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综合检测03-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册
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这是一份高中数学全册综合一课一练，共12页。试卷主要包含了随机变量 X 的分布列为等内容，欢迎下载使用。
2020—2021学年高二数学下学期
综合检测03
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节.已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
时间代号 t
1
2
3
4
5
成交额 y （万元）
50
60
70
80
100
若 y 关于 t 的回归方程为 y=12t+a ，则根据回归方程预计该店2021年双十一的成交额是（ ）
A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元
2.某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：
男
女
喜欢篮球
40
20
不喜欢篮球
20
30
附： k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(k2⩾k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
3.随机变量 X 的分布列为
X
0
1
m
P
15
n
310
若 E(X)=1.1 ，则 D(X)= （ ）
A. 0.49 B. 0.69 C. 1 D. 2
4.若 (x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a7(x+2)7 ，则 a3+a4= （ ）．
A. 0 B. 35 C. 70 D. -70
5.为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 64种
6.已知ξ∈N0,82且P-2≤ξ≤0=0.4 ， 则P(ξ>2)等于 （ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
7.将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率P(A|B),P(B|A)分别是（ ）
A. 6091,12 B. 12,6091 C. 518,6091 D. 91216,12
8.自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 A 房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017-2019年的数据分别建立回归直线方程 y=b1x+a1 、 y=b2x+a2 、 y=b3x+a3 ，则（ ）
A. b1>b2>b3 ， a3>a2>a1 B. b2>b1>b3 ， a3>a2>a1
C. b1>b2>b3 ， a3>a1>a2 D. b2>b1>b3 ， a3>a1>a2
9.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
70
根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 y=6.5x+15.5 ，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A. 45 B. 55 C. 50 D. 60
10.在 (x-aπx)6 的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为（ ）
A. 15 B. -15 C. 20 D. -20
11.若 (1x-mx2)5(m∈R) 的展开式中 x5 的系数是80，则实数 m= （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
12.新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种
A. 252 B. 540 C. 792 D. 684
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.把编号为 i(i=1,2,3,4,5) 的五个小球随机放入编号为 j(j=1,2,3,4,5) 的五个盒子，每盒一个小球，若满足 |i-j|≤2 ，则不同的放法共有________种．
14.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量 x
[12.5,15.5)
[15.5,18.5)
[18.5,21.5)
[21.5,24.5)
[24.5,27.5)
[27.5,30.5)
[30.5,33.5)
频数
5
6
9
12
8
6
4
通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值 x= ________（精确到 0.1 ）；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 N(μ,σ2) ，其中 μ 近似为样本平均值 x ， σ2 近似为样本方差 s2 ，经计算得 s=5.2 ．请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数________．
参考数据： P(μ-σ
16.2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.已知在党委政府精准扶贫政策下，自2017年起某地区贫困户第 x 年的年人均收入 y (单位：万元)的统计数据如下表：
年份
2017
2018
2019
2020
年份编号 x
1
2
3
4
年人均收入 y
0.6
0.8
1.1
1.5
根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为0.3，据此模型预报该地区贫困户2021年的年人均收入为________.(单位：万元).
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度 x /℃
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数 y /个
7
11
21
24
66
115
325
x
y
z
i=1n(xi-x)(zi-z)
i=1n(xi-x)2
27.429
81.286
3.612
40.182
147.714
表中 zi=lny ， z=17i=17zi
附：对于一组数据 (x1,z1),(x2,z2),⋅⋅⋅,(x7,z7) ，其回归直线 z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2 ， a=z-bx .
（1）根据散点图判断， y=a+bx 与 y=cedx （其中 e=2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出 y 关于 x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为 p(0
（ⅱ）当 f(p) 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为 X ，求 X 的数学期望和方差.
18.已知 f(x)=(x+1x+1)n,n∈N* .
（1）记其展开式中常数项为 m ，当 n=4 时.求 m 的值；
（2）证明:在 f(x) 的展开式中，对任意 1≤t≤n(t∈N*) ， xt 与 1xt 的系数相同.
19.新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为 P(0
（Ⅱ）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．
20.新高考改革后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上、下学期，物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取.
