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新教材2023_2024学年高中数学模块综合训练新人教A版选择性必修第三册
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这是一份新教材2023_2024学年高中数学模块综合训练新人教A版选择性必修第三册，共13页。
模块综合训练
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知=10×9×8×7×6,则n的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[2023浙江温州期中]在数学中有一类顺读与倒读都是同一个数的正整数,被称为“回文数”,如22,575,1 661等.那么用数字1,2,3,4,5可以组成4位“回文数”的个数为( )
A.20 B.25 C.30 D.36
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同一所学校,则不同的安排方法种数为( )
A.18 B.24 C.30 D.36
5.[2023天津和平期中]如果记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么y关于x的经验回归直线必过点( )
A.(2,2) B.(1.5,2) C.(1,2) D.(1.5,4)
6.已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率p为( )
A. B. C. D.
7.我国很多地方有冬至吃饺子的习俗.冬至这天,小明的妈妈为小明煮了15个饺子,其中5个芹菜馅10个三鲜馅.小明随机取出两个,“取到的两个为同一种馅”记作事件A,“取到的两个都是三鲜馅”记作事件B,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
8.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的均值为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的价格x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:
价格x/元
9
9.5
10
10.5
11
销售量y/件
11
10
8
6
5
根据公式计算得样本相关系数r的绝对值|r|=0.986,其经验回归方程是=-3.2x+,则下列说法正确的有( )
A.由样本相关系数r可知变量x,y不具有线性相关关系
B.经验回归直线恒过定点(10,8)
C.=40
D.当x=8.5时,y的预测值为12.8
10.用0,1,2,4,6,7组成无重复数字的四位数,则( )
A.个位是0的四位数共有60个
B.2与4相邻的四位数共有60个
C.不含6的四位数共有100个
D.比6 701大的四位数共有71个
11.[2023江苏鼓楼月考]医用口罩面体分为内、中、外三层,内层为亲肤材质,中层为隔离过滤层,外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准,医用口罩的过滤率是重要的指标.根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X~N(0.94,0.012)(P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.998 65100≈0.87),则( )
A.P(X≤0.9)<0.5
B.P(X<0.4)1.5)
C.P(X>0.96)≈0.023
D.假设生产状态正常,记Y表示抽取的100只口罩中过滤率大于μ+3σ的数量,则P(Y≥1)≈0.13
12.[2023湖南岳麓期中]2022年冬奥会在北京举办,为了弘扬奥林匹克精神,某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况,在该市中小学中随机抽取了10所学校,10所学校中了解这个项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动,记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数,则( )
A.P(X<2)= B.P(X=0)=
C.E(X)= D.D(X)=
三、填空题(本题共4小题)
13.甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排,甲、乙要相邻,且甲不站在两端,则不同的排法种数是 .
14.已知数学老师从6道习题中随机抽3道对同学进行检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.若某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是 .
15.“埃博拉病毒”是一种能引起人类和某些动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒.为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:
单位:只
是否服用疫苗
是否感染
合计
感染
未感染
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
合计
30
70
100
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
根据上表,依据α=0.05的独立性检验,认为小鼠是否感染与服用疫苗 关联.(填“有”或“没有”)
16.中国在第75届联合国大会上承诺,二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召,大力提倡新能源汽车,某机构为研究新能源汽车在该地区的销售情况,对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计,如表.
月份
2021年
11月
2021年
12月
2022年
1月
2022年
2月
2022年
3月
月份编号x
1
2
3
4
5
新能源汽车
销售量y/辆
30
50
70
100
110
已知x和y线性相关,则y关于x的经验回归方程为 .
参考公式:经验回归方程x+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2023山东威海月考]已知3x+n的展开式中各项的系数之和为1 024.
(1)求各奇数项系数之和;
(2)求3x+n(2x+y)2的展开式中不含y的项的各项系数之和.
18.要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响,在高一年级学生中随机抽选10名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩,如表:
x/分
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y/分
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
表中x是学生入学成绩,y是高一年级期末考试数学成绩.
