沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数优秀巩固练习

这是一份沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数优秀巩固练习，文件包含专题228相似形章末拔尖卷沪科版原卷版docx、专题228相似形章末拔尖卷沪科版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29885" 【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】 PAGEREF _Tc29885 \h 1
\l "_Tc4234" 【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】 PAGEREF _Tc4234 \h 2
\l "_Tc27799" 【题型3 根据新定义求字母取值范围】 PAGEREF _Tc27799 \h 3
\l "_Tc18052" 【题型4 利用二次函数的性质求最值】 PAGEREF _Tc18052 \h 4
\l "_Tc14644" 【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc14644 \h 5
\l "_Tc16301" 【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】 PAGEREF _Tc16301 \h 5
\l "_Tc12501" 【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】 PAGEREF _Tc12501 \h 6
\l "_Tc12057" 【题型8 二次函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc12057 \h 8
\l "_Tc24774" 【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】 PAGEREF _Tc24774 \h 10
\l "_Tc8514" 【题型10 反比例函数中的动点问题】 PAGEREF _Tc8514 \h 12
\l "_Tc3702" 【题型11 反比例函数与x=a或y=a】 PAGEREF _Tc3702 \h 13
\l "_Tc27980" 【题型12 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc27980 \h 15
\l "_Tc1572" 【题型13 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】 PAGEREF _Tc1572 \h 17
\l "_Tc24962" 【题型14 反比例函数与图形变换】 PAGEREF _Tc24962 \h 19
\l "_Tc19430" 【题型15 反比例函数与定值、最值】 PAGEREF _Tc19430 \h 20
\l "_Tc3248" 【题型16 反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc3248 \h 23
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】
【例1】（2023秋·安徽阜阳·九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(mA．m【变式1-1】（2023秋·浙江杭州·九年级校考期中）设一元二次方程x+1x-3=aa>0两实数根分别为α，β且α<β，则α、β满足（ ）
A．-1<α<β<3B．α<-1<3<β
C．α<-1<β<3D．-1<α<3<β
【变式1-2】（2023秋·四川凉山·九年级校考期中）若a，b（a【变式1-3】（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）若x1，x2(x1＜x2)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是( )
A．m＜x1＜x2＜3B．x1＜m＜x2＜3
C．x1＜m＜3＜x2D．x1＜x2＜m＜3
【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2023，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点（14，y1），（14+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤32．
A．①②B．①③C．①②③D．①③④
【变式2-1】（2023秋·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0 与x轴交于点A(－1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：
①抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；
②点Cx1,y1，Dx2,y2在抛物线上，且满足x1y2；
③常数项c的取值范围是2≤c≤3；
④系数a的取值范围是-1≤a≤-23．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．①③④
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当-12m，则y1>y2．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-3】（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
②若点M（－2，y1）、点N（12，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝－（x＋1）2＋m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为34+2．
其中正确判断有（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③
【题型3 根据新定义求字母取值范围】
【例3】（2023秋·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1A．-5【变式3-1】（2023秋·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．-2≤n'≤2B．1≤n'≤3C．1≤n'≤2D．-2≤n'≤3
【变式3-2】（2023秋·重庆大渡口·九年级校考期末）若定义一种新运算：m@n=m-nm≤nm+n-3m>n，例如：1@2=1-2=-1，4@3=4+3-3=4．下列说法：
①-7@9=-16；
②若1@x2-x=-1，则x=-1或2；
③若-2@3+4x≤-5，则x≥0或x<-54；
④y=-x+1@x2-2x+1与直线y=m（m为常数）有1个交点，则-1其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式3-3】（2023秋·安徽合肥·九年级校联考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜-12D．﹣2≤a＜0
【题型4 利用二次函数的性质求最值】
【例4】（2023秋·九年级统考期中）已知，二次函数y=ax2+bx-1（a，b是常数，a≠0）的图象经过A(2,1)，B(4,3)，C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1B．最小值为-1C．最大值为-12D．最小值为-12