（1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某211院校的录取要求.假设某个学生参加每次等级考试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是 13 ，求该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率；
（2）据预测，要想报考该211院校的相关院系，省会考的成绩至少在90分以上，才有可能被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩，考到90分以上概率都是 13 ，设该生在省会考时考到90分以上的科目数为 ε ，求 ε 的分布列及数学期望.
答案解析
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】 t=1+2+3+4+55=3 ， y=50+60+70+80+1005=72 ，
因为回归方程过样本中心 (t,y) ，
所以 y=12t+a 过点 (3,72) ， 72=12×3+a ，所以 a=36 ，
当 t=6 时， y=12×6+36=108 万元.
故答案为：C
2.【答案】 C
【解析】由题意 k2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.822 ， 6.635<7.822<10.828 ，因此有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”。
故答案为：C．
3.【答案】 A
【解析】由分布列性质知： 15+n+310=1 ，解得： n=12 ；
∴E(X)=0×15+1×12+m×310=1.1 ， ∴m=2 ；
∴D(X)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)2×310=0.49 。
故答案为：A.
4.【答案】 A
【解析】解：由题意得(x+1)7=[（x+2）-1]7 ， 则其展开式的通项公式为Tr+1=C7rx+27-r-1r ，
令7-r=3，即r=4，得T4+1=C74x+23-14=C74x+23=C73x+23 ， 则a3=C73 ，
令7-r=4，即r=3，得T3+1=C73x+24-13=-C73x+24 ， 则a4=-C73 ，
则 a3+a4=0，
故答案为：A
5.【答案】 B
【解析】若按照3：1：1进行分配，则有 C31A33=18 种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有 C32A33=18 种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故答案为：B
6.【答案】 A
【解析】正态分布
由于， 则其正态分布图象对称轴为轴，由图象对称性可知，.
选A。
7.【答案】 A
【解析】由题意得事件的个数为， 事件的个数为， 在发生的条件下发生的个数为， 在发生的条件下发生的个数为， 所以， .故正确答案为A.
8.【答案】 A
【解析】回归直线分布在散点图的附近， b 表示回归直线的斜率， a 表示回归直线在y轴上的截距，由图可知，2010-2013年，y随x的增加，迅速增加；2014-2016年，y随x的增加，平缓增加，故 b1>b2 ；2017-2019年，y随x的增加而减少，故 b3<0 ；所以 b1>b2>b3 ，由图可知 a3>a2>a1 .
故答案为：A．
9.【答案】 C
【解析】由表中数据得： x=2+4+5+6+85=5 ，
因为样本中心点 (x,y) 在回归直线上，
所以 y=6.5×5+15.5=48 ，
所以 48×5-(30+40+50+70)=50
故答案为：C
10.【答案】 D
【解析】由展开式中所有项的系数和为0, 令 x=1 ,可得 (1-aπ)6=0 ，解得 a=1π
所以 (x-aπx)6=(x-1x)6
则 (x-aπx)6 展开式的通项公式为 Tr+1=C6r(x)6-r(-1x)r=(-1)rC6rx6-2r
当 r=3 时，为常数项，所以展开式的常数项为 -C63=-20 ．
故答案为：D．
11.【答案】 A
【解析】二项式展开式的通项为 Tr+1=C5r(1x)5-r(-mx2)r=(-m)rC5rx52r-52 ，
令 52r-52=5 ，得 r=3 ，
则 T4=(-m)3C53x5=80x5 ，所以 (-m)3C53=80 ，解得 m=-2 .
故答案为：A
12.【答案】 D
【解析】护士6名，可分为 2,2,2 或者 1,2,3 两类.
先安排医生，再安排护士.
安排医生，方法数有 A33=6 种，
安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有 C42⋅C22A22⋅A33+(C41⋅A33+C41⋅C31⋅A33)=114 种.其中 C41⋅A33 表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数， C41⋅C31⋅A33 表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数.
所以总的方法数有 6×114=684 种.
