高中数学5.4 三角函数的图象与性质第1课时巩固练习

这是一份高中数学5.4 三角函数的图象与性质第1课时巩固练习，共3页。试卷主要包含了函数f=cs的最小正周期是，函数f=x+sin x,x∈R，下列函数中,周期为2π的是等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.函数f(x)=cs(2x-)的最小正周期是( )
A.B.πC.2πD.4π
答案B
解析所求最小正周期T==π,故B正确.
2.函数f(x)=2|sin x|的最小正周期为( )
A.2πB.C.πD.
答案C
解析∵sin(x+π)=-sinx,|sinx|=|-sinx|,
∴f(x+π)=f(x),∴函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为π.故选C.
3.函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
答案A
解析由x∈R,f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x),可知f(x)是奇函数.
4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是( )
A.y=csB.y=cs(x+π)
C.y=|cs|D.y=|cs 2x|
答案BC
解析y=cs的周期T==4π;
y=cs(x+π)的周期T=2π;
y=|cs|的周期T=2π;
y=|cs2x|的周期T=.故选BC.
5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.1B.-1C.0D.2
答案B
解析f=f=f=-f=-1.
6.已知函数f(x)=cs(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( )
A.关于点对称B.关于直线x=对称
C.关于点对称D.关于直线x=对称
答案A
解析由已知可得ω==2,所以f(x)=cs.
因为f=0,所以点是该函数图象的对称中心,所以A中说法正确,B中说法错误;
因为f≠0,所以点不是该函数图象的对称中心,所以C中说法错误;
因为f=-≠±1,所以直线x=不是该函数图象的对称轴,所以D中说法错误.故选A.
7.若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为 .
答案
解析要使g(x)=sin为偶函数,则须+α=kπ+,k∈Z.
所以α=kπ+,k∈Z.
因为0<α<,所以α=.
8.已知函数f(x)=2cs(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .
答案2
解析因为=π(ω>0),所以ω=2.
9.判断函数f(x)=cs(2π-x)-x3sinx的奇偶性.
解f(x)=cs(2π-x)-x3sinx=csx-x3sin的定义域为R,f(-x)=cs(-x)-(-x)3sin(-)=csx-x3sin=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x-sin x,求当x<0时,f(x)的解析式.
解当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=x-sinx(x<0).
能力提升
1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是( )
A.B.πC.D.-
答案ACD
解析因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=+kπ,k∈Z,结合选项可知,A,C,D均符合,B不符合.故选ACD.
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,点是函数f(x)图象的一个对称中心,则( )
A.ω=4k+1(k∈N)B.ω=4k+3(k∈N)
C.ω=2k+1(k∈N)D.ω=2k(k∈N*)
答案C
解析∵直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,
∴-ω+φ=k1π-(k1∈Z).①
又点是函数f(x)图象的一个对称中心,
∴ω+φ=k2π(k2∈Z).②
∴②-①得,ω=2(k2-k1)+1.
∵k1,k2∈Z,ω>0,∴ω=2k+1(k∈N).故选C.
3.若函数f(x)=cs(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω的值为( )
A.3B.6C.12D.24
答案B
解析函数f(x)=cs(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以最小正周期T=2×.
由,解得ω=6.
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= .
答案sin πx(答案不唯一)
解析由函数是奇函数,可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)=Asinωx(Aω≠0),满足f(-x)=-Asinωx=-f(x),即是奇函数;根据最小正周期T==2,可得|ω|=π.
故函数可以是f(x)=sinπx(答案不唯一).
5.已知函数f(x)=cs(),则f(x)的最小正周期是 ;f(x)图象的对称中心是 .
答案4π (2kπ+,0),k∈Z
解析由f(x)=cs(),得T==4π;
令=kπ+,k∈Z,求得x=2kπ+,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是(2kπ+,0),k∈Z.
6.已知函数f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)求函数y=f图象的对称轴;
(3)当x∈时,方程f(x)=m有两个不同的实根,求m的取值范围.
解(1)f(x)=2sin(0<φ<π,ω>0)是偶函数,则φ-+kπ(k∈Z),
解得φ=+kπ(k∈Z),
又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin=2csωx.
由题意得=2×(ω>0),所以ω=2.
故f(x)=2cs2x,因此f=2cs.
(2)由f(x)=2cs2x,
得y=f=2cs(2x+),
令2x+=kπ,k∈Z,即x=,k∈Z,
所以函数y=f图象的对称轴为直线x=,k∈Z.
(3)若方程f(x)=m有两个不同的实根,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.对函数y=f(x)=2cs2x,x∈(0,],令t=2x,t∈,则y=2cst,t∈的图象与直线y=m有两个不同的交点,由图象(图略)知-27.已知函数f(n)=sin,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)的值.
解由题意可知,函数f(n)的周期T==8,
又f(1)=sin,f(2)=sin=1,f(3)=sin,f(4)=sinπ=0,
f(5)=sin=-,f(6)=sin=-1,f(7)=sin=-,f(8)=sin2π=0,
∴f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
又2024=253×8,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=253×[f(1)+f(2)+…+f(8)]=0.