数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第一课时课时训练

这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第一课时课时训练，共5页。试卷主要包含了函数f＝cs 的奇偶性是，下列函数中，是奇函数的为，函数y＝4sin 的图象关于，判断下列函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．函数f(x)＝cs (－x)的奇偶性是( )
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】由于x∈R，且f(－x)＝cs x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
2．函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为( )
A．2πB． eq \f(3π,2)
C．πD． eq \f(π,2)
【答案】C
【解析】画出函数f(x)＝2|sin x|的图象(图略)，可知函数f(x)＝2|sin x|的最小正周期为π.故选C.
3．下列函数中，是奇函数的为( )
A．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))B．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))
C．y＝3x－sin xD．y＝x2＋sin x
【答案】C
【解析】C选项中，令f(x)＝3x－sin x，则f(－x)＝3·(－x)－sin (－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，故函数是奇函数．
4．函数y＝4sin (2x－π)的图象关于( )
A．x轴对称B．原点对称
C．y轴对称D．直线x＝ eq \f(π,2)对称
【答案】B
【解析】y＝4sin (2x－π)＝－4sin 2x，是奇函数，其图象关于原点对称．
5．(多选)对于函数f(x)＝ax3＋b sin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)的值，其所得出的正确结果可能是( )
A．2和6B．3和9
C．4和11D．5和13
【答案】ABD
【解析】设F(x)＝f(x)－c＝ax3＋b sin x，∵F(－x)＝a(－x)3＋b sin (－x)＝－(ax3＋b sin x)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．∴F(－1)＝－F(1).又F(－1)＝f(－1)－c，F(1)＝f(1)－c，因此f(－1)－c＝－f(1)＋c，∴f(1)＋f(－1)＝2c.由c∈Z知f(1)＋f(－1)为偶数，故A，B，D有可能正确，而4与11的和15为奇数，C不可能正确．故选ABD.
6．已知函数f(x)＝sin 2x，则下列关于f(x)的叙述正确的是( )
A．f(x)是奇函数B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最小值不是－1
【答案】B
【解析】f(x)是偶函数；f(x)的最小正周期为T＝ eq \f(2π,2)＝π；f(x)的最大值是1，最小值是－1.故选B.
7．(多选)下列函数中，周期为π，且为偶函数的是( )
A．y＝|cs x|B．y＝sin 4x
C．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))D．y＝cs eq \f(x,2)
【答案】AC
【解析】由y＝|cs x|的图象知，y＝|cs x|是周期为π的偶函数，所以A正确；B中函数的周期为 eq \f(π,2)，且为奇函数，所以B不正确；C中y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，所以C正确；D中函数y＝cs eq \f(1,2)x的周期为4π，所以D不正确．
8．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
【答案】0
【解析】因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.
9．(2023年北京西城区月考)函数f(x)＝ eq \f(1－sin x＋cs2x,sinx＋1)的奇偶性为________．
【答案】非奇非偶函数
【解析】由sin x＋1≠0，得x≠－ eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))cs (π＋x)；
(2)(x)＝ eq \r(1＋sin x) ＋ eq \r(1－sin x).
解：(1)因为x∈R，f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))·cs (π＋x)＝－sin 2x·(－cs x)＝sin 2x cs x，
所以f(－x)＝sin (－2x)cs (－x)＝－sin 2x cs x＝－f(x).
所以函数f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
所以1＋sin x≥0，1－sin x≥0.
所以f(x)＝ eq \r(1＋sin x) ＋ eq \r(1－sin x)的定义域为R.
因为f(－x)＝ eq \r(1＋sin (－x))＋ eq \r(1－sin (－x))＝ eq \r(1－sin x) ＋ eq \r(1＋sin x)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
B级——能力提升练
11．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))是( )
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 eq \f(π,2)的奇函数D．最小正周期为 eq \f(π,2)的偶函数
【答案】B
【解析】f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－cs 2x，则函数f(x)是偶函数，函数的最小正周期T＝ eq \f(2π,2)＝π，即f(x)是最小正周期为π的偶函数．故选B.
12．(多选)若函数y＝sin (2x＋φ)的图象关于y轴对称，那么φ的取值可以是( )
A．－ eq \f(π,2)B． eq \f(π,2)
C．πD． eq \f(5π,2)
【答案】ABD
【解析】因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数．所以φ＝ eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，对k赋值可得解．
13．已知f(n)＝sin eq \f(nπ,4)(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________．
【答案】 eq \r(2)＋1
【解析】f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝0，依此循环，f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝0＋f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)＝ eq \r(2)＋1.
14．(2023年河池模拟)设有函数f(x)＝a sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))和函数g(x)＝b cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kx－\f(π,6))) (a＞0，b＞0，k＞0)，若它们的最小正周期之和为 eq \f(3π,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－ eq \r(3)g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－1，则函数f(x)的解析式为________，函数g(x)的解析式为________．
【答案】f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) g(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,6)))
【解析】∵f(x)和g(x)的最小正周期和为 eq \f(3π,2)，∴ eq \f(2π,k)＋ eq \f(2π,2k)＝ eq \f(3π,2)，解得k＝2.∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，∴a sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,2)－\f(π,3)))＝b cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(π,2)－\f(π,6)))，即a·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝b·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6)))，∴ eq \f(\r(3),2)a＝ eq \f(\r(3),2)b，即a＝b①.又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－ eq \r(3)g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－1，则有a·sin eq \f(π,6)＝－ eq \r(3)b·cs eq \f(5π,6)－1，即 eq \f(1,2)a＝ eq \f(3,2)b－1②.由①②解得a＝b＝1，∴f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，g(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,6))).
15．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥ eq \f(1,2)时x的取值范围．
解：(1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x).
∵当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，
∴当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))时，
f(x)＝f(－x)＝sin (－x)＝－sin x.
又当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))时，x＋π∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin (π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝ eq \f(1,2)时，x＝ eq \f(π,6)或 eq \f(5π,6)，
∴在[0，π]内，f(x)≥ eq \f(1,2)时，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
又f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥ eq \f(1,2)时，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(5π,6)))，k∈Z.