数学3.4 函数的应用（一）课前预习课件ppt

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1.几类常见的函数模型
2.解函数应用题的一般步骤第一步:阅读理解、认真审题.第二步:引进数学符号,建立数学模型.根据问题的已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数解析式,将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学的方法解答得到的常规数学问题(即数学模型),求得结果.第四步:转译成具体问题作出解答.
注意:(1)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域;(2)在解决函数模型后,必须验证解的合理性.
一 用一次函数模型、二次函数模型解决实际问题
典例剖析1.某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
(1)在平面直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定x与y的一个函数解析式y=f(x);(2)设经营此商品的日销售利润为P(单位:元),根据上述解析式写出P关于x的函数解析式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润.
解:(1)在平面直角坐标系中画出各点,如图. 这些点近似地分布在一条直线上,猜想y与x之间的关系为一次函数关系,设y=f(x)=kx+b(k≠0,且k,b为常数),
∴y=f(x)=-3x+150,经检验,点(45,15)、点(50,0)也在此直线上.∴y与x之间的函数解析式为y=-3x+150(30≤x≤50).(2)由题意,得P=(x-30)(-3x+150)=-3x2+240x-4 500=-3(x-40)2+300(30≤x≤50).∴当x=40时,P有最大值300.故当销售单价为40元时,日销售利润最大.
规律总结在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数模型后,可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
学以致用1.有l米长的钢材,要做成窗框(如图所示):上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的大矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所通过的光线最多?并求出窗户面积的最大值.
解:设小矩形的长为x米,宽为y米,窗户的面积为S平方米,则由题图可得9x+πx+6y=l,所以6y=l-(9+π)x,
二 用幂函数模型解决实际问题
规律总结在用幂函数模型解决实际问题时,一般地,设自变量为x,因变量为y,必要时引入其他相关的辅助变量,并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,即将实际问题数学化,即建立数学模型.
学以致用2.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资额x(单位:万元)的函数解析式.(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元?
三 用分段函数模型解决实际问题
典例剖析3.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0解:(1)由题意,当0规律总结构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点,即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数的解析式.
学以致用3.某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票张数x之间的函数关系图象如图所示,试解决下列问题:
(1)求y关于x的函数解析式.(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,则每天至少需要卖出多少张门票?
解:(1)当x∈[0,200]时,可设y1=k1x+b1(k1≠0),代入点(0,-1 000)和(200,1 000),解得k1=10,b1=-1 000,所以y1=10x-1 000,x∈[0,200].当x∈(200,300]时,可设y2=k2x+b2(k2≠0),代入点(200,500)和(300,2 000),解得k2=15,b2=-2 500,所以y2=15x-2 500, x∈(200,300].
(2)若每天的盈利额超过1 000元,则x∈(200,300],所以y=15x-2 500.由15x-2 500>1 000,解得x> ≈233.3,故每天至少需要卖出234张门票.
1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是(　　)　　　　　　　　　　　　　A.3 100元B.3 000元C.2 900元D.2 800元答案:B解析:由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,8 000),(2,13 000)代入得a=5 000,b=3 000.故y=5 000x+3 000,当x=0时,y=3 000.
2.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分)满足函数关系p=at2+bt+c(b,c是常数,a≠0),如图,记录了三次试验的数据,根据上述函数模型和试验数据,可以得到最佳加工时间为(　　) 分分分分答案:B
3.把一根长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,则这两个三角形面积之和的最小值为　　　　　cm2. 
4.某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(单位:元)与产品的日销售量y(单位:件)之间的关系如表所示:
如果日销售量y是关于售价x的一次函数,那么,要使每天所获得的利润最大,每件产品的售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?