【变式4-1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PC的最小值是（ ）
A．6B．2+322C．2+32D．32
【变式4-2】（2023秋·辽宁·八年级东北育才双语学校校考期末）在平面直角坐标系中，点A（1，112），B（4，32），若点M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），则四边形MNBA的周长的最小值为（ ）
A．10+132 2B．10+132 3C．5+132D．5+133
【变式4-3】（2023秋·北京海淀·九年级人大附中校考期末）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为 P（x0，y0），点 A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当 y0≥0 恒成立时，yB-yCyA的最大值为（ ）
A．1B．12C．14D．13
【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例5】（2023秋·浙江·九年级期中）二次函数y=x2+2mx-3，当0≤x≤1时，若图象上的点到x轴距离的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1B．-1或1或3C．1或3D．-1或3
【变式5-1】（2023秋·湖北黄冈·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx-94（a,b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点32,32，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．-1≤m≤0B．2≤m<72C．2≤m≤4D．m≥2
【变式5-2】（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）
A．﹣1≤t≤0B．﹣1≤t≤-12C．-12≤t≤0D．t≤﹣1或t≥0
【变式5-3】（2023秋·浙江·九年级统考期末）已知二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经过点Aa-4,b，Ba,b，则b的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】
【例6】（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于(x1，y1)和(x2，y2)两点，（ ）
A．若a<0，m<0，则x1+x2>2hB．若a>0，m<0，则x1+x2>2h
C．若x1+x2>2h，则a>0，m>0D．若x1+x2<2h，则a>0，m<0
【变式6-1】（2023秋·福建龙岩·九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a<0．
(1)直接写出直线的解析式：___________；直接写出b与a之间的关系：___________；直接写出抛物线顶点Q的坐标：___________；（只用含a的代数式表示）
(2)说明直线与抛物线有两个交点；
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若-1≤a≤-12，求线段MN长度的最小值并直接写出此时△QMN的面积．
【变式6-2】（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A-3,0，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2-2x+c与x轴的正半轴相交于点C．
(1)求k、c的值；
(2)求点C的坐标和抛物线y=-x2-2x+c的顶点坐标；
(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【变式6-3】（2023秋·新疆哈密·九年级校考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，0,52，(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.
(1)求抛物线C的解析式；
(2)判断抛物线C与直线l有无交点；
(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．
【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】
【例7】（2023秋·河北石家庄·九年级校考期中）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
【变式7-1】（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；
①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣23）x﹣（2m﹣38）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
【变式7-2】（2023秋·重庆江北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与直线AC交于点A6，0，C0，-6．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【变式7-3】（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y1=12x2+bx+c与y轴交于点A0,-2，与x轴交于点B4,0，连接AB．直线y＝－2x＋8过点B交y轴于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作FD⊥x轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为m，当EF＝5ED时，求m的值；
(3)若抛物线y1=12x2+bx+c上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形．
①直接写出此时线段BF的长；
②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形A1B1F1H1（点A、B、F、H的对应点分别为A1、B1、F1、H1），点K为平面内一点，当四边形B1KF1H1是平行四边形时，将抛物线y1=12x2+bx+c沿其对称轴上下平移得到新的抛物线y2，若新的抛物线y2同时经过点K和点H1，直接写出点K的横坐标．
【题型8 二次函数中的存在性问题】
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线y=12x2-2x-6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m,n)(0(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交与A1,0，B-3,0两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践
如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接CD．

