初中华师大版第23章 图形的相似23.4 中位线随堂练习题

23.4　中位线

知识点 1　三角形的中位线

1．如图23－4－1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．已知BC＝10，则DE的长为(　　)

A．3    B．4     C．5    D．6

图23－4－1

2．如图23－4－2，在▱ABCD中，AD＝8，E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为(　　)

A.  2    B．3    C．4   D．5

图23－4－2

3．如图23－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为(　　)

A．6   B．5   C．4   D．3

图23－4－3

4．如图23－4－4，边长为4的等边三角形ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为(　　)

A．2    B．3    C．4    D．6

   图23－4－4

5．若一个三角形的三条中位线的长分别是3 cm，4 cm，5 cm，则这个三角形的面积是(　　)

A．6 cm2      B．12 cm2 

C．24 cm2     D．40 cm2

6．［2019·黔南州］如图23－4－5，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠FPE＝100°，则∠PFE＝________°.

图23－4－5

7．［2019·南京］如图23－4－6，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为________．

图23－4－6

8．如图23－4－7，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，且AB＝6 cm，AC＝8 cm，则四边形ADEF的周长为________ cm.

图23－4－7

9．如图23－4－8，已知△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA边的中点．

求证：△DEF∽△CAB，且相似比为1∶2.　

图23－4－8

知识点 2　三角形的重心

10．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，则AG＝________DG.如果AG＝6，那么线段DG＝________．

11．如图23－4－9，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连结DE，线段BE，CD相交于点O.若OD＝2，则OC＝________．

图23－4－9

12．在△ABC中，如果AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是________．

13．如图23－4－10，在矩形ABCD中，P，R分别是BC和DC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是(　　)

A．线段EF的长逐渐增长

B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长始终不变

D．线段EF的长与点P的位置有关

图23－4－10

14．［2019·陕西］如图23－4－11，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

图23－4－11

15．如图23－4－12，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，M是△ABC的重心，则AM的长为________.

图23－4－12

16．［如图23－4－13，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连结△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连结△A2B2C2的三边中点，得△A3B3C3，…，依次进行下去，则△A5B5C5的周长为________．

图23－4－13

17．［2019·天津］如图23－4－14，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连结PG，则PG的长为________．

图23－4－14

18．如图23－4－15，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F.

(1)求证：AE＝AF；

(2)求证：BE＝(AB＋AC)．

图23－4－15

19．问题探究如图23－4－16所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，顺次连结E，F，G，H，把四边形EFGH称为中点四边形．连结AC，BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．

(1)如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．

①当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？

②当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？

(2)探索△AEH，△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明．

图23－4－16

1．C　[解析] 根据三角形的中位线定理，可得DE＝BC＝5.

2．C　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8.∵E，F分别是BD，CD的中点，∴EF＝BC＝×8＝4.故选C.

3．D　4.B　5.C

6．40　[解析] ∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，∴EP＝AD，同理，FP＝BC.

∵AD＝BC，∴EP＝FP，∴∠PFE＝∠PEF.∵∠FPE＝100°，∴∠PFE＝40°.

7. 　8. 14

9．证明：∵D，F分别是AB，CA的中点，

∴DF＝BC.

同理可得，DE＝CA，EF＝AB，

∴＝＝＝，

∴△DEF∽△CAB，且相似比为1∶2.

10．2　3　11.4

12．1 cm　[解析] △ABC是等腰三角形，底边上的高为＝3(cm)，故重心G到BC的距离是3×＝1(cm)．

13．C　[解析] 连结AR.∵矩形ABCD固定不变，点R在CD上的位置不变，

∴AD和DR的长不变．由勾股定理得：AR＝，∴AR的长不变．

∵E，F分别为AP，RP的中点，∴EF＝AR，即线段EF的长始终不变．

故选C.

14． B　[解析] 在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6,

∴AC＝＝＝10.

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE＝BC＝3，

∴∠EFC＝∠FCM.

∵CF平分∠ACM，∴∠FCE＝∠FCM，

∴∠EFC＝∠FCE，

∴EF＝EC＝AC＝5，

∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.

故选B.

15．10.

16． 1　

17.　

18．

证明：(1)∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵AD∥EM，

∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.

(2)如图，过点C作CG∥EM，交BA的延长线于点G.

∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，

∠ACG＝∠AFE.

∵∠AEF＝∠AFE，

∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC.

∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG，

∴BE＝BG＝(AB＋AG)＝(AB＋AC)．

19．解：(1)①AC⊥BD.②AC＝BD且AC⊥BD.

(2)结论：S△AEH＋S△CFG＝S四边形ABCD.

证明：∵四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，

由题意可知，EH是△ABD的中位线，

∴EH BD，∴△AEH∽△ABD，

可得＝＝，∴S△AEH＝S△ABD.

同理可得S△CFG＝S△CBD.

∴S△AEH＋S△CFG＝(S△ABD＋S△CBD)＝S四边形ABCD.