(1)画出散点图;
(2)求y关于x的经验回归方程x+的值精确到0.01,的值精确到0.001);
(3)若某学生的入学成绩为80分,试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩(精确到整数).
附:.
19.某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现这1万名小学生的普通话测试成绩服从正态分布N(69,49).
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率;
(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.
参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.997 3.
20.一个口袋中有4个白球、2个黑球,每次从袋中取出一个球.
(1)若有放回地抽取2次球,求第二次取出的是黑球的概率;
(2)若不放回地抽取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率;
(3)若有放回地抽取3次球,求取出黑球次数X的分布列及E(X).
21.[2023山西大同检测]某校为调查本校中学生对某科技展的了解与关注情况,从该校高中年级在校生中,按高一、高二年级,高三年级分成两个年级段,随机抽取了200名学生进行调查,其中高一、高二年级共调查了120人,高三年级调查了80人,以说出10项科学进展的名称个数为标准,统计情况如下表.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀.
说出科学进展名称个数
0
1
2
3
4
5个及以上
频数(高一、高二年级)
5
25
35
25
15
15
频数(高三年级)
0
10
15
25
20
10
(1)根据频数分布表完成2×2列联表,并依据α=0.05的独立性检验,分析成绩与年级分段是否有关联;
单位:人
年级
成绩
合计
不优秀
优秀
高一、高二
高三
合计
(2)按分层随机抽样的方法,在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学,再在这6名同学中随机抽取4名同学组成科技展宣讲队,求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
22.蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
(xi-)(zi-)
27.429
81.286
3.612
40.182
147.714
表中zi=ln yi,zi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程模型.(给出判断即可,不必说明理由)
(2)求出y关于x的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)
(3)根据以往统计,该地每年平均温度达到28 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28 ℃以上的概率为p(0
②根据①中的结论,当f(p)取最大值时,记该地今后6年需要人工防治的次数为X,求X的均值和方差.
附:对于一组数据(x1,z1),(x2,z2),…,(x7,z7),其经验回归方程x的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
参考答案
模块综合训练
1.C 由=10×9×8×7×6,可知n=5.
2.B 第一步,选择个位数,有5种方法;第二步,选择十位数,有5种方法.
由题可得,个位和千位、十位和百位数字相同,则利用分步乘法计数原理,可以组成的4位“回文数”的个数为5×5×1×1=25.
3.B 由题意可知X的可能取值为0,1,2,
由题中数据可得P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以E(X)=0×+1×+2×=1.
故选B.
4.C 四名大学毕业生中有两名分在一所学校的种数是种,而甲、乙被分在同一所学校的有种,故不同的安排方法种数是=30.
5.D x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),
则×(0+1+2+3)=1.5,×(1+3+5+7)=4,
故y关于x的经验回归直线必过点(1.5,4).
6.D 设罚球命中的次数为X,则1-P(X=2)=,
即1-p2(1-p)0=,得p=.故选D.
7.A 由题意,P(A)=,P(AB)=,
∴P(B|A)=.
8.B 依题意可知ξ的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则第一轮结束时比赛停止的概率为.若第一轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在第一轮中必是各得一分,此时,第一轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,故E(ξ)=2×+4×+6×.故选B.
9.BCD 对于A,因为|r|=0.986,所以变量x,y具有线性相关关系,故A不正确;
对于B,×(9+9.5+10+10.5+11)=10,×(11+10+8+6+5)=8,故经验回归直线恒过定点(10,8),故B正确;
对于C,因为经验回归直线恒过定点(10,8),所以8=-3.2×10+,解得=40,故C正确;
对于D,当x=8.5时,=-3.2×8.5+40=12.8,故D正确.
故选BCD.
10.ABD 对于A,个位是0的四位数共有=60(个),故A正确.
对于B,若不含0,则2与4相邻的四位数有=36(个);
若含0,则2与4相邻的四位数有=24(个).