故答案为：D
二、填空题
13.【答案】 31
【解析】 |i-j|>2 的所有可能包括： i=1,j=4,5 ； i=2,j=5 ； i=4,j=1 ； i=5,j=1,2 。
（1）盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345，3245，4235，2354，3254，4253，2435，3425，4325，2453，2534，3524，4523，2543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3452，4352，3542，4532满足 |i-j|>2 ，应舍去）共14种；
（2）盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：
1345，3145，4135，1354，3154，4153，1435，1453，1534，1543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3415，4315，3451，4351，3514，4513，3541，4531满足 |i-j|>2 ，应舍去）共10种；
（3）盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：
1245，2145，4125，1254，2154，1425，1524，（其中球5不能放在盒2，不用列举.而4152，2415，4215，1452，2454，4251，2514，4512，1542，5241，4521满足 |i-j|>2 ，应舍去）共7种；
所以共有14+10+7=31种。
故答案为：31。
14.【答案】 22.8；38
【解析】（1） x=5×14+6×17+9×20+12×23+8×26+6×29+4×3250=22.76≈22.8 ，
故这50个社区这一天垃圾量的平均值约为22.8吨.
（2）因为 μ 近似为样本平均值 x ， σ2 近似为样本方差 s2 ， s=5.2 ，
所以一天的垃圾量大致服从正态分布 N(22.8,5.22) ，
设社区一天的垃圾量为 x ，
则 P(x>28)=P(x>22.8+5.2)=1-0.68272=0.15865 ，
0.15865×240=38.076≈38 ，
故这240个社区中“超标”社区的个数大约为38个，
故答案为：22.8；38.
15.【答案】 13；16
【解析】由 P(X=0)=12 ， P(X=1)=14 ，可得 P(X=x)=14 ，
所以随机变量 X 的期望为 E(X)=0×12+1×14+x×14=1+x4 ，
则方差为 D(X)=(0-1+x4)2×12+(1-1+x4)2×14+(x-1+x4)2×14=3x2-2x+316 ，
所以当 x=13 时，方差取得最小值，最小值为 D(X)=16 .
故答案为： 13 ， 16 .
16.【答案】 1.75
【解析】 x=1+2+3+44=2.5,y=0.6+0.8+1.1+1.54=1 .
故 1=0.3×2.5+a,a=0.25 ，
所以 y=0.3x+0.25 ，
2021 年，对应 x=5 ，预测值为 0.3×5+0.25=1.75 （万元）
故答案为：1.75
三、解答题
17.【答案】 （1）解：根据散点图可以判断 y=cedx 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型.
对 y=cedx 两边取自然对数得 lny=lnc+dx ，令 z=lny ， a=lnc ， b=d ，得 z=a+bx .
因为 b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2=40.182147.714≈0.2720 ，所以 a=z-bx=3.612-0.272×27.429≈-3.849 ，
所以 z 关于 x 的线性回归方程为 z=0.272x-3.849 ，所以 y 关于 x 的回归方程为 y=e0.272x-3.849 .
（2）解：（ⅰ）由 f(p)=C53p3(1-p)2 ，得 f'(p)=C53p2(1-p)(3-5p) ，因为 0
所以当 p=35 时， f(p)max=216625 ，此时响应的概率 p0=35 .
（ⅱ）由（ⅰ）知，当 f(p) 取最大值时， p=35 ，所以 x~B(5,35) ，
所以 E(X)=5×35=3 ， D(X)=5×35×25=65 .
【解析】（1）利用散点图及一些统计量的值，再结合最小二乘法确定平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型，从而求出 y 关于 x 的线性回归直线方程。
（2） （ⅰ） 利用已知条件结合二项分布求概率公式得出 f(p)=C53p3(1-p)2 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最大值，进而得出当 p=35 时， f(p)max=216625 ，此时响应的概率 p0=35 ； （ⅱ） 由（ⅰ）知，当 f(p) 取最大值时， p=35 ，所以 x~B(5,35) ， 再利用二项分布求期望和方差公式，进而求出随机变量 X 的数学期望和方差 。
18.【答案】 （1）解： m=C42x2(1x)2+C41C31⋅x⋅1x+C44=19 ；
（2）证明：由项式定理可知， f(x)=i=0mCmi⋅(x+1x)i
对任意给定的 1≤t≤n ，当 1≤i≤t 时，
(x+1x)i 的展开式中无 xt 与 1xt 项；
当 i≥t 时， Cmi⋅(x+1x)i=Cmi⋅k=0tCikxi-k1xk=Cmi⋅k=0tCikxi-2k
若 i-t 为奇数，则 i-2k≠±t ，
即 (x+1x)i 的展开式中无 xt 与 1xt 项；
若 i-t 为偶数，设 i=2k+t ，
则 Cnt(x+1x)t 的展开式中， xt 的系数为 Cni⋅Cik
1xt 的系数为 Cni⋅Cii-k ，即 xt 与 1xt 项的系数相同，
即当 i≥t 且 i-t 为偶数时，在 Cnt(x+1x)t 的展开式中，
xt 与 1xt 项的系数均相同，
所以在 f(x) 的展开式中， xt 与 1xt 项的系数相同，原命题得证.
