高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）精品精练

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一、一次函数模型
1、一次函数为：
2、求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值．
3、解决实际应用问题的一般步骤
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如图：
二、二次函数模型
1、二次函数：形如
2、求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答.
3、解决实际应用问题的注意事项
（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．
（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
（3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
三、幂函数模型
幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)，
在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.
四、分段函数模型
1、分段函数的定义域：对应每一段自变量取值范围的并集．
2、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
题型一 一次函数模型应用
【例1】某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程．
【变式1-1】为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度：
（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？
【变式1-2】夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是（ ）
A．1800米 B．1700米 C．1600米 D．1500米
【变式1-3】据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
题型二 二次函数模型应用
【例2】某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
【变式2-1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求的值；
（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
【变式2-2】如图，有一块半径为R(单位：)的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上.
（1）写出梯形的周长y（单位：）和腰长x（单位：）之间的函数关系式；
（2）求梯形周长的最大值.
【变式2-3】某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
题型三 幂函数模型应用
【例3】某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-2】某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.
（1）求的值；
（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？
题型四 分段函数模型应用
【例4】在一次为期 15 天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐 40 人，已知第 t 日参加比赛的运动员人数 M 与 t 的关系是M(t)＝为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式4-1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
【变式4-2】某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)．
（1）把利润表示为年产量的函数f(x)；
（2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大？
【变式4-3】暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.
（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；
（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？
题型五 对勾函数模型应用
【例5】某工厂拟生产并销售某电子产品m万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x（万元）满足m=x+24（其中，为正常数）。已知生产该产品还需投入成本6(m+1m-12)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4+30m)元/件。
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？
【变式5-1】某公司一年需要一种计算机元件8000个，每个电子元件单价为a元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，每次单价不变，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为件，每个元件的库存费是一年2元．
（1）将公司每年总费用F表示成x的函数；
（2）请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小．
【变式5-2】某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【变式5-3】小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）
（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?第一套
第二套
椅子高度
40.0
37.0
课桌高度
75.0
70.2