初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线精品习题

这是一份初中数学华师大版九年级上册23.4 中位线精品习题，共26页。试卷主要包含了0分），5cm，则MN的长为，5C，【答案】A，【答案】B，【答案】D等内容，欢迎下载使用。


23.4中位线同步练习华师大版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是(    )
A. 菱形 B. 矩形
C. 正方形 D. 邻边不等的平行四边形
2. 如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是(    )
A. 线段EF的长逐渐增大
B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不改变
D. 线段EF的长不能确定

3. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为         (      )
A. 3 B. 32 C. 4 D. 42
4. 如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于(    )
A. 3cm
B. 4cm
C. 2.5cm
D. 2cm
5. 在△ABC中，AB=7，AC=6，BC=5，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为(    )
A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2.5
6. 如图，正方形ABCD边长为4，点E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF=1，点P、Q分别是AF、EF的中点，连接PD、PQ、DQ，则线段DQ的长等于(    )
A. 4
B. 23
C. 522
D. 72
7. 如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，则四边形EGFH的周长(    )
A. 只与AB、CD的长有关
B. 只与AD、BC的长有关
C. 只与AC、BD的长有关
D. 与四边形ABCD各边的长都有关．

8. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，∠BAC的平分线交BC于点E，BM⊥AE于点M，交AC于点F.若点N是BC的中点，连接MN.已知AB=6，BC=8.则MN的长为(    )
A. 3.5
B. 3
C. 2.5
D. 2
9. 已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=42，点D是射线AB上一动点，以CD为一边向左画正方形CDEF，连接DF，取DF中点Q，则BQ的最小值为(    )
A. 2 B. 22 C. 4 D. 2
10. 数学课上，老师出示了如下一道证明题．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB，BC的中点，延长DE至点F，使EF=DE，连接FC，求证：四边形ADFC是平行四边形．
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点．
∴DE是△ABC的①，
∴②DE=12AC．
又∵EF=DE，
∴AC=DF．
∴四边形ADFC是平行四边形(③的四边形是平行四边形)．
①②③分别代表(    )
A. 中线、DE//AC、一组对边平行且相等
B. 中位线、DE//AC、两组对边相等
C. 中线、CF=AD、两组对边相等
D. 中位线、DE//AC、一组对边平行且相等
11. 如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB=5，BC=8，则EF的长为(    )
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 不能确定
12. 如图所示，已知△ABC的面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，⋯，依此类推，第2013个三角形的面积为(    )
A. 12011
B. 12012
C. 142011
D. 142012
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于D，BE=3，DF=1，则BC的长度为______．



14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，P是直线BC上一点，把△BDP沿PD所在的直线翻折后，点B落在点Q处，如果QD⊥BC，那么点P和点B间的距离等于______．


15. 如下图，四边形ABCD中，点E，F分别为AD，BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB=4，CD=6，则EF的长为________．

16. 如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF // BC交AD于点F，那么FGAD=____．



17. 如图，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是______．



三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
18. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．
(1)试说明四边形AECF是平行四边形．
(2)若AC=8，AB=6.若AC⊥AB，求线段BD的长．








19. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．








20. 如图，AD是平行四边形ABDE的对角线，∠ADE=90°，延长ED至点C，使DC=ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)连接OE，若AD=4，AB=2，求OE的长．







21. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．










22. 定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，两条中线的交点称为中垂三角形的“重心”.如图①所示，在△ABC中，BE，CF是△ABC的两条中线，且BE⊥CF，垂足为P，则称△ABC为“中垂三角”，点P为△ABC的“重心”．
任务：

(1)如图②，△ABC是“中垂三角形”，BE，CF是中线，交点为P，连接FE，若BE=9，CF=6，求EF的长；
(2)如图③，已知△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点P，AD=6，BE=10，CF=8，那么△ABC是“中垂三角形”吗？请证明的结论．







23. 三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图，点G是△ABC的重心，连接ED．

(1)求证：ED//AC；
(2)若AD=6，求GD的长．







答案和解析
1.【答案】A

【解析】
【分析】
作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=12AC，FG=EH=12BD，再根据矩形的对角线相等可得AC=BD，从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．
本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
【解答】
解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=12AC，FG=EH=12BD(三角形的中位线等于第三边的一半)，
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．  
2.【答案】C

【解析】解：如图，连接AG．
∵E、F分别是AP、GP的中点，
∴EF为△APG的中位线，
∴EF=12AG，AG为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
因为G不动，所以AG不变．根据三角形中位线定理可得EF=12AG，因此线段EF的长不变．
本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AG不变，则对应的中位线的长度就不变．