【解析】（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果；（1）先由展开式写出通项，分类讨论 xt 与 1xt 存在，再证明系数相等.
19.【答案】 解：（Ⅰ）当 p=12 时，一次检验就取得“实验成功”的概率为 C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+(12)3=12 ；
经过两次检验才取得“实验成功”的概率为 [C31p(1-p)2]p2=(3×12×14)×14=332 ；
在一次实验方案中“实验成功”的概率为 p0=12+332=1932 ．
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为 X 元，则 X 的可能值为900，1500．
P(X=900)=1-C31p(1-p)2 ； P(X=1500)=C31p(1-p)2 ．
所以 E(X)=900×[1-C31p(1-p)2]+1500C31p(1-p)2=900+1800p(1-p)2 ，
设 f(p)=p(1-p)2 ，则 f'(p)=(1-p)2+2p(p-1)=(3p-1)(p-1) ，
当 p∈(0,13) 时， f'(p)>0 ，所以 f(p) 在 (0,13) 上单增；
当 p∈(13,1) 时， f'(p)<0 ，所以 f(p) 在 (13,1) 上单减．
所以 f(p) 的最大值为 f(13)=427 ，
因此实施一次此方案最高费用为 900+1800×427=35003 元
所以动物实验阶段估计最高试验费用为 100+35003×5000×10-4=100+17503=20503 万元，
因为 20503<700 ，
所以该阶段经费使用不会超出预算．
【解析】（Ⅰ）根据互斥事件的概率，求一次检验成功和经过两次检验才成功的概率之和即可求解；
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为X元，由题意可知X的可能值为900，1500，求随机变量的期望，利用导数求出期望的最大值，即可求总费用的最大值，即可得出结论.
20.【答案】 （1）解：记该生“英语等级考试成绩为优”为事件 A ，概率为 P(A)=13 ，则该生“英语等级考试成绩不为优”为事件 A ，概率为 P(A)=1-13=23 ，则该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率为 P=P(A)P(A)P(A)=(23)213=427
（2）解：解法一 由题意知 ε 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
则 P(ε=0)=C60(13)0(23)6=(23)6=64729 ，
P(ε=1)=C61(13)1(23)5=192729 ，
P(ε=2)=C62(13)2(23)4=240729 ，
P(ε=3)=C63(13)3(23)3=160729 ，
P(ε=4)=C64(13)4(23)2=60729 ，
P(ε=5)=C65(13)5(23)1=12729 ，
P(ε=6)=C66(13)6(23)0=1729 .
所以随机变量 ε 的分布列为
ε
0
1
2
3
4
5
6
P
64729
192729
240729
160729
60729
12729
1729
E(ε)=0×64729+1×192729+2×240729+3×160729+4×60729+5×12729+6×1729=2 .
解法二 依题意得 ε~B(6,13) ，
所以 P(ε=k)=C6k×(13)k×(23)6-k ， k=0,1,2,3,4,5,6 .
所以 ε 的分布列为
ε
0
1
2
3
4
5
6
P
64729
192729
240729
160729
60729
12729
1729
E(ε)=6×13=2 .
【解析】(1)先用对立事件求得该生英语等级考试成绩不为优的概率为 1-13=23 ,再根据独立事件的概率公式可得.(2)利用二项分布的概率公式可得分布列,利用期望公式计算可得.
