数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案及答案

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，问题探究1，问题探究2，问题探究3等内容，欢迎下载使用。


题型 1周期函数的周期性与奇偶性
【问题探究1】 (1)正切函数的定义域是什么？
(2)诱导公式tan (π＋x)＝tan x，说明了正切函数的什么性质？
(3)诱导公式tan (－x)＝－tan x，说明了正切函数的什么性质？
例1 (1)函数y＝2tan (3x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
B．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
C．{x|x≠，k∈Z}
D．{x|x≠，k∈Z}
(2)函数f(x)＝2tan ()的最小正周期为( )
A． B．π C．2π D．4π
(3)函数f(x)＝( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题后师说
1．求与正切函数有关的函数定义域的方法
除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
2．求与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
跟踪训练1 (1)函数y＝3tan (ωx＋)的最小正周期是，则ω＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．2或－2
(2)函数y＝tan (2x＋)的定义域是____________．
题型 2正切函数的图象
【问题探究2】 如何画出函数y＝tan x的图象？
例2 (1)函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan |x|在(－)上的大致图象依次是________(填序号)．
(2)借助正切函数的图象，不等式|tan x|≤的解集是____________________．
学霸笔记：正确画出正切函数y＝tan x，x∈(－)的简图是解题的关键．
跟踪训练2 (1)与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
(2)在(0，π)内，使tan x>－成立的x的取值范围为( )
A．()
B．(0，，π)
C．(0，)
D．(0，)
题型 3正切函数的单调性与值域
【问题探究3】 观察正切曲线，写出正切函数的单调区间及值域．
例3 (1)比较大小：tan ________tan .
(2)求函数y＝3tan ()的单调区间．
一题多变 将本例(2)中的函数改为y＝3tan ()，其单调区间如何？
题后师说
(1)利用正切函数单调性比较大小的步骤
(2)求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的策略
跟踪训练3 若有函数f(x)＝tan (x＋)，
(1)写出函数的单调区间；
(2)比较f(－1)、f(0)、f(1)的大小．
随堂练习
1.y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为( )
A．π B．
C． D．
2．函数f(x)＝tan (x＋)的单调区间是( )
A．(－＋2k，＋2k)(k∈Z)
B．[－＋2k，＋2k](k∈Z)
C．(－＋4k，＋4k)(k∈Z)
D．[－＋4k，＋4k](k∈Z)
3．设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>c>b B．aC．a>b>c D．a4．不等式1＋tan x≥0的解集是________________．
课堂小结
1.正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R.
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝.
(3)正切函数在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．
5．4.3 正切函数的性质与图象
问题探究1 提示：(1){x|x≠kπ＋，k∈Z}
(2)周期性，周期为π
(3)奇偶性，为奇函数
例1 解析：(1)由3x＋≠kπ＋，解得x≠，所以函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}．故选D.
(2)函数f(x)＝2tan ()的最小正周期为＝2π.故选C.
(3)要使f(x)有意义，必须满足
即x≠kπ＋，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，
∴函数f(x)的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)＝是奇函数．故选A.
答案：(1)D (2)C (3)A
跟踪训练1 解析：(1)y＝3tan (ωx＋)的最小正周期是，所以＝，解得ω＝±2.故选D.
(2)函数y＝tan (2x＋)的定义域满足2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠kπ＋，k∈Z，所以函数y＝tan (2x＋)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
答案：(1)D (2){x|x≠kπ＋，k∈Z}
问题探究2 提示：如图，先画出y＝tan x，x∈[0，)内的图象，然后根据正切函数是奇函数，得到关于原点对称的y＝tan x，x∈(－，0)的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈(－)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线．
例2 解析：(1)∵|tan x|≥0，∴图象在x轴上方，∴y＝|tan x|对应①；
∵tan |x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y＝tan |x|对应③；
而y＝tan (－x)与y＝tan x关于y轴对称，∴y＝tan (－x)对应④，
y＝tan x对应②，
故四个图象依次是①②④③.
(2)|tan x|≤，则－≤tan x≤，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：(1)①②④③ (2){x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}
跟踪训练2 解析：(1)由2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，令k＝0，得x＝.所以，函数y＝tan (2x＋)的图象的一条渐近线为直线x＝，即直线x＝与函数y＝tan (2x＋)的图象不相交．故选C.
(2)画出y＝tan x(0由图象可得tan x>－，在(0，π)上解集为(0，，π)，故选B.
答案：(1)C (2)B
问题探究3 提示：单调增区间为(kπ－，kπ＋)(k∈Z)，无减区间 R
例3 解析：(1)根据三角函数的诱导公式，可得tan ＝tan (3π＋)＝tan ，tan ＝tan (3π＋)＝tan ，因为0<<<，且函数y＝tan x在[0，)上为单调递增函数，所以tan (2)由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ∴函数y＝3tan ()的单调递增区间为(－＋4kπ，＋4kπ)，k∈Z，无减区间．
答案：(1)< (2)见解析
一题多变 解析：∵y＝3tan ()＝－3tan ()，
∴－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ∴函数y＝3tan ()的单调递减区间为(－＋4kπ，＋4kπ)，k∈Z，无增区间．
跟踪训练3 解析：(1)由kπ－得函数的单调增区间为(kπ－，kπ＋)，k∈Z，无单调减区间．
(2)f(0)＝tan ＝1>0，
∵－<－1＋<0，0<<，
∴f(－1)＝tan (－1＋)＝－tan <0，
∵<1＋<π，0<<，
∴f(1)＝tan (1＋)＝－tan (π－1－)＝－tan <0，
∵>0，
y＝tan x在(0，)上是增函数，
∴tan >tan ，
∴－tan <－tan ，
即f(1)f(－1)>f(1)．
[随堂练习]
1．解析：函数y＝tan 3x的最小正周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x的图象相交时，相邻两交点间的距离为.故选C.
答案：C
2．解析：由－＋kπ解得x∈(－＋2k，＋2k)，k∈Z，
所以函数f(x)＝tan (x＋)的单调区间是(－＋2k，＋2k)(k∈Z)．故选A.
答案：A
3．解析：由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x>0，在(，π)上单调递增且tan x<0，因为<1<<2<3<π，所以tan 20，所以a>c>b.故选A.
答案：A
4．解析：由题设，tan x≥－1，则解集为{x|kπ－≤x答案：{x|kπ－≤x