数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案及答案

这是一份数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词学案及答案，共12页。学案主要包含了知识点框架，例题练习，课后巩固等内容，欢迎下载使用。

教学目标
知道什么是全称量词与存在量词，并写出其否定；会判断命题的真假
【知识点框架】
一、全称量词和全称量词命题
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“凡是”等.
（2）含有 的命题，叫做全称量词命题.
（3）全称量词命题“对 M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为“ ”.
二、存在量词和存在量词命题
（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，常见的存在量词还有“有些”“某个”“有一个”“至少有一个”等.
（2）含有 的命题，叫做存在量词命题.
（3）存在量词命题“存在 M中的元素 x,p(x)成立”可用符号简记为“ ”.
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题:∀x∈M,p(x),
它的否定：∃x∈M,¬p(x).
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题:∃x∈M,p(x),
它的否定:∀x∈M,￢p(x).
（3）对全称量词命题与存在量词命题的否定要注意以下两点
①解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时应先将命题写成完整形式，再写出其否定形式.
②要注意命题的否定形式不唯一.
思考：
1.全称量词的特征是什么?
2.存在量词的特征是什么?
3.全称量词命题与存在量词命题的关系是什么?
4.全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么?
【例题练习】
题型一：全称量词命题与存在量词命题
例1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题.
(1)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立；
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解；
(3)有些整数既能被 2 整除，又能被3 整除；
(4)某个四边形不是平行四边形.
总结：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法：
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表述命题.
练习：
1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(5)方程3x-2y=10有整数解.
题型二：全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2.试判断以下命题的真假.
(1)有的正方形不是矩形；
(2)有理数是实数；
(3)∀x∈R,x²+2>0;
(4)∀x∈N,x⁴≥1;
(5)∃x∈Z,x³<1;
(6)∃x∈Q,x²=3.
总结：判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法：
（1）对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题，需对集合M 中每一个元素x,证明p(x)成立;
②要判断它是假命题，只要在集合M 中找到一个元素x，使p(x)不成立即可(通常举反例).
（2）对于存在量词命题“∃x∈M,p(x)”:
①要证明它是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x，使p(x)成立即可(通常举正例).
②要判断它是假命题，需对集合M 中每一个元素x,证明p(x)不成立.
练习：
1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点;
（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除;
（3）∃x∈R,使得x²+1<0.
题型三：全称量词命题和存在量词命题的否定
例3.写出下列全称量词命题的否定.
①p:∀x∈R,x²−x+0.25≥0;
②p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行；
③∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解;
④可以被5整除的整数，末位是0.
例4.写出下列存在量词命题的否定.
①p:∃x>1,使x³-2x-3=0;
②p：有些偶数是负数；
③p:∃x∈R,x＞2;
④p:∃x∈R,x²＜0.
总结：（1）全称量词命题“∀x∈M,p(x)”的否定是存在量词命题“∃x∈M,￢p(x)”,这是固定模式.
（2）存在量词命题“∃x∈M,p(x)”的否定是全称量词命题“∀x∈M,￢p(x)”.遇到“且”命题的否定时变为“或”命题.
练习：
1.写出下列命题的否定，并判断其真假.
（1）有些素数是奇数；
（2）所有的矩形都是平行四边形；
（3）∃x∈R,x²+2x+5>0.
题型四：含有一个量词的命题的求参问题
例4.已知命题 p:∀x∈R,不等式x²+4x-1>m恒成立.求实数 m的取值范围.
总结：
（1）解决含有量词的命题求参数范围问题的思路：
①全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语.解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围.
②存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立.
（2）求解含有量词的命题中参数范围的策略：
①对于全称量词命题“∀x∈M,a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a＞ymax(或 a＜ymin).
②对于存在量词命题“∃x∈M,a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或 a＜ymax).
练习：
1.若“∃x∈R,x²+2x-a<0”是真命题，则实数a的取值范围是 .
【课后巩固】
1.下列命题中，是真命题的是( )
A.每个二次函数的图象都与x轴相交
B.∀x∈R,x²＞0
C.∃x∈R,x²≤0
D.方程x²+2x+8=0有实数解
2.已知命题 p:∀x∈R,x＞a²+b²,则p的否定形式为( )
A.￢p:∃x∈R,x＜a²+b² B.￢p:∀x∈R,x≤a²+b²
C.￢p:∃x∈R,x≤a²+b² D.￢p:∀x∈R,x＜a²+b²
3.命题“∃x∈Z,使x²+2x+m≤0”的否定是( )
A.∃x∈Z,使x²+2x+m＞0
B.不存在x∈Z,使x²+2x+m＞0
C.∀x∈Z,都有x²+2x+m≤0
D.∀x∈Z,都有x²+2x+m＞0
4.已知命题 p:∃x＞0,x+a-1=0,若p为假命题，则a的取值范围是( )
A.{a|a＜-1} B.{a|a≥1} C.{a|a＞1} D.{a|a≤-1}
5.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词问题，并判断其真假.
(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(3)存在一个实数x，使得等式x²+x+8=0成立.