
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高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式第2课时课时作业
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这是一份高中人教A版 (2019)5.3 诱导公式第2课时课时作业,共4页。试卷主要包含了已知sin θ=,则cs的值是,下列与cs的值相等的是,已知cs,则sin的值为,若f=3-sincs,则f=,化简sincstan的结果是,化简,已知函数f=等内容,欢迎下载使用。
基础巩固
1.已知sin θ=,则cs(450°+θ)的值是( )
A.B.-C.-D.
答案B
解析cs(450°+θ)=cs(90°+θ)=-sinθ=-.
2.(多选题)下列与cs的值相等的是( )
A.sin(π-θ)B.sin(π+θ)
C.csD.cs
答案BD
解析cs=cs=-cs(-θ)=-sinθ,而sin(π-θ)=sinθ,sin(π+θ)=-sinθ,
cs=sinθ,cs=-sinθ,
故选BD.
3.已知cs,则sin的值为( )
A.B.-C.D.-
答案C
解析sin=sin=cs(-α)=cs.
4.若f(x)=3-sincs,则f=( )
A.B.C.D.
答案B
解析∵f(x)=3-sincs=3+csxsinx,
∴f=3+cssin=3+.
5.化简sincstan的结果是( )
A.1B.sin2αC.-cs2αD.-1
答案C
解析因为sin=csα,cs=cs[π+(-α)]=-sinα,
tan,
所以原式=csα(-sinα)·=-cs2α.
故选C.
6.已知cs(75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cs(15°-α)= .
答案-
解析因为cs(75°+α)=,且-180°<α<-90°,所以sin(75°+α)=-,故cs(15°-α)=cs[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-.
7.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cs 2),则α等于 .
答案2-
解析csα==sin2,
∵α为锐角,且csα=sin,
∴α=2-.
8.化简:= .
答案-1
解析原式==-1.
9.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且角α为第三象限角,求
的值.
解因为5x2-7x-6=0的两根分别为x1=2,x2=-,
所以sinα=-.
又角α为第三象限角,
所以csα=-=-.
所以tanα=.
故原式==tanα=.
10.已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)·f=-,且≤α≤,求f(α)+f的值;
(3)若f=2f(α),求f(α)·fα+的值.
解(1)f(α)==-csα.
(2)f=-cs=sinα,因为f(α)f=-,所以csαsinα=,可得(sinα-csα)2=,由≤α≤,得csα≥sinα,所以f(α)+f=sinα-csα=-.
(3)由(2)得f=sinα,又f=2f(α),即为sinα=-2csα,联立sin2α+cs2α=1,解得cs2α=,所以f(α)·f=-sinαcsα=2cs2α=.
能力提升
1.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是( )
A.cs(A+B)=cs CB.sin(A+B)=-sin C
C.cs=sin BD.sin=cs
答案D
解析∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cs(A+B)=-csC,sin(A+B)=sinC,故A,B项中等式不成立;∵A+C=π-B,∴,∴cs=cs=sin,故C项中等式不成立;∵B+C=π-A,∴sin=sin=cs,故D项中等式成立.
2.若sin(π+α)+cs=-m,则cs+2sin(2π-α)的值为( )
A.-B.C.-D.
答案C
解析∵sin(π+α)+cs=-sinα-sinα=-m,∴sinα=.∴cs+2sin(2π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-.
3.若f(sin x)=3-cs 2x,则f(cs x)=( )
A.3-cs 2xB.3-sin 2x
C.3+cs 2xD.3+sin 2x
答案C
解析f(csx)=f[sin(-x)]=3-cs(π-2x)=3+cs2x.
4.(多选题)定义:角θ与角φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β=B.cs(π+β)=
C.tan β=D.tan β=
答案AC
解析因为sin(π+α)=-sinα=-,所以sinα=.
若角β与角α“广义互余”,则β+α=,
所以β=-α.
所以sinβ=sin=csα=±=±,
csβ=cs=sinα=,
cs(π+β)=-csβ=-,
tanβ==±,
所以选项AC符合条件.故选AC.
5.已知tan(3π+α)=2,则= .
答案2
解析∵tan(3π+α)=2,∴tanα=2,
∴原式==2.
6.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
答案
解析原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+.
7.已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cs2+cs2=1;
(2)若cs(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
证明(1)∵在△ABC中,A+B=π-C,
∴,
∴cs=cs()=sin,
∴cs2+cs2=sin2+cs2=1.
(2)∵cs(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,
∴-sinA·(-csB)·tanC<0,
即sinAcsBtanC<0.
又A,B,C∈(0,π),∴sinA>0,∴csBtanC<0,
即csB<0,tanC>0或tanC<0,csB>0,
∴B为钝角或C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.
8.是否存在角α,β,且α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cscs(-α)=-cs(π+β)同时成立?若存在,求出角α,β的值;若不存在,请说明理由.
解存在α=,β=满足条件,理由如下:
由条件,得
①2+②2,得sin2α+3cs2α=2,③
又sin2α+cs2α=1,④
由③④得sin2α=,即sinα=±,
因为α∈,所以α=或α=-.
当α=时,代入②得csβ=,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合.
