人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布精练

第七章7.4　二项分布与超几何分布

7.4.1　二项分布

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　)

A. B. C. D.

2.[探究点一](多选题)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法错误的有(　　)

A.每次出现正面向上的概率为0.5

B.第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.25

C.出现n次正面向上的概率为0.510

D.出现n次正面向上的概率为0.5n

3.[探究点一]某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为(　　)

A. B.3

C. D.2

4.[探究点三]唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　)

A. B. C. D.

5.[探究点二](多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时(　　)

A.X服从二项分布 B.P(X=1)=

C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)=

6.[探究点一]在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则在1次试验中事件A发生的概率为　　　　　. 

7.[探究点三]将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为　　　　　. 

8.[探究点三]某大学学生宿舍4人参加网购,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个网站购物,掷出点数为5或6的人去A网购物,掷出点数小于5的人去B网购物,且参加者必须从A网和B网选择一家购物.

(1)求这4个人中恰有1人去A网购物的概率;

(2)用ξ,η分别表示这4个人中去A网和B网购物的人数,令X=ξη,求随机变量X的分布列.

B级 关键能力提升练

9.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)

A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1)

10.(多选题)若随机变量X~B5,,则P(X=k)最大时,k的值可以为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

11.某人抛掷一枚硬币,出现正、反面的概率都是,构造数列{an},使得an=记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),则S4=2的概率为　　　　　. 

12.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的.

(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;

(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列.

C级 学科素养创新练

13.掷骰子游戏:规定掷出1点,甲盒中放一球,掷出2点或3点,乙盒中放一球,掷出4点、5点或6点,丙盒中放一球,共掷6次,用x,y,z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数.令X=x+y,则E(X)=　　　　　. 

14.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.

(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.

(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?

参考答案

7.4　二项分布与超几何分布

7.4.1　二项分布

1.A　设A=“出现正误差”,则P(A)=.用X表示事件A发生的次数,则X~B5,.

恰好出现2次正误差等价于X=2,于是P(X=2)=×2×3=.

2.BD　对于A,每次出现正面向上的概率都是0.5,故A正确;

对于B,第一次出现正面向上的概率为0.5,第二次出现正面向上的概率为0.5,故B错误;

对于C,出现n次正面向上的概率为0.5n0.510-n=×0.510,故C正确,D错误.故选BD.

3.A　因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3重伯努利试验,即X~B3,,则X的方差D(X)=3××1-=,

所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9×=6,

所以Y的标准差为.

4.A　该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮,

有两天出现大潮的概率为×2×,

有三天出现大潮的概率为×3=,

所以至少有两天出现大潮的概率为.

5.ABC　由二进制数A的特点知,X的可能取值有0,1,2,3,4,则P(X=0)=4=;

P(X=1)=3=;

P(X=2)=22=;

P(X=3)=3=;

P(X=4)=4=,故X~B4,,故A,B正确;

∵X~B4,,

∴E(X)=4×,故C正确;

∴X的方差D(X)=4×,故D错误.

6.　设在一次试验中,事件A发生的概率为p,

由题意知,1-(1-p)4=,所以(1-p)4=,故p=.

7.　正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率P=6+6+6=.

8.解依题意,得这4个人中,每个人去A网购物的概率为,去B网购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去A网购物”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),

则P(Ai)=i4-i(i=0,1,2,3,4).

(1)这4个人中恰有1人去A网购物的概率为×3=.

(2)X的所有可能取值为0,3,4,

则P(X=0)=P(A0)+P(A4)=×0×4+×4×0=,

P(X=3)=P(A1)+P(A3)=×1×3+×3×1=,

P(X=4)=P(A2)=×2×2=.

所以随机变量X的分布列为

9.A　由题意得,·p(1-p)3≤p2(1-p)2,

∴4(1-p)≤6p.

∵0<p<1,

∴0.4≤p<1.

10.AB　依题意得P(X=k)=k5-k,

k=0,1,2,3,4,5.

则P(X=0)=,P(X=1)=,

P(X=2)=,P(X=3)=,

P(X=4)=,P(X=5)=.

故当k=1或k=2时,P(X=k)最大.

11.　S4=2,即4次中有3次正面1次反面,则所求概率P=×3×.

12.解(1)用x1,x2分别表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示的手势,则可用(x1,x2)表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的可能结果,则样本空间Ω={(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布)},共有9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有3个.

所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P=.

(2)X的可能取值分别为0,1,2,3,X~B,

则P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=.

所以X的分布列为

13.3　将每一次掷骰子看作一次试验,试验的结果分丙盒中投入球(成功)和丙盒中不投入球(失败)两种,且丙盒中投入球(成功)的概率为,设Z表示6次试验中成功的次数,则Z~B6,,

∴E(Z)=3,

∴E(X)=E(6-Z)=6-E(Z)=6-3=3.

14.解(1)记“甲射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件为“甲射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.

故P()=4=.

所以P(A1)=1-P()=1-.

所以甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率为.

(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,

则P(A2)=×2×1-2=,

P(B2)=×3×1-1=.

由于甲、乙射击相互独立,

故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=.

所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.

(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Di(i=1,2,3,4,5),

则A3=D5D4D1∪D2),且P(Di)=.

由于各事件相互独立,故P(A3)=P(D5)P(D4)P()·P(D1∪D2)=×1-=.

所以乙恰好射击5次后,被终止射击的概率为.