故2与4相邻的四位数共有60个,故B正确.
对于C,不含6的四位数共有=96(个),故C错误.
对于D,比6701大的四位数共有-1=71(个),故D正确.
11.ACD 对于A,∵X~N(0.94,0.012),
∴P(X≤0.9)
∴P(X<0.4)>P(X>1.5),故B错误;
对于C,P(X>0.96)=P(X>0.94+0.02)=P(X>μ+2σ)≈=0.02275≈0.023,故C正确;
对于D,P(X>μ+3σ)==0.00135,
则P(X≤μ+3σ)=1-P(X>μ+3σ)=1-0.00135=0.98865,
由P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.99865100≈1-0.87=0.13,故D正确.
12.ABD 根据题意,X的可能取值为0,1,2,其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所,了解冰壶的人数在30以下的学校有6所,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以P(X<2)=1-,故A,B正确;
E(X)=,D(X)=0-2×+1-2×+2-2×,故C错误,D正确.
13.36 甲、乙相邻,则有=48(种)排法,甲、乙相邻且甲站在两端有2=12(种)排法,故甲、乙要相邻,且甲不站在两端有48-12=36(种)排法.
14. 由超几何分布的概率公式,可得他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.
15.有 零假设为H0:小鼠是否感染与服用疫苗无关联.由题中数据可得χ2=≈4.762>3.841=x0.05,根据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为小鼠是否感染与服用疫苗有关联,此推断犯错误的概率不超过0.05.
16.=21x+9 ∵=3,=72,
xiyi=1×30+2×50+3×70+4×100+5×110=1290,
=12+22+32+42+52=55,
∴=21,=72-21×3=9,
∴y关于x的经验回归方程为=21x+9.
17.解(1)已知3x+n的展开式中各项的系数之和为4n=1024,∴n=5.
则3x+5=(3x)50+(3x)41+(3x)32+(3x)23+(3x)4+(3x)05,
∴各奇数项系数之和为×35+×33+×3=528.
(2)由(1)知3x+n(2x+y)2=3x+5(2x+y)2=3x+5(4x2+4xy+y2),3x+5的展开式的通项为Tk+1=(3x)5-kk=35-kx5-ky-k,3x+5(2x+y)2的展开式中不含y的项有3项,当r=0时,4×35×x7=972x7,当r=1时,4×34×x5=1620x5,当r=2时,33×x3=270x3,则各项系数之和为972+1620+270=2862.
18.解(1)作出散点图如图,从散点图可以看出,这两个变量具有线性相关关系.
(2)列表如下:
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
x2
3969
4489
2025
7744
6561
5041
2704
9801
3364
5776
y2
4225
6084
2704
6724
8464
7921
5329
9604
3136
5625
xy
4095
5226
2340
7216
7452
6319
3796
9702
3248
5700
可得×(63+67+45+88+81+71+52+99+58+76)=70,×(65+78+52+82+92+89+73+98+56+75)=76,=51474,xiyi=55094.
∴≈0.766.
≈76-0.766×70=22.38.
故所求的经验回归方程为=0.766x+22.38.
(3)若学生入学成绩为80分,则=0.766×80+22.38≈84.
故该同学高一年级期末数学成绩预测为84分.
19.解(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49),所以μ=69,σ=7,
所以P(62
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=1,
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×+(3-1)2×.
20.解设Ai=“第i次取到白球”,Bi=“第i次取到黑球”.
(1)因为每次都是从6个球中取球,每次取球的结果互不影响,所以P(B2)=.
(2)问题相当于“从3个白球、2个黑球中取一次球,求取到黑球的概率”,所以所求的概率P=.
(3)若有放回地取3个球,则取到黑球次数X的可能取值为0,1,2,3.三次取球互不影响,由(1)可知每次取出黑球的概率均为.
所以P(X=0)=×3=;
P(X=1)=×2=;
P(X=2)=×2×;
P(X=3)=×3=.
