数学选择性必修 第一册1.2 等差数列课前预习免费课件ppt

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第1章 数 列
第二课时　等差数列前n项和的性质
课标要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列前n项和的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.
素养要求
通过利用等差数列的前n项和性质的应用与最值的计算，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.等差数列前n项和的性质
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系
3.等差数列前n项和的最值
×
1.思考辨析，判断正误 (1)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn.( ) 提示　当公差为0时，Sn为一次函数.
√
×
(4)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.( )
√
×
B
2.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　依题意得2a6＝4，2a7＝－2，所以a6＝2>0，a7＝－1<0. 又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起，以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6.
C
4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝8，则S6＝________. 解析　由题意知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2(8－4)＝4＋S6－8， 解得S6＝12.
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ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
角度1　等差数列前2n＋1项的和例1 在等差数列{an}中： (1)若a2＋a7＋a12＝24，求S13； (2)若S15＝90，求a8的值. 解　(1)∵a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝24，∴a7＝8.
角度2　两个等差数列对应项之比问题
角度3　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n性质的应用
∴a11＋a100＝－2.
法四　设数列{an}的公差为d，
代入已知数据消去d，解得S110＝－110.
角度4　奇数项和、偶数项和问题
例4 (1)一个等差数列共2 021项，求它的奇数项和与偶数项和之比； (2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 解　(1)等差数列{an}共有1 011个奇数项，1 010个偶数项，
训练1 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　) A.36 B.18 C.72 D.9
A
C
解析　由等差数列前n项和的性质，得
例5 数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2， (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前多少项和最大？ 解　(1)法一(公式法)　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n.
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一(公式法)　令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故数列{an}的前17项大于或等于零.又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
由Sn＝－n2＋33n的图象可知：当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an＜0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大.
解　(1)设数列{an}的公差为d.
故Tn的最小值为T4＝T5＝－5.
例6 若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n. 当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an]
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn
训练3 已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N＋).
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
课堂小结
2.明确{|an|}求和中的易错点：正负交界处判断出错.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A.138 B.135 C.95 D.23
C
2.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A.11或12 B.12 C.13 D.12或13
D
解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列.又a1＝24，d＝－2，
∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大.
3.等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124， an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，∴4(a1＋an)＝280，
B
4.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
B
5.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m为(　　) A.180 B.200 C.210 D.240 解析　法一　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30，70，S3m－100成等差数列. ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
C
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________.
4或5
∴S4＝S5且同时最大.∴n＝4或5.
8.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3·a8的最大值为________.
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当且仅当a3＝4时取等号.
9.设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大时的n的值. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N＋.
所以Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值.
10.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn. 解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an， ∴{an}是等差数列，设公差为d， 又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n. (2)设数列{an}的前n项和为Sn，
∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.
11.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 017，Sk＝ S2 008，则正整数k为(　　) A.2 019 B.2 020 C.2 021 D.2 022
C
二、能力提升
解析　因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性质及S2 012＝S2 017，Sk＝S2 008，
8或9
即n＝8或9时，Tn有最大值；若当且仅当n＝6时，Tn有最大值，
13.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.(2)由(1)知，an＝2n－17，
∴(Sn)min＝－64.Sn>t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，即－64>t.∴t∈(－∞，－64).
14.(多选)在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为Sn(n∈N＋)，则下列命题正确的是(　 　) A.若S3＝S11，则必有S14＝0 B.若S3＝S11，则S7是{Sn}中的最大项 C.若S7>S8，则必有S8>S9 D.若S7>S8，则必有S6>S8
ABC
三、创新拓展