(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E的坐标．
【变式8-3】（2023秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(-3,-4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．

(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积．
【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】
【例9】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在斜坡OE底部点O处设置一个可移动的自动喷水装置，喷水装置的高度OA为1.4米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为1.6米的小树NM，NM垂直水平地面且M点到水平地面的距离为1.8米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左平移） 米．

【变式9-1】（2023秋·吉林·九年级校考期中）2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y=-112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的点A滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=-18x2+bx+c运动．

(1)当运动员运动到距离点A的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围）
(2)在（1）的条件下，当运动员运动到距离点A的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？
【变式9-2】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分可近似看作抛物线形，现测得AB=6m，最高点D到地面AB的距离为2.5m，点D到墙BC的距离为1m．求墙高BC．
【变式9-3】（2023秋·浙江衢州·九年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．
问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
【题型10 反比例函数中的动点问题】
【例10】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，已知直线y＝x＋2与双曲线y=kx交于A、B两点，且A点坐标为（a，4）．
（1）求双曲线解析式；
（2）将直线y＝x＋2向下平移两个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值，并求此时的Q点坐标；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出N点坐标．
【变式10-1】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx图象交于点A-1,3和B3,c，与x轴交于点C．
(1)求一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的解析式；
(2)观察图象，请直接写出使y1>y2的x取值范围；
(3)M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为72时，直接写出点N的坐标．
【变式10-2】（2023春·河南周口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点D的坐标为(8，6)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．
【变式10-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）如图，A1，3，B3，1是反比例函数y=3x的图象上的两点，点P是反比例函数y=3x的图象位于线段AB下方的一动点，过点P作PM⊥x轴于M，交线段AB于Q．设点M横坐标为x，则△OPQ面积的最大值为 ，此时x= ．

【题型11 反比例函数与x=a或y=a】
【例11】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A1,0且与y轴平行，直线l2过点B0,2且与x轴平行，直线l1，与直线l2相交于点P，点E为直线l2上一点，反比例函数y=kx(k>0)的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当k<2时，G是y轴上一点，直接写出所有使得△EFG是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
【变式11-1】（2023春·浙江宁波·九年级宁波市第十五中学校考期中）如图，直线AC与反比例函数y=kxk>0的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函y=kxk>0的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB=AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE=1，则k的值为 ．
【变式11-2】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）已知：一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图像在第一象限内交于点Am,2，B3,n两点，且m，n满足2m-3n2+n-1=0，直线l经过点A且与y轴平行，点C是直线l上一点，过点C作CD⊥y轴于点D，交反比例函数图像于点E．

(1)求一次函数与反比例函数的函数表达式．
(2)如图1，当点C在点A上方时，连接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE的值．
(3)如图2，当点C在点A下方时，点H是DC的中点，点G在x轴上，若四边形ABGH是平行四边形．求出点 G的坐标．
【变式11-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图1，一次函数y=kx-2k≠0的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=-3xx<0的图像交于点B-3,b，连接OB．
(1)b=___________，k=___________．
(2)若点P在第三象限内，是否存在点P使得△OBP是以OB为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，C是线段AB上一点（不与点A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC，OD，BD．若四边形OCBD的面积为3，求点C的坐标．
【题型12 反比例函数中的存在性问题】
【例12】（2023春·江苏盐城·九年级景山中学校考期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．

(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？______（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】长为3，宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y=10，xy=12，
联立x+y=10xy=12得x2-10x+12=0，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y=12x与一次函数l1：y=-x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
(2)那么长为4．宽为3的矩形C是否存在完全12倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
(3)如果长为4，宽为3的矩形C存在完全k倍体，请求出k的取值范围．
【变式12-1】（2023春·山西长治·九年级统考期末）（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=kxx<0的图象过点C-4,2，点D的纵坐标为4，直线CD与x轴，y轴分别交于点A,B．

(1)求直线CD的函数表达式；
(2)若点P是Rt△AOB直角边上的一个动点，当S△PCD=16S△AOB时，求点P的坐标；
(3)已知点D关于y轴的对称点为M，点C关于x轴的对称点为N,Q为y轴上的动点．问直线CD上是否存在点G，使得以点M,N,Q,G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（a，2a）（a＞0）和点B，且OA=5，点C是x轴正半轴上一点，过点C作x轴的垂线，与正比例函数图象交于点P，与反比例函数图象交于点Q．
(1)求正比例函数与反比例函数的表达式；
(2)当点Q是PC的中点时，求C点的坐标；
(3)是否存在点C，使△ABC是直角三角形，若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，说明理由．
【变式12-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）已知正比例函数y=3x的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象的一个交点Am,3．
(1)求反比例函数y=kx的解析式，并确定这两个函数图象的另一个交点B的坐标；
(2)画出草图，并据此直接写出使反比例函数值小于正比例函数值的x的取值范围；
(3)在y=2的直线上是否存在一点P，使PB-PA的值最大，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型13 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】
【例13】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，正方形ABCD的顶点C、D在反比例函数y=4x(x>0)的图像上，顶点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作一个正方形DFEG，顶点G在反比例函数y=4x(x>0)的图像上，顶点E在x轴的正半轴上，则点D的坐标为 ，点G的坐标为 ．

