人教版八年级数学上册 专题15.1 分式讲练（原卷版+解析版）

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专题15.1 分式典例体系（本专题83题30页）一、知识点1.分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。2.与分式有关的条件 = 1 \* GB3 ①分式有意义：分母不为0（）  = 2 \* GB3 ②分式无意义：分母为0（） = 3 \* GB3 ③分式值为0：分子为0且分母不为0（）  = 4 \* GB3 ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） = 5 \* GB3 ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或） = 6 \* GB3 ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B）  = 7 \* GB3 ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）3.分式的基本性质（1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。（2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。4.分式的约分1)．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2)．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。3)．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。4)．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.5.分式的通分1)．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。（依据：分式的基本性质！）2)．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.二、考点点拨与训练考点1:分式的定义典例：（2020·河南洛宁·期中）下列各式：，，，中，是分式的共有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据分式的定义，形如，其中A、B为整式，且B中含有字母的式子叫分式，进行判断即可．【详解】解：，，这三个式子分母中都含有字母，因此是分式．故选：C方法或规律点拨本题考查了分式的定义，注意中，π表示圆周率，是常数，所以不是分式，是整式．巩固练习1．（2020·扬州市梅岭中学月考）在代数式中，分式的个数为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解析】的分母中均不含有字母，因此它们是整式，不是分式，分母中含有字母，因此是分式，共2个，故选：A．2．（2020·吉林期末）在代数式中，分式共有( )．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】解：代数式是分式，共3个，故选：B．3．（2020·吉林长春·期末）下列各式是分式的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】A，B，D均为整式，C选项中分母含有字母且值不为0，是分式.4．（2020·河南遂平·期中）下列各式中，属于分式的是（　　）A． B． C． D． 【答案】B【解析】A、虽是分数形式，但分母中不含有字母，不是分式，故选项A错误；B、分母中含有未知量，故B正确；C、分母中不含字母，不是分式，故选项C错误；D、分母中不含字母，因此是整式，不是分式，故选项D错误．故选：B．5．（2020·南阳市油田教育教学研究室期末）下列式子中是分式的是( )A． B． C． D．【答案】C【解析】、、的分母中不含有字母，属于整式，的分母中含有字母，属于分式．故选C．6．（2020·四川巴州·期末）在式子、、、、中，分式有（ ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】式子、、中的分母中不含有字母，是整式，不属于分式， 式子、中的分母中含有字母，属于分式，共有2个．故选：B．7．（2020·四川南江·期末）下列各式，，，，，中，是分式的有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】解：，，，，，中，是分式的有， ，， ，共计4个．故选：D．8．（2020·山东青州·期中）在式子，，，，，中，分式的个数有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】解：根据分式的定义，是分式，其它的都不是分式，故选B．9．（2020·广西平桂·期末）下列式子中，属于分式的是 ( ) ．A． B． C． D．【答案】D【解析】解：是分式；、、是整式；故选：D．10．（2020·西藏日喀则·期末）下列各式：，，，，其中分式共有几个（ ）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】、、的分母不含未知数，故不是分式；、符合分式定义，故为分式；故选：B．考点2：分式有（无）意义的条件典例：（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）写出一个分式，使它分别满足下列条件：（1）当时，它没有意义． （2）当时，它有意义．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）当时，分母为0，分式无意义，故分式可以为；（2）当时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为．方法或规律点拨本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义．巩固练习1．（2020·河北灵寿·期末）若分式有意义，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵分式有意义，∴，即：，故选A．2．（2022·河北南宫·期末）若分式有意义，的值可以是（ ）A．1 B．0 C．2 D．－2【答案】C【解析】由题意知：，解得：，，，故选：C．3．（2020·山东青州·期中）若分式无意义,则x的值是( )A．0 B．1 C．-1 D．【答案】D【解析】根据题意得，|x|-1≠0，所以x≠±1，故选D.4．（2020·河南唐河·初二期末）下列说法错误的是（ ）A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0【答案】C【解析】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；B选项当，即时，分式无意义，故B正确；C选项当，即时，分式有意义，故C错误；D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.故选C.5．（2020·全国其他）要使分式有意义，则应满足的条件是___．【答案】x≠1【解析】解：当1-x≠0时，分式有意义，即当x≠1时，分式有意义．.故答案为x≠1．6．（2020·吉林期末）要使分式有意义，则x的取值范围为_____．【答案】x≠﹣2【解析】由题意可知：x+2≠0，∴x≠﹣2，故答案为x≠﹣2.7．（2020·广西百色·期末）要使式子有意义，则的取值范围为________．【答案】【解析】解：由题意得，x-2020≠0，解得：x≠2020．故答案为：x≠2020．8．（2020·广西平桂·期末）若分式无意义，则实数x的值是 ．【答案】2.【解析】根据题意得：x-2=0，即x=2．9．（2020·安徽泗县·初二期末）当______时，分式无意义．【答案】【解析】由题意得3x-4=0，解得：x=，故答案为：=．10．（2020·全国初二课时练习）若分式无意义，则的值等于_____．【答案】【解析】分式无意义，则．解得，．故答案是．考点3：分式的值为零典例：（2020·衡阳县井头镇大云中学期末）若分式的值为零，则x=______．【答案】x=-2【解析】由分式的值为零的条件得x 2-4=0，2x-4≠0， 由x2-4=0，得x=2或x=-2， 由2x-4≠0，得x≠2， 综上，得x=-2， 故答案为-2．方法或规律点拨本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握是解题的关键.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．巩固练习1．（2020·辽宁灯塔·期末）若分式的值为零，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由分式的值为零，可得： 且 故选D．2．（2020·河南遂平·期末）若分式的值为零，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由题意可知：且x+2≠0，解得：x=2，故选B．3．（2020·吉林期末）若分式的值为0，则x的值是（　　）A．±3 B．﹣3 C．3 D．0【答案】C【解析】根据题意,得,,即,解得x=3.故选C.4．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校期中）若分式的值为零，则x的值是（　　）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【答案】C【解析】解：∵分式的值为零，∴，解得x＝﹣1．故选：C．5．（2020·黄石经济技术开发区教研室学业考试）使分式的值等于零的x的值是( )A．1或6 B．2或3 C．3 D．2【答案】C【解析】由题意得x2-5x+6=0且x-2≠0，解之得x=3.故选C.6．（2020·四川郫都·期末）若分式的值为0，则x的值为（　　）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1【答案】B【解析】∵分式的值为零，∴，解得：x=1，故选B．7．（2022·广西玉林·期末）若分式的值为零，则x的值为________．【答案】1【解析】根据题意，得|x|-1=0，且x+1≠0，解得x=1．8．（2020·扬州市梅岭中学月考）当x＝_____时，分式的值为0．【答案】1【解析】∵分式的值为0，∴，解得：．故答案为：1．9．（2020·安徽临泉·期末）若分式的值为0，则x的值是_________．【答案】2．【解析】∵分式的值为0，∴x2﹣2x＝0，且x≠0，解得：x＝2．故答案为2．10．（2021·四川简阳·月考）使分式 的值等于零的x是 ．【答案】6．【解析】分式 的值等于 解得：故答案为11．（2020·北京海淀·人大附中月考）当_____时，代数式的值为．【答案】【解析】∵代数式的值为，∴，解得：；故答案是2．考点4：根据分式值的符号求字母参数的范围典例：（2020·北京市通州区第二中学初一月考）分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式＞0时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组：①或②解不等式组①，得x＞3，解不等式组②，得x＜－.所以原分式不等式的解集为x＞3或x＜－ .请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式＜0.【答案】