3.【答案】D

【解析】解：取AB中点D，连结FD，如图，

∵△ABC为等腰直角三角形，AB=10，PB=1，
∴AC=BC=52，∠A=45°，
∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=10，PB=1，
∴AD=BD=5，DP=DB−PB=5−1=4，EF、DF为△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF=12AB=5，DF=12BC=522，∠EFP=∠FPD，
∴∠FDA=45°，DFEF=5225=22，
∴∠DFP+∠DPF=45°，
∴∠DFP+∠EFP=45°，
∵△PQF为等腰直角三角形，
∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=PQ，
∴∠DFP=∠EFQ，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴PFFQ=22，
∴DFEF=PFQF，
∴△FDP∽△FEQ，
∴QEPD=EFDF=2，
∴QE=2DP=42．
故选：D．
取AB中点D，连接FD，根据等腰直角三角形的性质，由△ABC为等腰直角三角形得到AC=BC，∠A=45°，再根据点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则AD=BD=5，DP=DB−PB=4，EF，DF为△ABC的中位线，利用三角形中位线的性质得EF//AB，EF=12AB=5，根据平行线性质得到∠FDA=45°，∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF为等腰直角三角形，则∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根据有两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得．
本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．

4.【答案】A

【解析】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴AB=24÷4=6(cm)，OB=OD．
又∵E为AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线．
∴OE=12AB=12×6=3(cm)．
故选A．

5.【答案】D

【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=2.5，
故选：D．
证DE是△ABC的中位线，再由三角形中位线定理求解即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键．

6.【答案】C

【解析】解：∵正方形ABCD边长为4，CE=CF=1，
∴AB=AD=4，BE=DF=3，∠ABE=∠ADF，
∴△ABE≌△ADF，且 AE=AF=42+32=5，
∴∠BAE=∠DAF，
∵点P、Q分别是AF、EF的中点，
∴DP=AP=PF=12AF=52，PQ=12AE=52,PQ//AE，
∴∠FPQ=∠FAE，
∵∠BAE+∠EAF+∠DAF=90°，∠DPF=∠DAP+∠PDA，
∴∠DPQ=∠FPQ+∠DPF=∠FAE+2∠DAF=90°，
∴△DPQ 为等腰直角三角形，
∴DQ=2DP=2×52=522．
故选：C．
先求出∠BAE=∠DAF，再求出△DPQ 为等腰直角三角形，最后计算求解即可．
本题考查正方形的性质，运用全等三角形的判定和三角形中位线定理得到△DPQ 为等腰直角三角形是解题关键．

7.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查三角形的中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理解答即可．
【解答】
解：∵点E、F、G、H分别是线段AB、CD、AC、BD的中点，
∴FG=12AD，GE=12BC，EH=12AD，HF=12BC，
∴四边形EGFH的周长=FG+GE+EH+FH=12AD+12BC+12AD+12BC=AD+BC．
故选B．  
8.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=AB2+BC2=62+82=10，
∵∠BAC的平分线交BC于点E，BM⊥AE于点M，
∴△ABF是等腰三角形，
∴BM=MF，AB=AF，
∴FC=AC−AF=AC−AB=10−6=4，
∵点N是BC的中点，
∴MN是△BFC的中位线，
∴2MN=FC=4，
∴MN=2，
故选：D．
根据等腰三角形的判定和性质得出△ABF是等腰三角形，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题主要考查了矩形的性质，根据等腰三角形的判定和性质得出△ABF是等腰三角形是解题关键．

