高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第二课时学案，共8页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】 (1)掌握y＝sin x，y＝cs x的单调性，并能利用单调性比较大小．(2)会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cs (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的单调区间．(3)掌握y＝sin x，y＝cs x的最大值与最小值，并会求简单函数的值域和最值．
题型 1正弦函数、余弦函数的单调性
【问题探究1】 (1)观察正弦函数y＝sin x，x∈[－，]的图象，正弦函数在区间[－]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)观察余弦函数y＝cs x，x∈[－π，π]的图象，余弦函数在区间[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
例1 求函数f(x)＝2sin (2x－)的单调区间．
一题多变 将函数改为f(x)＝2sin (－2x)，结果如何？
题后师说
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略
跟踪训练1 (1)函数y＝3sin 的一个递减区间是( )
A． B．
C．D．
(2)求函数y＝cs 的单调区间．
题型 2利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin 3，sin 4；
(2)cs 2，cs 3；
(3)sin ，cs .
题后师说
利用单调性比较三角函数值大小的步骤
跟踪训练2 下列各式中正确的是( )
A．sin B．cs 2C．cs (－)>cs (－)
D．sin (－)题型 3正弦函数、余弦函数的最值(值域)
【问题探究2】 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．
正弦曲线：
余弦曲线：
(1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域是什么？
(2)当x取何值时，正弦函数y＝sin x，x∈R分别取得最大值1和最小值－1?
例3 (1)函数f(x)＝sin (2x＋)在(－)上的值域为( )
A．(0，1] B．(－，0)
C．(－，1] D．[－1，1]
(2)求函数f(x)＝2cs (2x－)，x∈R取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值．
学霸笔记：三角函数的值域(最值)问题的求解方法
(1)形如y＝A sin x(或y＝A cs x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论．
(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cs (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cs (ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．
(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝A sin x(或y＝A cs x)型的函数求值．
跟踪训练3 求函数f(x)＝3sin (2x＋)在[0，]上的值域．
随堂练习
1.设a＝sin 33°，b＝sin 35°，c＝cs 40°，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
2．函数y＝cs x和y＝sin x都是增函数的区间是( )
A．[，π] B．[0，]
C．[－，0] D．[－π，－]
3．函数y＝1＋2sin x，x∈[－]的值域是( )
A．[－1，1] B．[0，1]
C．[] D．[0，2]
4．函数f(x)＝2cs (－2x)的递增区间为________________．
课堂小结
1.熟记正、余弦函数的单调区间；正、余弦函数的最值及取最值时自变量x的值．
2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间的一般步骤．
3．利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小．
4．求三角函数最值(值域)常用方法．
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
问题探究1 提示：(1)观察图象可知，当x∈[－]时，曲线逐渐上升，可知y＝sin x在区间[－]上单调递增，sin x的值由－1增大到1；当x∈[]时，曲线逐渐下降，可知y＝sin x在区间[]上单调递减，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得，
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x，x∈R单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sin x，x∈R单调递减，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知，当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数y＝cs x在区间[－π，0]上单调递增，cs x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数y＝cs x在区间[0，π]上单调递减，cs x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得，
当 ∈[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cs x单调递增，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cs x单调递减，函数值由1减小到－1.
例1 解析：因为f(x)的单调递增区间满足
－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因为f(x)的单调递减区间满足
＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
一题多变 解析：f(x)＝2sin (－2x)＝－2sin (2x－)
所以f(x)的单调递增区间满足＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递增区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
因为f(x)的单调递减区间满足－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即单调递减区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
跟踪训练1 解析：(1)对于函数y＝3sin (x＋)，令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，求得2kπ＋≤x≤2kπ＋，可得函数的减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，
当 k＝0时，可得该函数的一个减区间为[]，故选B.
(2)当－π＋2kπ≤≤2kπ，k∈Z时，
解得－＋4kπ≤x≤－＋4kπ，k∈Z，
故函数的单调递增区间是[－＋4kπ，－＋4kπ]，k∈Z；
令2kπ≤≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
故函数的单调递减区间是，k∈Z.
答案：(1)B (2)见解析
例2 解析：(1)因为0<3<π，π<4<，所以sin 3>0，sin 4<0，故sin 3>sin 4.
(2)因为<2<3<π，且y＝cs x在(，π)上单调递减，故cs 2>cs 3；
(3)sin ＝sin (＋π)＝－sin ，
cs ＝cs (＋π)＝－cs ＝－sin ，
因为0<<<，且y＝sin x在(0，)上单调递增，
所以sin －sin ，故sin >cs .
跟踪训练2 解析：由于y＝sin x在(0，)上递增，
所以sin ＝sin (π－)＝sin >sin ，A选项错误．
由于y＝cs x在(，π)上递减，
所以cs 2>cs 3，B选项错误．
cs (－)＝cs ＝cs (4π＋)＝cs >0，
cs (－)＝cs ＝(4π＋)＝cs <0，
所以cs (－)>cs (－)，C选项正确．
y＝sin x在(－，0)上递增，
所以sin (－)>sin (－)，D选项错误．故选C.
答案：C
问题探究2 提示：(1)[－1，1]
(2)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－1.
例3 解析：(1)当x∈(－)时，2x＋∈(－，π)，当2x＋＝时，即x＝时，f(x)＝sin (2x＋)取最大值1，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)＝sin (2x＋)取最小值大于－，故值域为(－，1].故选C.
(2)对于函数f(x)＝2cs (2x－)，x∈R，
当2x－＝2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最大值2；
当2x－＝π＋2kπ，k∈Z，即x∈{x|x＝＋kπ，k∈Z}时，函数f(x)取得最小值－2.
答案：(1)C (2)见解析
跟踪训练3 解析：令t＝2x＋，由0≤x≤可得≤t≤，
又因为函数y＝sin t在[]单调递增，在(]单调递减，
所以y＝sin t在t＝时有最大值1，
又sin ＝sin ＝，
所以sin t∈[，1]，所以函数f(x)在[0，]上的值域为[，3].
[随堂练习]
1．解析：因为函数y＝sin x在(0，)上单调递增，又c＝cs 40°＝sin 50°，且50°>35°>33°，则sin 50°>sin 35°>sin 33°，即c>b>a.故选C.
答案：C
2．解析：函数y＝cs x和y＝sin x在[－π，π]上的图象如图所示，
则由图象可知C选项符合题意，故选C.
答案：C
3．解析：∵－≤x≤，∴－≤sin x≤，∴0≤1＋2sin x≤2，所以函数的值域为[0，2].故选D.
答案：D
4．解析：因为f(x)＝2cs (－2x)＝2cs (2x－)，
令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
答案：[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z