X
0
1
2
3
P
X服从二项分布,即X~B3,,所以E(X)=3×=1.
21.解(1)零假设为H0:成绩与年级分段没有关联.
由题意得2×2列联表如下:
单位:人
年级
成绩
合计
不优秀
优秀
高一、高二
90
30
120
高三
50
30
80
合计
140
60
200
χ2=≈3.571<3.841=x0.05,依据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为成绩与年级分段没有关联.
(2)被调查且成绩优秀的学生有60名,按分层随机抽样的方法抽取6名同学,则从高一、高二年级抽取3名同学,从高三年级抽取3名同学.
设至少有2名高三年级的同学入选为事件A,
∵样本点总数为=15,
事件A包含的样本点数为=12,
∴P(A)=.
∴至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率为.
22.解(1)由散点图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程模型.
(2)对y=cedx两边取自然对数得lny=lnc+dx,令z=lny,a=lnc,b=d,则z=a+bx.
因为≈0.272,
=3.612-0.272×27.429=-3.849,
所以z关于x的经验回归方程为=0.272x-3.849.
所以y关于x的非线性经验回归方程为=e0.272x-3.849.
(3)①由题意可知f(p)=·p2·(1-p)n-2,
所以f'(p)=2·p(1-p)n-2-(n-2)·p2(1-p)n-3=·p(1-p)n-3·[2(1-p)-(n-2)p]=·p(1-p)n-3·(2-np).
因为n≥3且n∈N*,所以当00;
当
所以函数f(p)在p=处取得极大值,亦即最大值.所以p0=.
②由①可知,当p=时,f(p)取最大值.
又因为n=6,
所以p=.
由题意可知X~B6,,
所以E(X)=6×=2,D(X)=6×.
模块综合训练
一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知=10×9×8×7×6,则n的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[2023浙江温州期中]在数学中有一类顺读与倒读都是同一个数的正整数,被称为“回文数”,如22,575,1 661等.那么用数字1,2,3,4,5可以组成4位“回文数”的个数为( )
A.20 B.25 C.30 D.36
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用X表示所选3人中女生的人数,则E(X)等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同一所学校,则不同的安排方法种数为( )
A.18 B.24 C.30 D.36
5.[2023天津和平期中]如果记录了x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),那么y关于x的经验回归直线必过点( )
A.(2,2) B.(1.5,2) C.(1,2) D.(1.5,4)
6.已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率p为( )
A. B. C. D.
7.我国很多地方有冬至吃饺子的习俗.冬至这天,小明的妈妈为小明煮了15个饺子,其中5个芹菜馅10个三鲜馅.小明随机取出两个,“取到的两个为同一种馅”记作事件A,“取到的两个都是三鲜馅”记作事件B,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
8.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的均值为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)
9.某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5家商场的价格x(单位:元)和销售量y(单位:件)之间的一组数据如下表所示:
价格x/元
9
9.5
10
10.5
11
销售量y/件
11
10
8
6
5
根据公式计算得样本相关系数r的绝对值|r|=0.986,其经验回归方程是=-3.2x+,则下列说法正确的有( )
A.由样本相关系数r可知变量x,y不具有线性相关关系
B.经验回归直线恒过定点(10,8)
C.=40
D.当x=8.5时,y的预测值为12.8
10.用0,1,2,4,6,7组成无重复数字的四位数,则( )
A.个位是0的四位数共有60个
B.2与4相邻的四位数共有60个
C.不含6的四位数共有100个
D.比6 701大的四位数共有71个
11.[2023江苏鼓楼月考]医用口罩面体分为内、中、外三层,内层为亲肤材质,中层为隔离过滤层,外层为特殊材料抑菌层.根据国家质量监督检验标准,医用口罩的过滤率是重要的指标.根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X~N(0.94,0.012)(P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,0.998 65100≈0.87),则( )
A.P(X≤0.9)<0.5
B.P(X<0.4)
C.P(X>0.96)≈0.023
D.假设生产状态正常,记Y表示抽取的100只口罩中过滤率大于μ+3σ的数量,则P(Y≥1)≈0.13
12.[2023湖南岳麓期中]2022年冬奥会在北京举办,为了弘扬奥林匹克精神,某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况,在该市中小学中随机抽取了10所学校,10所学校中了解这个项目的人数如图所示.
