高中湘教版（2019）1.2 等差数列导学案及答案

这是一份高中湘教版（2019）1.2 等差数列导学案及答案，共6页。

新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
要点二 等差数列的前n项和公式
1．Sn＝.
2．Sn＝na1＋d❷.
要点三 等差数列前n项和的性质❸
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等差数列．
2．数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
批注❶ 已知a1和an及项数n，使用此公式．
批注❷ 已知首项a1和公差d及项数n，使用此公式．
批注❸ 熟练运用性质解题，往往能起到事半功倍的效果．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加．( )
(2)知道等差数列的首项、公差与前n项和可求项数n.( )
(3)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．( )
(4)数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，则S2，S4，S6成等差数列．( )
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9等于( )
A.45 B．52 C．108 D．54
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，则a5＝( )
A．10 B．13 C．15 D．18
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝( )
A．28 B．32 C．36 D．40
5．某剧场有20排座位，若后一排比前一排多2个座位，这个剧场共有820个座位，则这个剧场最后一排有________个座位．
题型探究·课堂解透——强化创新性

题型1 等差数列前n项和的基本计算
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
方法归纳
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差数列的性质解题
巩固训练1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11＋7＝2a12，则S25＝( )
A． B．145
C． D．175
(2)在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sm＝－15，则am＝________．
题型2 等差数列前n项和公式的实际应用
例2 某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
方法归纳
(1)解答与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
巩固训练2 [2022·湖南部分重点中学联考]跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要( )
A．16天 B．17天
C．18天 D．19天
题型3 等差数列前n项和性质的应用
例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
方法归纳
等差数列前n项和计算的三种方法
巩固训练3 (1)[2022·重庆十一中月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．
(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 021等于( )
A．2 021 B．－2 021
C．－2 020 D．2 020
易错辨析 混淆等差数列的性质致误
例4 已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________．
解析：由题意知，得
所以S40＝40×＝120.
答案：120
【易错警示】
1．2.3 等差数列的前n项和(1)
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：S9＝＝＝54.
答案：D
3．解析：由题意得解得所以a5＝a1＋4d＝13.
答案：B
4．解析：∵数列{an}为等差数列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，
解得：S12＝36.
答案：C
5．解析：由题意知，剧场各排座位从前到后构成一个公差为2的等差数列{an}，且n＝20，Sn＝820，d＝2，
由Sn＝na1＋d，即820＝20a1＋×2，解得a1＝22，
所以a20＝a1＋(20－1)d＝22＋19×2＝60.
答案：60
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，
∴
解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
巩固训练1 解析：(1)因为等差数列{an}中，a11＋7＝2a12，则a1＋10d＋7＝2(a1＋11d)，即a1＋12d＝7，即a13＝7，所以S25＝＝25a13＝25×7＝175.
(2)∵Sm＝m×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
答案：(1)D (2)－4
例2 解析：(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，
构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，
所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)；
(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：S10＝＝2 200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列，
所以后20天新感染者人数和为T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)，
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人．
巩固训练2 解析：依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程(单位：千米)依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，
设经过n天后他完成健身计划，则8n＋≥200，
整理得n2＋31n－800≥0.
因为函数f(x)＝x2＋31x－800在[1，＋∞)为增函数，且f(16)<0，f(17)>0，
所以n≥17.
答案：B
例3 解析：(1)由等差数列{an}的性质，可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
即30，70，S3m－100成等差数列，所以2×70＝30＋S3m－100，解得S3m＝210.
(2)由等差数列的前n项和的性质，且＝，
可得＝＝＝＝＝.
巩固训练3 解析：(1)因为＝，
所以＝＝＝＝＝2.
(2)∵数列{an}为等差数列，∴数列为等差数列，设其公差为d，
又＝2d＝2，解得：d＝1，又＝a1＝－2 021，
∴＝－2 021＋2 020＝－1，∴S2 021＝－2 021.
答案：(1)C (2)B
出错原因
纠错心得
将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列．
本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40.