2020—2021学年高二数学下学期
综合检测03
满分： 100分 时间： 60分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。
1.双十一是指由电子商务为代表的，在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢节.已知某一家具旗舰店近五年双十一的成交额如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
时间代号 t
1
2
3
4
5
成交额 y （万元）
50
60
70
80
100
若 y 关于 t 的回归方程为 y=12t+a ，则根据回归方程预计该店2021年双十一的成交额是（ ）
A. 84万元 B. 96万元 C. 108万元 D. 120万元
2.某校随机调查了110名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：
男
女
喜欢篮球
40
20
不喜欢篮球
20
30
附： k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(k2⩾k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”
C. 有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”
D. 有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”
3.随机变量 X 的分布列为
X
0
1
m
P
15
n
310
若 E(X)=1.1 ，则 D(X)= （ ）
A. 0.49 B. 0.69 C. 1 D. 2
4.若 (x+1)7=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a7(x+2)7 ，则 a3+a4= （ ）．
A. 0 B. 35 C. 70 D. -70
5.为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A，B，C三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 64种
6.已知ξ∈N0,82且P-2≤ξ≤0=0.4 ， 则P(ξ>2)等于 （ ）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
7.将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率P(A|B),P(B|A)分别是（ ）
A. 6091,12 B. 12,6091 C. 518,6091 D. 91216,12
8.自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 A 房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017-2019年的数据分别建立回归直线方程 y=b1x+a1 、 y=b2x+a2 、 y=b3x+a3 ，则（ ）
A. b1>b2>b3 ， a3>a2>a1 B. b2>b1>b3 ， a3>a2>a1
C. b1>b2>b3 ， a3>a1>a2 D. b2>b1>b3 ， a3>a1>a2
9.某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
70
根据表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为 y=6.5x+15.5 ，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ）
A. 45 B. 55 C. 50 D. 60
10.在 (x-aπx)6 的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为（ ）
A. 15 B. -15 C. 20 D. -20
11.若 (1x-mx2)5(m∈R) 的展开式中 x5 的系数是80，则实数 m= （ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
12.新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院.每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种
A. 252 B. 540 C. 792 D. 684
第Ⅱ卷（非选择题 共40分）
二、填空题：本题共计4小题，共计16分。
13.把编号为 i(i=1,2,3,4,5) 的五个小球随机放入编号为 j(j=1,2,3,4,5) 的五个盒子，每盒一个小球，若满足 |i-j|≤2 ，则不同的放法共有________种．
14.国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量 x
[12.5,15.5)
[15.5,18.5)
[18.5,21.5)
[21.5,24.5)
[24.5,27.5)
[27.5,30.5)
[30.5,33.5)
频数
5
6
9
12
8
6
4
通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值 x= ________（精确到 0.1 ）；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 N(μ,σ2) ，其中 μ 近似为样本平均值 x ， σ2 近似为样本方差 s2 ，经计算得 s=5.2 ．请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数________．
参考数据： P(μ-σ
16.2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京举行，习近平总书记庄严宣告我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.已知在党委政府精准扶贫政策下，自2017年起某地区贫困户第 x 年的年人均收入 y (单位：万元)的统计数据如下表：
年份
2017
2018
2019
2020
年份编号 x
1
2
3
4
年人均收入 y
0.6
0.8
1.1
1.5
根据上表可得回归方程 y=bx+a 中的 b 为0.3，据此模型预报该地区贫困户2021年的年人均收入为________.(单位：万元).
三、解答题：本题共计4小题，共计24分。
17.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数 y 和平均温度 x 有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度 x /℃
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数 y /个
7
11
21
24
66
115
325
x
y
z
i=1n(xi-x)(zi-z)
i=1n(xi-x)2
27.429
81.286
3.612
40.182
147.714
表中 zi=lny ， z=17i=17zi
附：对于一组数据 (x1,z1),(x2,z2),⋅⋅⋅,(x7,z7) ，其回归直线 z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2 ， a=z-bx .
（1）根据散点图判断， y=a+bx 与 y=cedx （其中 e=2.718⋅⋅⋅ 为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出 y 关于 x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为 p(0
（ⅱ）当 f(p) 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为 X ，求 X 的数学期望和方差.
18.已知 f(x)=(x+1x+1)n,n∈N* .
（1）记其展开式中常数项为 m ，当 n=4 时.求 m 的值；
（2）证明:在 f(x) 的展开式中，对任意 1≤t≤n(t∈N*) ， xt 与 1xt 的系数相同.
19.新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为 P(0
（Ⅱ）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．
20.新高考改革后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上、下学期，物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科则以该省的省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取.
（1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某211院校的录取要求.假设某个学生参加每次等级考试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是 13 ，求该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率；
（2）据预测，要想报考该211院校的相关院系，省会考的成绩至少在90分以上，才有可能被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩，考到90分以上概率都是 13 ，设该生在省会考时考到90分以上的科目数为 ε ，求 ε 的分布列及数学期望.