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动,记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数,则( )
A.P(X<2)= B.P(X=0)=
C.E(X)= D.D(X)=
三、填空题(本题共4小题)
13.甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排,甲、乙要相邻,且甲不站在两端,则不同的排法种数是 .
14.已知数学老师从6道习题中随机抽3道对同学进行检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.若某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是 .
15.“埃博拉病毒”是一种能引起人类和某些动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒.为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:
单位:只
是否服用疫苗
是否感染
合计
感染
未感染
服用
10
40
50
未服用
20
30
50
合计
30
70
100
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
根据上表,依据α=0.05的独立性检验,认为小鼠是否感染与服用疫苗 关联.(填“有”或“没有”)
16.中国在第75届联合国大会上承诺,二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召,大力提倡新能源汽车,某机构为研究新能源汽车在该地区的销售情况,对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计,如表.
月份
2021年
11月
2021年
12月
2022年
1月
2022年
2月
2022年
3月
月份编号x
1
2
3
4
5
新能源汽车
销售量y/辆
30
50
70
100
110
已知x和y线性相关,则y关于x的经验回归方程为 .
参考公式:经验回归方程x+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.[2023山东威海月考]已知3x+n的展开式中各项的系数之和为1 024.
(1)求各奇数项系数之和;
(2)求3x+n(2x+y)2的展开式中不含y的项的各项系数之和.
18.要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响,在高一年级学生中随机抽选10名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩,如表:
x/分
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y/分
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
表中x是学生入学成绩,y是高一年级期末考试数学成绩.
(1)画出散点图;
(2)求y关于x的经验回归方程x+的值精确到0.01,的值精确到0.001);
(3)若某学生的入学成绩为80分,试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩(精确到整数).
附:.
19.某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现这1万名小学生的普通话测试成绩服从正态分布N(69,49).
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率;
(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差.
参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.997 3.
20.一个口袋中有4个白球、2个黑球,每次从袋中取出一个球.
(1)若有放回地抽取2次球,求第二次取出的是黑球的概率;
(2)若不放回地抽取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率;
(3)若有放回地抽取3次球,求取出黑球次数X的分布列及E(X).
21.[2023山西大同检测]某校为调查本校中学生对某科技展的了解与关注情况,从该校高中年级在校生中,按高一、高二年级,高三年级分成两个年级段,随机抽取了200名学生进行调查,其中高一、高二年级共调查了120人,高三年级调查了80人,以说出10项科学进展的名称个数为标准,统计情况如下表.假设以能至少说出四项科学进展的名称为成绩优秀.
说出科学进展名称个数
0
1
2
3
4
5个及以上
频数(高一、高二年级)
5
25
35
25
15
15
频数(高三年级)
0
10
15
25
20
10
(1)根据频数分布表完成2×2列联表,并依据α=0.05的独立性检验,分析成绩与年级分段是否有关联;
单位:人
年级
成绩
合计
不优秀
优秀
高一、高二
高三
合计
(2)按分层随机抽样的方法,在被调查且成绩优秀的学生中抽取6名同学,再在这6名同学中随机抽取4名同学组成科技展宣讲队,求至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
22.蝗虫能对农作物造成严重伤害,每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
(xi-)(zi-)
27.429
81.286
3.612
40.182
147.714
表中zi=ln yi,zi.
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程模型.(给出判断即可,不必说明理由)
(2)求出y关于x的回归方程.(结果精确到小数点后第三位)
(3)根据以往统计,该地每年平均温度达到28 ℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28 ℃以上的概率为p(0
②根据①中的结论,当f(p)取最大值时,记该地今后6年需要人工防治的次数为X,求X的均值和方差.
