24，6d＝24，∴d＝4.
5.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋2)2＋t，则t的值为(　　)A.－4 B.－2 C.0 D.2解析　等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，又题干中Sn＝n2＋4n＋4＋t，∴t＝－4.
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.
7.《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算).
8.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n(n∈N＋)，则an＝____________________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2).又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，
9.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，求a9. 解　设等差数列的公差为d，则
解得a1＝3或a1＝－1(舍去).
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝2(n≥2).所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
(2)解　由(1)知，an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N＋).
11.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图象的是(　　 )
解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N＋)，则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A，B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
12.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为_____________________.
解析　a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2，
∴an＝4(n＋1)2.又∵n＝1时，a1满足上式，∴an＝4(n＋1)2(n∈N＋).