答案解析
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】 t=1+2+3+4+55=3 ， y=50+60+70+80+1005=72 ，
因为回归方程过样本中心 (t,y) ，
所以 y=12t+a 过点 (3,72) ， 72=12×3+a ，所以 a=36 ，
当 t=6 时， y=12×6+36=108 万元.
故答案为：C
2.【答案】 C
【解析】由题意 k2=110×(40×30-20×20)260×50×60×50≈7.822 ， 6.635<7.822<10.828 ，因此有99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”。
故答案为：C．
3.【答案】 A
【解析】由分布列性质知： 15+n+310=1 ，解得： n=12 ；
∴E(X)=0×15+1×12+m×310=1.1 ， ∴m=2 ；
∴D(X)=(0-1.1)2×15+(1-1.1)2×12+(2-1.1)2×310=0.49 。
故答案为：A.
4.【答案】 A
【解析】解：由题意得(x+1)7=[（x+2）-1]7 ， 则其展开式的通项公式为Tr+1=C7rx+27-r-1r ，
令7-r=3，即r=4，得T4+1=C74x+23-14=C74x+23=C73x+23 ， 则a3=C73 ，
令7-r=4，即r=3，得T3+1=C73x+24-13=-C73x+24 ， 则a4=-C73 ，
则 a3+a4=0，
故答案为：A
5.【答案】 B
【解析】若按照3：1：1进行分配，则有 C31A33=18 种不同的方案，
若按照2：2：1进行分配，则有 C32A33=18 种不同的方案，故共有36种派遣方案.
故答案为：B
6.【答案】 A
【解析】正态分布
由于， 则其正态分布图象对称轴为轴，由图象对称性可知，.
选A。
7.【答案】 A
【解析】由题意得事件的个数为， 事件的个数为， 在发生的条件下发生的个数为， 在发生的条件下发生的个数为， 所以， .故正确答案为A.
8.【答案】 A
【解析】回归直线分布在散点图的附近， b 表示回归直线的斜率， a 表示回归直线在y轴上的截距，由图可知，2010-2013年，y随x的增加，迅速增加；2014-2016年，y随x的增加，平缓增加，故 b1>b2 ；2017-2019年，y随x的增加而减少，故 b3<0 ；所以 b1>b2>b3 ，由图可知 a3>a2>a1 .
故答案为：A．
9.【答案】 C
【解析】由表中数据得： x=2+4+5+6+85=5 ，
因为样本中心点 (x,y) 在回归直线上，
所以 y=6.5×5+15.5=48 ，
所以 48×5-(30+40+50+70)=50
故答案为：C
10.【答案】 D
【解析】由展开式中所有项的系数和为0, 令 x=1 ,可得 (1-aπ)6=0 ，解得 a=1π
所以 (x-aπx)6=(x-1x)6
则 (x-aπx)6 展开式的通项公式为 Tr+1=C6r(x)6-r(-1x)r=(-1)rC6rx6-2r
当 r=3 时，为常数项，所以展开式的常数项为 -C63=-20 ．
故答案为：D．
11.【答案】 A
【解析】二项式展开式的通项为 Tr+1=C5r(1x)5-r(-mx2)r=(-m)rC5rx52r-52 ，
令 52r-52=5 ，得 r=3 ，
则 T4=(-m)3C53x5=80x5 ，所以 (-m)3C53=80 ，解得 m=-2 .
故答案为：A
12.【答案】 D
【解析】护士6名，可分为 2,2,2 或者 1,2,3 两类.
先安排医生，再安排护士.
安排医生，方法数有 A33=6 种，
安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有 C42⋅C22A22⋅A33+(C41⋅A33+C41⋅C31⋅A33)=114 种.其中 C41⋅A33 表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数， C41⋅C31⋅A33 表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数.
所以总的方法数有 6×114=684 种.
