人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案，共7页。


授课提示：对应学生用书第95页
[教材提炼]
知识点一 周期性
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
y＝sin x，x∈[0,2π]，与x∈[2π，4π]的图象有什么区别，y＝cs x，x∈[0,2π]，与x∈[2π，4π]的图象有什么区别？
知识梳理 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cs x(x∈R)都是周期函数，最小正周期为2π,2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期．
知识点二 正、余弦函数的奇偶性
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．这个事实，可以直观地看y＝sin x，y＝cs x的什么性质？
知识梳理 正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称；
余弦函数y＝cs x(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称．
[自主检测]
1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案：A
2．函数f(x)＝sin(eq \f(π,2)－x)的是( )
A．周期为2π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的偶函数
D．周期为π的偶函数
答案：C
3．若f(x)＝cs eq \f(x,2)，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C.eq \f(π,2) D．4π
答案：D
4．对于任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)，且f(1)＝2.则f(5)＝________.
答案：2
授课提示：对应学生用书第95页
探究一 求三角函数的周期
[例1] 求下列函数的周期：
(1)y＝sin(2x＋eq \f(π,3))(x∈R)；
(2)y＝|sin x|(x∈R)．
[解析] (1)法一：令z＝2x＋eq \f(π,3)，
∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋eq \f(π,3)＋2π＝2(x＋π)＋eq \f(π,3)，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))(x∈R)的周期是π.
法二：f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))中ω＝2，
∴T＝eq \f(2π,|2|)＝π.
(2)作出y＝|sin x|的图象如图：
由图象知，y＝|sin x|的周期为π.
求函数周期的三种方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
(3)公式法：T＝eq \f(2π,|ω|).
(1)函数f(x)＝1＋|cs x|的最小正周期为________；
(2)函数f(x)＝|1＋sin x|的最小正周期为________．
解析：(1)f(x)＝1＋|cs x|的图象是由y＝|cs x|的图象向上平移1个单位得到，其周期不变．
而y＝|cs x|的周期为π.
∴f(x)＝1＋|cs x|的最小正周期为π.
(2)∵1＋sin x≥0，
∴f(x)＝|1＋sin x|＝1＋sin x．最小正周期为2π.
答案：(1)π (2)2π
探究二 判断三角函数奇偶性
[例2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,2)π))；
(2)f(x)＝eq \r(2sin x－1).
[解析] (1)因为函数的定义域为R，且f(x)＝eq \r(2)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,2)π))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝eq \r(2)cs 2x，
所以f(－x)＝eq \r(2)cs(－2x)＝eq \r(2)cs 2x＝f(x)，
所以函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,2)π))为偶函数．
(2)由2sin x－1≥0，即sin x≥eq \f(1,2)，得函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)，故定义域不关于原点对称，所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cs x；
(2)f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1).
解析：(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cs(－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，
所以此函数是偶函数．
(2)由1－cs x≥0且cs x－1≥0，得cs x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
探究三 周期性与奇偶性的综合问题
[例3] [教材P203练习第4题拓展探究]
(1)已知f(x)＝cs eq \f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
(2)若函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋φ－\f(π,6)))(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝________，最小正周期T＝________.
(3)若f(x)是以2为周期的奇函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))的值．
(4)若函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x－sin x，求当x<0时f(x)的解析式．
[解析] (1)因为f(1)＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
f(2)＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，
f(3)＝cs π＝－1，
f(4)＝cseq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2)，
f(5)＝cs eq \f(5π,3)＝eq \f(1,2)，f(6)＝cs 2π＝1，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
又f(x)的周期为T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝336×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝eq \f(1,2)＋(－eq \f(1,2))＋(－1)＝－1.
(2)因为f(x)为偶函数，所以函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，故当x＝0时函数取得最值，即f(0)＝±2，所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,6)))＝±2，所以φ－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，φ＝eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
又因为0＜φ＜π，所以φ＝eq \f(2π,3).
最小正周期为π.
(3)因为f(x)是以2为周期的函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)－2×2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
又f(x)是奇函数，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))).
又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1.
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝
－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋1))＝0.
(4)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x－sin(－x)＝－x＋sin x.
又f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x－sin x(x<0)．
[答案] (1)－1 (2)eq \f(2π,3) π (3)(4)见解析
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．还可以用T＝eq \f(2π,ω)求周期．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx或y＝Acs ωx其中的一个．
即y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ时为奇函数，当φ＝kπ＋eq \f(π,2)时，为偶函数．
y＝Acs(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋eq \f(π,2)时为奇函数，当φ＝kπ时为偶函数．
授课提示：对应学生用书第97页
1．探究函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期公式．
事实上，令z＝ωx＋φ，那么由x∈R得z∈R，且函数y＝Asin z，z∈R及函数y＝Acs z，z∈R的周期都是2π.
因为z＋2π＝(ωx＋φ)＋2π＝ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,ω)))＋φ，所以，自变量x增加eq \f(2π,ω)，函数值就重复出现；并且增加量小于eq \f(2π,ω)时，函数值不会重复出现．即T＝eq \f(2π,ω)是使等式Asin[ω(x＋T)＋φ]＝Asin(ωx＋φ)，Acs[ω(x＋T)＋φ]＝Acs(ωx＋φ)成立的最小正数，从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acs(ωx＋φ)，x∈R的周期T＝eq \f(2π,ω).
2．函数的奇偶性与对称性的拓展
y＝sin x，(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，也是轴对称图形，其对称轴为x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．y＝cs x也是如此，总结如下
[典例] 如果函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的相邻两个零点之间的距离为eq \f(π,6)，则ω的值为( )
A．3 B．6
C．12 D．24
[解析] 相邻两个零点之间的距离为eq \f(π,6)，则周期T＝2×eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，于是ω＝eq \f(2π,T)＝6.
[答案] B
3．三角函数变形不等价导致奇偶性判断错误
[典例] 函数y＝eq \f(cs x1－sin x,1－sin x)的奇偶性为________．
[解析] 由题意，当sin x≠1时，y＝eq \f(cs x1－sin x,1－sin x)＝cs x.
所以函数的定义域为{x|x≠2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．
[答案] 非奇非偶函数
纠错心得 此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断，一般不把函数式化简，若要化简，应注意化简前后的等价性，如本例，若直接将函数式化为y＝cs x，则易出现判断该函数为偶函数的错误．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
直观想象
逻辑推理
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．
3.掌握函数y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
函数
对称中心
对称轴
y＝sin x
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
y＝cs x
(kπ＋eq \f(π,2)，0)，k∈Z
x＝kπ，k∈Z