9.【答案】B

【解析】方法一：解：如图1，取AB的中点M，连接CQ，QM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，∠CAB=45°，
同理，CQ⊥DF，∠CDF=45°，
∴∠CQD=∠CMA=90°，
∠CDF=∠CAB=45°，
∴△CQD∽△CMA，
∴CQCM=CDCA，
∠QCD=∠MCA，
∴∠QCD−∠MCD=∠MCA−∠MCD，
∴∠QCM=∠DCA，
∵CQCM=CDCA，
∴△CQM∽△CDA，
∴∠CMQ=∠BMQ=45°，
∴MQ为∠CMB的角平分线，
∴Q在∠CMB的角平分线上运动，
根据垂线段最短，当BQ垂直于∠CMB的角平分线时，如图2，
此时BQ值最小，
即∠QBM=∠QMB=45°，
∴BQ=MQ，
在Rt△ABC中，AC=BC=42，
∴AB=AC2+BC2=2AC=8，
同理，BM=2BQ，
∵BM=12BC=4，
∴BQ=22，
故选：B．
方法二：解：如图3，∵四边形CDEF为正方形，
∴∠DCF=∠ACB=90°，CD=CF，
∴∠ACD=∠BCF，
在△ACD与△BCF中，
AC=BC∠ACD=∠BCFCD=CF，
∴△ACD≌△BCF(SAS)，
∴∠CAD=∠CBF=45°，
∴∠FBD=∠CBF+∠CBA=90°，
∴△FBD为直角三角形，
∵Q为FD的中点，
∴BQ=12DF，
当DF越小时，BQ越小，
∵DF=CD2+CF2=2CD，
同理，AB=2AC=8，
∴当CD越小时，DF越小，
当CD⊥AB时，此时CD=12AB=4时，DF取得最小值42，
BQ取得最小值22，
故选：B．
方法一：旋转相似必成对，先证△CQD∽△CMA，两者是旋转相似，再由此可以证明△CQM∽△CDA，所以∠CMQ=∠CAD=45°，得到MQ为∠CMB的角平分线，Q在这条角平分线上运动，根据垂线段最短，当BQ垂直于此条角平分线时，BQ最小，即可解决．
方法二：先证明△ACD≌△BCF，得到∠CBF=45°，可以证明△FBD是直角三角形，所以BQ=12DF，又利用勾股定理，得到DF=2CD，所以当CD最小时，BQ最小，利用垂线段最短，当CD⊥AB时，BQ取得最小值，即可解决．
此题考查了线段最值问题，涉及到的知识点有手拉手模型的全等三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线等于斜边一半等，题目中△ACD≌△BCF，是解决本题的关键．

10.【答案】D

【解析】解：∵点D，E分别是AB，BC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC，DE=12AC．
又∵EF=DE，
∴AC=DF．
∴四边形ADFC是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
故①代表：中位线，②代表：DE//AC，③代表：一组对边平行且相等，
故选：D．
先证DE是△ABC的中位线，得DE//AC，DE=12AC.再证AC=DF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出DE//AC，DE=12AC是解题的关键．

11.【答案】B

【解析】解：如图，
∵D为AB中点，∠AFB=90°，AB=5，
∴DF=12AB=2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE=4，
∴EF=4−2.5=1.5，
故选：B．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF=12AB，再利用三角形中位线定理可得DE=4，进而可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

12.【答案】D

【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的性质与三角形中位线的性质．解题的关键是找到规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2n−1.根据已知条件，首先可知各三角形都相似，然后根据题意可得规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2n−1，又由△ABC周长为1，即可求得第2012个三角形的周长． 
【解答】
解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，
∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为12，
∴它们相似，且相似比为12，面积比为14
同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为12，
即第三个三角形与第一个三角形的面积比为：142，
以此类推：第2013个三角形与原三角形的面积比为142012，
∵△ABC周长为1，
∴第2013个三角形的面积为142012．
故选D．
  
13.【答案】8

【解析】解：∵EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，BC=2EF，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠EBC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=3，
∵DF=1，
∴EF=ED+DF=3+1=4，
∴BC=8，
故答案为8．
利用等腰三角形的性质求出DE=3，可得EF=4，再利用三角形的中位线定理解决问题即可．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

14.【答案】2.5或10

【解析】
【分析】
此题考查了折叠的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
在Rt△ACB中，根据勾股定理可求AB的长，根据折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，根据三角形中位线定理可得DE=12AC，BD=12AB，BE=12BC，再在Rt△QEP中，根据勾股定理可求QP，继而可求得答案．
【解答】
解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
AB=62+82=10，
如图，由折叠的性质可得QD=BD，QP=BP，
又∵QD⊥BC，
∴DQ//AC，
∵D是AB的中点，
∴DE=12AC=3，BD=12AB=5，BE=12BC=4，

①当点P在DE右侧时，
∴QE=5−3=2，
在Rt△QEP中，QP2=(4−BP)2+QE2，
即QP2=(4−QP)2+22，
解得QP=2.5，
则BP=2.5．
②当点P在DE左侧时，同①知，BP=10，
故答案为2.5或10．  
15.【答案】13

【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是作辅助线BD并去BD的中点M.连BD，取BD得中点M，连接ME、MF，再由三角形的中位线定理，可得EM=12AB=2，且EM//AB，MF=12DC=3，且MF//CD，后证明∠EMF=90°，根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：连BD，取BD得中点M，连接ME，MF

∵E为AD的中点，
∴EM为△ABD的中位线，
∴EM=12AB=12×4=2，且EM//AB
∴∠MEF=∠H
同理：
∵F为BC的中点，
∴MF为△BDC的中位线，
∴MF=12DC=12×6=3，且MF//CD
∴∠MFE=∠CGF
∵∠BHF与∠CGF互余，
∴∠BHF+∠CGF=90°
∴∠MEF+∠MFE=90°
∴∠EMF=180°−∠MEF−∠MFE=90°
∴EF=22+32=13．
故答案为13．  
16.【答案】16