附:对于一组数据(x1,z1),(x2,z2),…,(x7,z7),其经验回归方程x的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
参考答案
模块综合训练
1.C 由=10×9×8×7×6,可知n=5.
2.B 第一步,选择个位数,有5种方法;第二步,选择十位数,有5种方法.
由题可得,个位和千位、十位和百位数字相同,则利用分步乘法计数原理,可以组成的4位“回文数”的个数为5×5×1×1=25.
3.B 由题意可知X的可能取值为0,1,2,
由题中数据可得P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
所以E(X)=0×+1×+2×=1.
故选B.
4.C 四名大学毕业生中有两名分在一所学校的种数是种,而甲、乙被分在同一所学校的有种,故不同的安排方法种数是=30.
5.D x,y的几组数据分别为(0,1),(1,3),(2,5),(3,7),
则×(0+1+2+3)=1.5,×(1+3+5+7)=4,
故y关于x的经验回归直线必过点(1.5,4).
6.D 设罚球命中的次数为X,则1-P(X=2)=,
即1-p2(1-p)0=,得p=.故选D.
7.A 由题意,P(A)=,P(AB)=,
∴P(B|A)=.
8.B 依题意可知ξ的所有可能取值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则第一轮结束时比赛停止的概率为.若第一轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在第一轮中必是各得一分,此时,第一轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=,P(ξ=6)=,故E(ξ)=2×+4×+6×.故选B.
9.BCD 对于A,因为|r|=0.986,所以变量x,y具有线性相关关系,故A不正确;
对于B,×(9+9.5+10+10.5+11)=10,×(11+10+8+6+5)=8,故经验回归直线恒过定点(10,8),故B正确;
对于C,因为经验回归直线恒过定点(10,8),所以8=-3.2×10+,解得=40,故C正确;
对于D,当x=8.5时,=-3.2×8.5+40=12.8,故D正确.
故选BCD.
10.ABD 对于A,个位是0的四位数共有=60(个),故A正确.
对于B,若不含0,则2与4相邻的四位数有=36(个);
若含0,则2与4相邻的四位数有=24(个).
故2与4相邻的四位数共有60个,故B正确.
对于C,不含6的四位数共有=96(个),故C错误.
对于D,比6701大的四位数共有-1=71(个),故D正确.
11.ACD 对于A,∵X~N(0.94,0.012),
∴P(X≤0.9)
∴P(X<0.4)>P(X>1.5),故B错误;
对于C,P(X>0.96)=P(X>0.94+0.02)=P(X>μ+2σ)≈=0.02275≈0.023,故C正确;
对于D,P(X>μ+3σ)==0.00135,
则P(X≤μ+3σ)=1-P(X>μ+3σ)=1-0.00135=0.98865,
由P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.99865100≈1-0.87=0.13,故D正确.
12.ABD 根据题意,X的可能取值为0,1,2,其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所,了解冰壶的人数在30以下的学校有6所,所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以P(X<2)=1-,故A,B正确;
E(X)=,D(X)=0-2×+1-2×+2-2×,故C错误,D正确.
13.36 甲、乙相邻,则有=48(种)排法,甲、乙相邻且甲站在两端有2=12(种)排法,故甲、乙要相邻,且甲不站在两端有48-12=36(种)排法.
14. 由超几何分布的概率公式,可得他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.
15.有 零假设为H0:小鼠是否感染与服用疫苗无关联.由题中数据可得χ2=≈4.762>3.841=x0.05,根据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为小鼠是否感染与服用疫苗有关联,此推断犯错误的概率不超过0.05.
16.=21x+9 ∵=3,=72,
xiyi=1×30+2×50+3×70+4×100+5×110=1290,
=12+22+32+42+52=55,
∴=21,=72-21×3=9,
∴y关于x的经验回归方程为=21x+9.
17.解(1)已知3x+n的展开式中各项的系数之和为4n=1024,∴n=5.