故答案为：D
二、填空题
13.【答案】 31
【解析】 |i-j|>2 的所有可能包括： i=1,j=4,5 ； i=2,j=5 ； i=4,j=1 ； i=5,j=1,2 。
（1）盒1放球1时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：2345，3245，4235，2354，3254，4253，2435，3425，4325，2453，2534，3524，4523，2543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3452，4352，3542，4532满足 |i-j|>2 ，应舍去）共14种；
（2）盒1放球2时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：
1345，3145，4135，1354，3154，4153，1435，1453，1534，1543（其中球5不能放在盒2，不用列举.而3415，4315，3451，4351，3514，4513，3541，4531满足 |i-j|>2 ，应舍去）共10种；
（3）盒1放球3时，剩下的盒子依次记为盒2、盒3、盒4、盒5，剩下四球的所有排列：
1245，2145，4125，1254，2154，1425，1524，（其中球5不能放在盒2，不用列举.而4152，2415，4215，1452，2454，4251，2514，4512，1542，5241，4521满足 |i-j|>2 ，应舍去）共7种；
所以共有14+10+7=31种。
故答案为：31。
14.【答案】 22.8；38
【解析】（1） x=5×14+6×17+9×20+12×23+8×26+6×29+4×3250=22.76≈22.8 ，
故这50个社区这一天垃圾量的平均值约为22.8吨.
（2）因为 μ 近似为样本平均值 x ， σ2 近似为样本方差 s2 ， s=5.2 ，
所以一天的垃圾量大致服从正态分布 N(22.8,5.22) ，
设社区一天的垃圾量为 x ，
则 P(x>28)=P(x>22.8+5.2)=1-0.68272=0.15865 ，
0.15865×240=38.076≈38 ，
故这240个社区中“超标”社区的个数大约为38个，
故答案为：22.8；38.
15.【答案】 13；16
【解析】由 P(X=0)=12 ， P(X=1)=14 ，可得 P(X=x)=14 ，
所以随机变量 X 的期望为 E(X)=0×12+1×14+x×14=1+x4 ，
则方差为 D(X)=(0-1+x4)2×12+(1-1+x4)2×14+(x-1+x4)2×14=3x2-2x+316 ，
所以当 x=13 时，方差取得最小值，最小值为 D(X)=16 .
故答案为： 13 ， 16 .
16.【答案】 1.75
【解析】 x=1+2+3+44=2.5,y=0.6+0.8+1.1+1.54=1 .
故 1=0.3×2.5+a,a=0.25 ，
所以 y=0.3x+0.25 ，
2021 年，对应 x=5 ，预测值为 0.3×5+0.25=1.75 （万元）
故答案为：1.75
三、解答题
17.【答案】 （1）解：根据散点图可以判断 y=cedx 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型.
对 y=cedx 两边取自然对数得 lny=lnc+dx ，令 z=lny ， a=lnc ， b=d ，得 z=a+bx .
因为 b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2=40.182147.714≈0.2720 ，所以 a=z-bx=3.612-0.272×27.429≈-3.849 ，
所以 z 关于 x 的线性回归方程为 z=0.272x-3.849 ，所以 y 关于 x 的回归方程为 y=e0.272x-3.849 .
（2）解：（ⅰ）由 f(p)=C53p3(1-p)2 ，得 f'(p)=C53p2(1-p)(3-5p) ，因为 0
所以当 p=35 时， f(p)max=216625 ，此时响应的概率 p0=35 .
（ⅱ）由（ⅰ）知，当 f(p) 取最大值时， p=35 ，所以 x~B(5,35) ，
所以 E(X)=5×35=3 ， D(X)=5×35×25=65 .
【解析】（1）利用散点图及一些统计量的值，再结合最小二乘法确定平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型，从而求出 y 关于 x 的线性回归直线方程。
（2） （ⅰ） 利用已知条件结合二项分布求概率公式得出 f(p)=C53p3(1-p)2 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值，从而求出函数的最大值，进而得出当 p=35 时， f(p)max=216625 ，此时响应的概率 p0=35 ； （ⅱ） 由（ⅰ）知，当 f(p) 取最大值时， p=35 ，所以 x~B(5,35) ， 再利用二项分布求期望和方差公式，进而求出随机变量 X 的数学期望和方差 。
18.【答案】 （1）解： m=C42x2(1x)2+C41C31⋅x⋅1x+C44=19 ；
（2）证明：由项式定理可知， f(x)=i=0mCmi⋅(x+1x)i
对任意给定的 1≤t≤n ，当 1≤i≤t 时，
(x+1x)i 的展开式中无 xt 与 1xt 项；
当 i≥t 时， Cmi⋅(x+1x)i=Cmi⋅k=0tCikxi-k1xk=Cmi⋅k=0tCikxi-2k
若 i-t 为奇数，则 i-2k≠±t ，
即 (x+1x)i 的展开式中无 xt 与 1xt 项；
若 i-t 为偶数，设 i=2k+t ，
则 Cnt(x+1x)t 的展开式中， xt 的系数为 Cni⋅Cik
1xt 的系数为 Cni⋅Cii-k ，即 xt 与 1xt 项的系数相同，
即当 i≥t 且 i-t 为偶数时，在 Cnt(x+1x)t 的展开式中，
xt 与 1xt 项的系数均相同，
所以在 f(x) 的展开式中， xt 与 1xt 项的系数相同，原命题得证.