【解析】
【分析】
本题考查三角形的重心，三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段长比例定理得到AFFD=AEEC=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=12CD=12BD，再利用EF//BD得到FGDG=EFBD=12，所以DG=2FG，然后得到AD与FG的关系，即可得到答案．
【解答】
解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，
∴BD=CD，AE=CE，AGGD=2
∵EF//CD，
∴AFFD=AEEC=1，即AF=FD，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF=12CD，
∴EF=12BD，
∵EF//BD，
∴FGDG=EFBD=12，
∴DG=2FG
∴FD=3FG，
∴AD=2FD=6FG．
∴FGAD=16
故答案为16．  
17.【答案】32

【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据勾股定理求出AN，计算即可．
【解答】
解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，

∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=12AM，DE//AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴CN=12AC=12，AN=AC2−CN2=12−122=32，
∴AM=3，
∴DE=32，
故答案为32．  
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F为OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，
∴AO=4，
∵AB=6，AC⊥AB，
∴BO=AB2+AO2=62+42=213，
∴BD=2BO=413．

【解析】(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD互相平分，OA=OC，OB=OD，又E，F为OB，OD的中点，所以OE=OF，所以AC与EF互相平分，所以四边形AECF为平行四边形；
(2)首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再利用勾股定理计算出BO的长，进而可得BD的长．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．

19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG//CF，
∴EG//CF，
由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
(2)证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG//CF，由三角形中位线定理得出OE//CG，EF//CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB//DE，AB=ED，
∵DC=ED，
∴DC=AB，DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC=90∘，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：过O作OF⊥CD于F，

∵四边形ABCD是矩形，AD=4，AB=2，
∴DE=CD=AB=2，AD=BC=4，AC=BD，AO=OC，BO=DO，
∴OD=OC，
∵OF⊥CD，
∴DF=CF=12CD=12×2=1，
∴OF=12BC=12×4=2，EF=DE+DF=2+1=3，
∴OE=EF2+OF2=32+22=13．

【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记平行四边形的性质和矩形的性质和判定是解此题的关键．
(1)根据平行四边形的性质得出AB//DE，AB=ED，求出DC=AB，DC//AB，再根据矩形的判定得出即可；
(2)过O作OF⊥CD于F，根据平行四边形的性质求出DE=AB，求出AB=DC=2，求出DF，求出OF，再根据勾股定理求出OE即可．

21.【答案】(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF//BC，EF//AB，
∴DF//BE，EF//BD，
∴四边形BEFD是平行四边形；
(2)解：∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=DB=DA=12AB=3，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∵DB=3，
∴四边形BEFD的周长为12．

【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
(1)根据三角形的中位线的性质得到DF//BC，EF//AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)根据直角三角形的性质得到DF=DB=DA=12AB=3，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论．

22.【答案】解：(1)如图①中，连接EF．

∵AE=EC，AF=FB，
∴EF//BC，EF=12BC，
∴EFBC=PFPC=PEEB=12，
∴PE=13BE=3，PF=13CF=2，
∵BE⊥CF，
∴∠EPF=90°，
∴EF=PE2+PF2=13．

(2)结论：△ABC是“中垂三角形”．
理由：如图③中，延长PD到M，使得DM=PD，连接BM，CM．

∵PD=DM，BD=DC，
∴四边形PBMC是平行四边形，
∴PB=CM，
由题意PB=23BE=203，PD=DM=13AD=2，PC=23CF=163，
∴PM=4，
∵PM2+PC2=42+(163)2=4009，CM2=4009，
∴CM2=PM2+PC2，
∴∠CPD=90°，
∴CF⊥AD，
∴△ABC是“中垂三角形”．

【解析】(1)根据三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理，求出PE，PF即可解决问题．
(2)结论：△ABC是“中垂三角形”.如图③中，延长PD到M，使得DM=PD，连接BM，CM.求出PM，CM，PC，利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查三角形的重心，平行四边形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：(1)∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AC；
(2)由(1)知DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC，DE//AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴DEAC=DGAG，
∴DGAG=12，
∴DGAD=13，
∴DG=13AD，
∵AD=6，
∴GD=2．

【解析】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似的判定与性质等内容，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据题意，可以得到DE是△ABC的中位线，从而可以得到DE//AC；
(2)由(1)知DE是△ABC的中位线，可得DE=12AC，DE//AC，进而得到△DEG∽△ACG，即可得到DG和AG的比值，从而可以得到DG和AD的比值，然后即可得到结果．