则3x+5=(3x)50+(3x)41+(3x)32+(3x)23+(3x)4+(3x)05,
∴各奇数项系数之和为×35+×33+×3=528.
(2)由(1)知3x+n(2x+y)2=3x+5(2x+y)2=3x+5(4x2+4xy+y2),3x+5的展开式的通项为Tk+1=(3x)5-kk=35-kx5-ky-k,3x+5(2x+y)2的展开式中不含y的项有3项,当r=0时,4×35×x7=972x7,当r=1时,4×34×x5=1620x5,当r=2时,33×x3=270x3,则各项系数之和为972+1620+270=2862.
18.解(1)作出散点图如图,从散点图可以看出,这两个变量具有线性相关关系.
(2)列表如下:
x
63
67
45
88
81
71
52
99
58
76
y
65
78
52
82
92
89
73
98
56
75
x2
3969
4489
2025
7744
6561
5041
2704
9801
3364
5776
y2
4225
6084
2704
6724
8464
7921
5329
9604
3136
5625
xy
4095
5226
2340
7216
7452
6319
3796
9702
3248
5700
可得×(63+67+45+88+81+71+52+99+58+76)=70,×(65+78+52+82+92+89+73+98+56+75)=76,=51474,xiyi=55094.
∴≈0.766.
≈76-0.766×70=22.38.
故所求的经验回归方程为=0.766x+22.38.
(3)若学生入学成绩为80分,则=0.766×80+22.38≈84.
故该同学高一年级期末数学成绩预测为84分.
19.解(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49),所以μ=69,σ=7,
所以P(62
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=1,
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×+(3-1)2×.
20.解设Ai=“第i次取到白球”,Bi=“第i次取到黑球”.
(1)因为每次都是从6个球中取球,每次取球的结果互不影响,所以P(B2)=.
(2)问题相当于“从3个白球、2个黑球中取一次球,求取到黑球的概率”,所以所求的概率P=.
(3)若有放回地取3个球,则取到黑球次数X的可能取值为0,1,2,3.三次取球互不影响,由(1)可知每次取出黑球的概率均为.
所以P(X=0)=×3=;
P(X=1)=×2=;
P(X=2)=×2×;
P(X=3)=×3=.
X
0
1
2
3
P
X服从二项分布,即X~B3,,所以E(X)=3×=1.
21.解(1)零假设为H0:成绩与年级分段没有关联.
由题意得2×2列联表如下:
单位:人
年级
成绩
合计
不优秀
优秀
高一、高二
90
30
120
高三
50
30
80
合计
140
60
200
χ2=≈3.571<3.841=x0.05,依据α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为成绩与年级分段没有关联.
(2)被调查且成绩优秀的学生有60名,按分层随机抽样的方法抽取6名同学,则从高一、高二年级抽取3名同学,从高三年级抽取3名同学.
设至少有2名高三年级的同学入选为事件A,
∵样本点总数为=15,
事件A包含的样本点数为=12,
∴P(A)=.
∴至少有2名高三年级的同学入选宣讲队的概率为.
22.解(1)由散点图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程模型.
(2)对y=cedx两边取自然对数得lny=lnc+dx,令z=lny,a=lnc,b=d,则z=a+bx.
因为≈0.272,
=3.612-0.272×27.429=-3.849,
所以z关于x的经验回归方程为=0.272x-3.849.
所以y关于x的非线性经验回归方程为=e0.272x-3.849.
(3)①由题意可知f(p)=·p2·(1-p)n-2,
所以f'(p)=2·p(1-p)n-2-(n-2)·p2(1-p)n-3=·p(1-p)n-3·[2(1-p)-(n-2)p]=·p(1-p)n-3·(2-np).
因为n≥3且n∈N*,所以当0
当
所以函数f(p)在p=处取得极大值,亦即最大值.所以p0=.
②由①可知,当p=时,f(p)取最大值.
又因为n=6,
所以p=.
由题意可知X~B6,,
所以E(X)=6×=2,D(X)=6×.
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