高中湘教版（2019）第1章 数列1.2 等差数列学案

这是一份高中湘教版（2019）第1章 数列1.2 等差数列学案，共5页。

新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 等差数列与一次函数的关系❶
对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)，当d≠0时，是________(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是________．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点________组成．
要点二 等差数列的单调性❷
等差数列{an}的公差为d，
(1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}________；
(2)当d<0时，直线从左至右下降，等差数列{an}________；
(3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为________．
批注❶ 相同点都是关于自变量的一次整式．不同点是定义域的不同，数列中n∈N＋.
批注❷ 等差数列的单调性受公差d的制约．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列的通项公式是关于n的一次函数．( )
(2)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等.( )
(3)等差数列{an}是递增数列，则数列{|an|}也是递增数列．( )
2．已知等差数列{an}的公差为d，若{an}为递增数列，则( )
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3＋k·n，且a1＝1，则该等差数列的公差为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
4．已知数列{an}，对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
5．已知等差数列{an}为递增数列，a2，a4是方程x2－14x＋40＝0的两个根，则a20＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 等差数列的通项公式的函数特征
例1 已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，求ap＋aq的值．
方法归纳
利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，列方程组求解．
巩固训练1 在等差数列{an}中，am＝n，an＝m，则am＋n( )
A．0 B．m
C．n D．m＋n
题型2 等差数列的图象与一次函数的图象
例2 已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图象；
(3)判断这个数列的单调性．
方法归纳
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n，an)为坐标描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
巩固训练2 [2022·山东莱州一中二月考]在数列{an}中，a1＝3，对任意大于1的正整数n，点()在直线x－y－＝0上，那么a5＝( )
A．5 B．5
C．50 D．75
题型3 等差数列的单调性与一次函数的单调性
例3 已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，求实数λ的取值范围．
方法归纳
数列单调性与函数单调性的区别和联系
区别：二者定义不同．函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调．反之不正确，例如f(x)＝，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增．
巩固训练3 在数列{an}中，an＝－3n＋18，则an的最大值为( )
A．15 B．0
C．6 D．不存在
易错辨析 忽视等差数列中的隐含条件致误
例4 已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是( )
A．d>B．d<
C．解析：由题意可得a1＝，且，
即，解得答案：D
【易错警示】
1．2.2 等差数列与一次函数
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
一次函数 直线 (n，an)
要点二
(1)递增 (2)递减 (3)常数列
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)×
2．解析：数列{an}是递增数列，则an＋1－an＝d>0.
答案：A
3．解析：由已知可知3＋k＝1，所以k＝－2，an＝3－2n，即公差d＝－2.
答案：B
4．解析：由题意知：an＝2n＋1，则an＋1－an＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案：A
5．解析：因为a2，a4是方程x2－14x＋40＝0的两个根，所以，或，
又因数列{an}为递增数列，所以，故2d＝a4－a2＝6，d＝3，a1＝1，故an＝3n－2，a20＝58.
答案：58
题型探究·课堂解透
例1 解析：设等差数列通项公式为an＝xn＋y，代入两点的坐标得解得x＝－2，y＝5，即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2(－10＋5)＝－10.
巩固训练1 解析：方法一 构造等差数列{an}使得a1＝2，a2＝1，这里m＝1，n＝2，于是am＋n＝a3＝0，排除B、C、D.
方法二 因为是等差数列且m≠n，所以d≠0，即通项公式是关于n的一次函数，一次函数图象是一条直线，则(n，m)，(m，n)，(m＋n，am＋n)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即＝，得am＋n＝0.
答案：A
例2 解析：(1)d＝＝2，∴an－1＝2(n－1)．即an＝2n－1.
(2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点．图略．
(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．
巩固训练2 解析：∵点()在直线x－y－＝0上，即＝，
又＝，∴{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝n，即an＝3n2，
所以a5＝3×52＝75.
答案：D
例3 解析：方法一 构造一次函数，因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)(*)．设f(n)＝－(2n＋1)，则只需求出f(n)的最大值即可，因为n≥1，显然f(n)有最大值f(1)＝－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
方法二 构造二次函数，设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－，要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)－3.
巩固训练3 解析：an＝－3n＋18对应的函数为y＝－3x＋18，易知它是R上的递减函数，因此可知数列是递减数列，首项最大，所以(an)max＝a1＝15.
答案：A
出错原因
纠错心得
(1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误；
(2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误．
认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件．