高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.2 等差数列课堂教学ppt课件

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Retrspective Knwledge
数列的相关概念∶按照一定顺序排成的一列数叫作数列．数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第 2 项，……，排在第n位的数叫作数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成 a1，a2，…，an，… 简记为{an}．
数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
数列的递推公式：如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
数列的前n项和公式：数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和，常记作Sn，如果Sn与数列{an}的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列{an}的前n项和公式．
New Knwledge explre
在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列：（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位： cm）由大至小可组成数列 25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． ①（2）某住宅小区 2013—2017 年的绿化建设有如下数据： 2013—2017 年各年的绿化覆盖率组成数列 15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%． ②
（3）黄白两种颜色的正六边形按如图1．2-1的规律拼成一系列图案．图案中白色正六边形的个数依次构成数列 6，10，14，……． ③
这些数列有什么共同的特点呢?
研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现：
对于数列①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -0.5；对于数列②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%． 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于2%；对于数列③ 6，10，14，……． 从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 4．
 也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数．

一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．

显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为： an－an-1=d，n≥2 ； an+1－an = an－an-1，n≥2．
数列①、②、③均为等差数列，它们的公差分别为-0.5，2%，4．
若等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得： a2－a1=d ；a3－a2=d ；a4－a3=d ……进而移项可得： a2=a1+d ； a3=a2+d= a1+2d； a4=a3+d= a1+3d ； ……猜想： an=a1+(n－1)d ．
数列的通项公式决定了数列的每一项，也就决定了数列的全部性质，那么我们能否找到等差数列的通项公式呢？
若等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得： a2－a1=d ； a3－a2=d ； a4－a3=d ； …… an－an-1=d，n≥2 ． 把这n－1个式子相加可得： an－a1=(n－1)d ． 由此得到 an=a1＋(n－1)d ．
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
求数列通项公式的一种常用方法．
一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d ．
根据等差数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式．①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21．
 a1=25，d=-0.5，②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%．
 a1=15.8%，d=2%，③ 6，10，14，……． 
 a1=6，d=4，
an=25＋(n－1)×(-0.5)=-0.5＋25.5
an=15.8%＋(n－1)×2%=2n%＋13.8%
an=6＋(n－1)×4=4n＋2
例1 已知数列{an}是等差数列．（1）如果a1=5，a2=2，求公差 d 和 a3；（2）如果a3=5，a2=2，求公差 d 和a1 ．
解：由等差数列的定义，可知（1）公差d = a2－a1=－3，a3 = a2+d =－1．（2）公差d = a3－a2=3，a1 = a2－d =－1．
例2 证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是 2b=a＋c ．
证明：如果a，b，c成等差数列，由等差数列的定义得b－a=c－b， 那么2b=a＋c ． 反过来， 如果2b=a＋c， 那么b－a=c－b， 由等差数列的定义知，a，b，c成等差数列．因此，a，b，c三数成等差数列的充要条件是 2b=a＋c ．
在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M 称为a与b的等差中项． M 为a与b的等差中项 ⟺ 2M =a＋b．
例3 已知等差数列 8，5，2，……. （1）求该数列的第20项．（2）试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．（3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内?
解 记该等差数列为{an}，公差为d， 由a1=8，a2=5，得d=a2－a1=5－8= -3， 所以数列的通项公式是 an=8+(n－1)×(-3)=-3n＋11 ．（1）该数列的第20项 a20=-3×20＋11=-49 ．
例3 已知等差数列 8，5，2，……. （2）试问-121 是不是该等差数列的项? 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．（3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内?
解 记该等差数列为{an}，通项公式是 an=-3n＋11 ．（2）如果-121是这个数列的项，则方程-3n＋11 = -121有正整数解． 解这个方程，得n = 44， 故-121是该等差数列的第 44 项．
例3 已知等差数列 8，5，2，……. （3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内?
解 记该等差数列为{an}，通项公式是 an=-3n＋11 ．（2）解不等式-200 ≤ -3n＋11 ≤0， 因此，该数列位于区间[-200，0]内的项从第 4项起直至第 70 项，共有 67 项．
Expansin And Prmtin
等差数列通项公式的性质
练习1 已知等差数列{an}中，a6=－24，a30=－48，求{an}的通项公式an．
解：记该等差数列{an}的公差为d，则 a6=a1＋(6－1)d=a1＋5d=－24， a30=a1＋(30－1)d=a1＋29d=－48，两式相减，得 a30－a6 = 24d= －24，解得d =－1，a1=－19，所以 an=－19＋(n－1)×(－1)=－n－18 ．
a30－a6 = (30－6)d
an－am = (n－m)d，(n，m∈N+) 成立吗？
性质 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
证明：记等差数列{an}的公差为d，则 an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d，两式相减，得 an－am= (n－m)d，即 an=am＋(n－m)d ．
性质 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q，（n，m，p，q∈N+）那么 an＋ am = ap＋ aq． 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap．
证明：记等差数列{an}的公差为d，则 an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d，所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d，又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
练习2 已知等差数列{an}中，a2＋a6=14，a3=8，求a5．
解：因为等差数列{an}中有a2＋a6=a3＋a5， 又a2＋a6=14，a3=8， 所以14=8＋a5， 所以 a5=6．
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d ．

等差数列通项公式的性质： 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 如果数列{an}为等差数列，那么an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+）特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap．
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