高中数学第三章 函数的概念与性质本章综合与测试精品课后测评

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题型一 函数的概念辨析
【例1】下列关于函数与区间的说法正确的是（ ）
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【变式1-2】已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为（ ）
A．f： B．f： C．f： D．f：
【变式1-3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）

A． B． C． D．
【变式1-4】下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
【变式1-5】若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型二 判断是否为同一个函数
【例2】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2-3】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
题型三 求函数的定义域
【例3】函数的定义域为（ ）
A．且 B．或
C． D．且
【变式3-1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【变式3-4】函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【变式3-5】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
题型四 求函数的解析式
【例4】已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【变式4-1】已知二次函数满足，求的解析式；
【变式4-2】若函数，且，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
【变式4-3】设函数，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】若对任意实数，均有，求.
【变式4-5】设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．
题型五 定义法证明函数的单调性
【例5】已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【变式5-1】已知函数，试判断在区间上的单调性，并证明你的结论．
【变式5-2】证明：函数在区间上是增函数.
【变式5-3】已知函数对任意的，，都有，且当时，，判断并证明的单调性；
题型六 利用函数的单调性求参数
【例6】若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是______．
【变式6-1】若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【变式6-2】（多选）函数在上为单调函数，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知函数对于且，都有，则的取值范围为 ______．
题型七 求函数的最值或值域
【例7】求函数，的最大值与最小值.
【变式7-1】的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
题型八 函数奇偶性的判断
【例8】判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【变式8-1】函数的图象关于_________对称．
【变式8-2】判断的奇偶性.
【变式8-3】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
题型九 利用函数的奇偶性求值或求参
【例9】若函数在上为奇函数，则___________.
【变式9-1】若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式9-2】已知函数是偶函数，则a＝______．
【变式9-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【变式9-4】设是定义域为的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-5】设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
题型十 利用函数的奇偶性求解析式
【例10】设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】函数为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】若定义在R上的偶函数和奇函数满足（e为无理数，），则（ ）
A． B． C． D．
题型十一 利用单调性奇偶性解不等式
【例11】定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是__________.
【变式11-2】函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
【变式11-4】已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型十二 利用单调性奇偶性比较大小
【例12】定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-1】已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】已知 对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型十三 利用函数的周期性求值
【例13】已知是R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B． C．255 D．
【变式13-1】已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．2022
【变式13-2】已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式13-3】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则________.
题型十四 抽象函数综合问题
【例4】函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
（3）解关于x的不等式
【变式14-1】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
（1）证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【变式14-2】已知函数对任意，都有，且当时，．
（1）求证：在上是增函数；
（2）若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
（3）在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【变式14-3】设函数的定义域为R，并且满足，且当时，
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）如果，求的取值范围；
题型十五 幂函数的图象性质
【例15】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式15-1】（多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．恒过定点
C．若时，关于轴对称 D．若时，
【变式15-2】图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【变式15-3】当时，幂函数为减函数，则_________．
【变式15-4】已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
【变式15-5】已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
题型十六 简单函数模型的应用
【例16】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【变式16-1】吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【变式16-2】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【变式16-3】随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）