当α=-时,代入②得csβ=,
又β∈(0,π),得β=,代入①可知,不符合.
综上可知,α=,β=满足条件.
基础巩固
1.已知sin θ=,则cs(450°+θ)的值是( )
A.B.-C.-D.
答案B
解析cs(450°+θ)=cs(90°+θ)=-sinθ=-.
2.(多选题)下列与cs的值相等的是( )
A.sin(π-θ)B.sin(π+θ)
C.csD.cs
答案BD
解析cs=cs=-cs(-θ)=-sinθ,而sin(π-θ)=sinθ,sin(π+θ)=-sinθ,
cs=sinθ,cs=-sinθ,
故选BD.
3.已知cs,则sin的值为( )
A.B.-C.D.-
答案C
解析sin=sin=cs(-α)=cs.
4.若f(x)=3-sincs,则f=( )
A.B.C.D.
答案B
解析∵f(x)=3-sincs=3+csxsinx,
∴f=3+cssin=3+.
5.化简sincstan的结果是( )
A.1B.sin2αC.-cs2αD.-1
答案C
解析因为sin=csα,cs=cs[π+(-α)]=-sinα,
tan,
所以原式=csα(-sinα)·=-cs2α.
故选C.
6.已知cs(75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cs(15°-α)= .
答案-
解析因为cs(75°+α)=,且-180°<α<-90°,所以sin(75°+α)=-,故cs(15°-α)=cs[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-.
7.已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cs 2),则α等于 .
答案2-
解析csα==sin2,
∵α为锐角,且csα=sin,
∴α=2-.
8.化简:= .
答案-1
解析原式==-1.
9.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,且角α为第三象限角,求
的值.
解因为5x2-7x-6=0的两根分别为x1=2,x2=-,
所以sinα=-.
又角α为第三象限角,
所以csα=-=-.
所以tanα=.
故原式==tanα=.
10.已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)·f=-,且≤α≤,求f(α)+f的值;
(3)若f=2f(α),求f(α)·fα+的值.
解(1)f(α)==-csα.
(2)f=-cs=sinα,因为f(α)f=-,所以csαsinα=,可得(sinα-csα)2=,由≤α≤,得csα≥sinα,所以f(α)+f=sinα-csα=-.
(3)由(2)得f=sinα,又f=2f(α),即为sinα=-2csα,联立sin2α+cs2α=1,解得cs2α=,所以f(α)·f=-sinαcsα=2cs2α=.
能力提升
1.若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是( )
A.cs(A+B)=cs CB.sin(A+B)=-sin C
C.cs=sin BD.sin=cs
答案D
解析∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cs(A+B)=-csC,sin(A+B)=sinC,故A,B项中等式不成立;∵A+C=π-B,∴,∴cs=cs=sin,故C项中等式不成立;∵B+C=π-A,∴sin=sin=cs,故D项中等式成立.
2.若sin(π+α)+cs=-m,则cs+2sin(2π-α)的值为( )
A.-B.C.-D.
答案C
解析∵sin(π+α)+cs=-sinα-sinα=-m,∴sinα=.∴cs+2sin(2π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-.
3.若f(sin x)=3-cs 2x,则f(cs x)=( )
A.3-cs 2xB.3-sin 2x
C.3+cs 2xD.3+sin 2x
答案C
解析f(csx)=f[sin(-x)]=3-cs(π-2x)=3+cs2x.
4.(多选题)定义:角θ与角φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是( )
A.sin β=B.cs(π+β)=
C.tan β=D.tan β=
答案AC
解析因为sin(π+α)=-sinα=-,所以sinα=.
若角β与角α“广义互余”,则β+α=,
所以β=-α.
所以sinβ=sin=csα=±=±,
csβ=cs=sinα=,
cs(π+β)=-csβ=-,
tanβ==±,
所以选项AC符合条件.故选AC.
5.已知tan(3π+α)=2,则= .
答案2
解析∵tan(3π+α)=2,∴tanα=2,
∴原式==2.
6.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
答案
解析原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+.
7.已知A,B,C为△ABC的内角.
(1)求证:cs2+cs2=1;
(2)若cs(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
证明(1)∵在△ABC中,A+B=π-C,
∴,
∴cs=cs()=sin,
∴cs2+cs2=sin2+cs2=1.
(2)∵cs(+A)sin(+B)tan(C-π)<0,
∴-sinA·(-csB)·tanC<0,
即sinAcsBtanC<0.
又A,B,C∈(0,π),∴sinA>0,∴csBtanC<0,
即csB<0,tanC>0或tanC<0,csB>0,
∴B为钝角或C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.
8.是否存在角α,β,且α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cscs(-α)=-cs(π+β)同时成立?若存在,求出角α,β的值;若不存在,请说明理由.
解存在α=,β=满足条件,理由如下:
由条件,得
①2+②2,得sin2α+3cs2α=2,③
又sin2α+cs2α=1,④
由③④得sin2α=,即sinα=±,
因为α∈,所以α=或α=-.
当α=时,代入②得csβ=,
又β∈(0,π),所以β=,代入①可知符合.
当α=-时,代入②得csβ=,
又β∈(0,π),得β=,代入①可知,不符合.
综上可知,α=,β=满足条件.