【变式13-1】（2023春·河南周口·九年级统考期末）正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，点C在反比例函数y=2xx>0的图象上，点D在第二象限内，若AO=3BO，则正方形ABCD的边长为（ ）

A．10B．3C．7D．5
【变式13-2】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）【思路点拨】：如图1，点A'是点A关于直线y=x的对称点，分别过点A，A'作y轴，x轴的垂线，垂足为M，N，连结OA，OA'，AA'．可以利用轴对称图形的性质证明△AMO≌△A'NO，从而由点A的坐标可求点A'的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点A横坐标为12，且在函数y=1x的图象上．

(1)求点A关于直线y=x的对称点A'的坐标．
(2)若点B的坐标为-1,1，点P是直线y=x．上的任意一点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
【变式13-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
(1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
(2)如图在直角坐标系xOy中，直线y=-x+1与双曲线y=-6x相交于A，B两点，点P-3,0在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．

①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形APQB是平行四边形时，如图，请证明▱APQB是勾股四边形．
(3)在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
【题型14 反比例函数与图形变换】
【例14】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x>0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则△OAB的面积为 ．

【变式14-1】（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点A(3，6)，因为C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值点”．
(1)若点E为双曲线y=4x (x>0)上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；
(2)在第一象限内，若一次函数y= - x+b的图象上有两个“等值点”，求b的取值范围．
【变式14-2】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90∘．点A的坐标为1，0，点C的坐标为3，4，M是BC边的中点，函数y=kxx>0 的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在y轴上，点D在函数y=kxx>0的图象上，求直线DF的表达式．
【变式14-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D．

(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型15 反比例函数与定值、最值】
【例15】（2023·山东济宁·校考二模）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图像交于点Am,8，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(0
(1)反比例函数的表达式；
(2)观察图像，直接写出当x>0时，不等式2x+6-kx>0的解集；
(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【变式15-1】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，已知点A1,4,B7,1，点P在线段AB上，并且点P的横、纵坐标均为整数，经过点P的双曲线为L:y=kx(x>0)．
(1)当点P与点B重合时，求L的表达式；
(2)求线段AB所在直线的函数表达式；
(3)直接写出k的最小值和最大值．
【变式15-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 y③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【变式15-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
阅读下列材料，回答问题：
对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]
对于任意正实数a、b，∵(a-b)2≥0，∴a+b 2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[几何验证]
如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2ab．
[结论应用]
若a＞0，则当a＝ 时，代数式a+4a有最小值为 ．
[问题解决]
（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣43-4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝12x（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ．
【题型16 反比例函数的应用】
【例16】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）学校举行数学文化竞赛．图中的四个点分别描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述八（2）、八（4）两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则成绩优秀人数最多的是（ ）

A．八（1）班B．八（2）班C．八（3）班D．八（4）班
【变式16-2】（2023春·河北邢台·九年级统考期末）某经销商出售一种进价为4元/升的液体原料，在市场营销中发现此商品日销售价x元/升与日销售量y（升）满足反比例函数，部分数据如下表：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了液体原料，记日销售后长方体中剩余液体的高度为h(m)

①求h关于x的函数关系式；
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/升，若该液体原料按最大日销售利润销售20天，则长方体容器中剩余液体原料多少升？
【变式16-3】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为y元，则y与x的关系式为_______（不要求写x的范围）
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：y是x的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整．
（1）列表：
填空：m=______，n=______．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像．
（3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（ ）
A．该函数图像是中心对称图形
B．该函数y值不可能等于2
C．当x>-2时，y随x的增大而增大
D.当x<-2时，y随x的增大而减小
应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：
粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元．
x（元/升）
3
4
5
6
y（升）
200
150
120
100
x
…
－4
－3
-52
-32
－1
0
1
2
…
y
…
52
m
4
n
1
32
53
74
…