【解析】（1）根据展开式的通项公式，求出常数项，即可求得结果；（1）先由展开式写出通项，分类讨论 xt 与 1xt 存在，再证明系数相等.
19.【答案】 解：（Ⅰ）当 p=12 时，一次检验就取得“实验成功”的概率为 C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+(12)3=12 ；
经过两次检验才取得“实验成功”的概率为 [C31p(1-p)2]p2=(3×12×14)×14=332 ；
在一次实验方案中“实验成功”的概率为 p0=12+332=1932 ．
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为 X 元，则 X 的可能值为900，1500．
P(X=900)=1-C31p(1-p)2 ； P(X=1500)=C31p(1-p)2 ．
所以 E(X)=900×[1-C31p(1-p)2]+1500C31p(1-p)2=900+1800p(1-p)2 ，
设 f(p)=p(1-p)2 ，则 f'(p)=(1-p)2+2p(p-1)=(3p-1)(p-1) ，
当 p∈(0,13) 时， f'(p)>0 ，所以 f(p) 在 (0,13) 上单增；
当 p∈(13,1) 时， f'(p)<0 ，所以 f(p) 在 (13,1) 上单减．
所以 f(p) 的最大值为 f(13)=427 ，
因此实施一次此方案最高费用为 900+1800×427=35003 元
所以动物实验阶段估计最高试验费用为 100+35003×5000×10-4=100+17503=20503 万元，
因为 20503<700 ，
所以该阶段经费使用不会超出预算．
【解析】（Ⅰ）根据互斥事件的概率，求一次检验成功和经过两次检验才成功的概率之和即可求解；
（Ⅱ）设一次实验方案需要用到的经费为X元，由题意可知X的可能值为900，1500，求随机变量的期望，利用导数求出期望的最大值，即可求总费用的最大值，即可得出结论.
20.【答案】 （1）解：记该生“英语等级考试成绩为优”为事件 A ，概率为 P(A)=13 ，则该生“英语等级考试成绩不为优”为事件 A ，概率为 P(A)=1-13=23 ，则该生在高二上学期的英语等级考试成绩才为优的概率为 P=P(A)P(A)P(A)=(23)213=427
（2）解：解法一 由题意知 ε 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
则 P(ε=0)=C60(13)0(23)6=(23)6=64729 ，
P(ε=1)=C61(13)1(23)5=192729 ，
P(ε=2)=C62(13)2(23)4=240729 ，
P(ε=3)=C63(13)3(23)3=160729 ，
P(ε=4)=C64(13)4(23)2=60729 ，
P(ε=5)=C65(13)5(23)1=12729 ，
P(ε=6)=C66(13)6(23)0=1729 .
所以随机变量 ε 的分布列为
ε
0
1
2
3
4
5
6
P
64729
192729
240729
160729
60729
12729
1729
E(ε)=0×64729+1×192729+2×240729+3×160729+4×60729+5×12729+6×1729=2 .
解法二 依题意得 ε~B(6,13) ，
所以 P(ε=k)=C6k×(13)k×(23)6-k ， k=0,1,2,3,4,5,6 .
所以 ε 的分布列为
ε
0
1
2
3
4
5
6
P
64729
192729
240729
160729
60729
12729
1729
E(ε)=6×13=2 .
【解析】(1)先用对立事件求得该生英语等级考试成绩不为优的概率为 1-13=23 ,再根据独立事件的概率公式可得.(2)利用二项分布的概率公式可得分布列,利用期望公式计算可得.
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