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新教材2023_2024学年高中数学模块综合测评1新人教A版选择性必修第三册
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这是一份新教材2023_2024学年高中数学模块综合测评1新人教A版选择性必修第三册，共12页。
模块综合测评(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用X甲,X乙表示)指标如下:
X甲
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
X乙
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标( )
A.均值与方差 B.正态分布
C.χ2 D.概率
2.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.36 B.35 C.34 D.33
3.[2023江苏滨湖校级期中]在xn的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,则n的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
4.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A. B. C. D.
5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,正态密度曲线如图所示,则成绩X位于区间(51,69]的人数大约是( )
A.997 B.954 C.800 D.683
6.某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )
A.1 050种 B.700种 C.350种 D.200种
7.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据,求得经验回归方程为=0.8x+,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力约为( )
A.9.5 B.9.8 C.9.2 D.10
8.[2023河北沧州模拟]某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2(0≤p1≤1,0≤p2≤1),且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=24,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A.26 B.30 C.32 D.36
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.给出以下四个说法,其中正确的说法有( )
A.绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积大小等于相应各组的组距
B.在刻画回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好
C.设随机变量X服从正态分布N(4,22),则P(X>4)=
D.对分类变量X与Y,若计算出的χ2越小,则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小
10. 设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量X和Y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线(如图所示),以下结论中错误的是( )
A.X和Y的相关系数为直线l的斜率
B.X和Y的相关系数在0到1之间
C.当n为偶数时,分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同
D.直线l过点()
11.为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高条形统计图,则下列说法中正确的有( )
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635
A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C.若被调查的男女生均为100人,则认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01
D.无论被调查的男女生人数为多少,认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率均不超过0.01
12.6名同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两名同学之间最多交换一次,进行交换的两名同学互赠一份纪念品.已知6名同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.连接正三棱柱的6个顶点,可以组成 个四面体.
14.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤X≤0)=0.4,则P(X>2)= .
15.若x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ,a5= .
16.[2023四川南江校级二模]在一次“定点投球”的游戏中,游戏共进行两轮,每小组两位选手,在每轮活动中,两人各投一次,如果两人都投中,则小组得3分;如果只有一个人投中,则小组得1分;如果两人都没投中,则小组得0分,甲、乙两人组成一组,甲每轮投中的概率为,乙每轮投中的概率为,且甲、乙两人每轮是否投中互不影响,各轮结果亦互不影响,则该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)现准备从10名预备队员(其中男6人,女4人)中选4人参加市运动会.
(1)若男队员甲和女队员乙同时被选中,共有多少种选法?
(2)若至少两名男队员参加此次市运动会,问共有几种选法?
(3)若选中的四个队员被分配到A,B,C三个项目中,其中每个项目至少一个队员,共有多少种选派法?
18.(12分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值;
(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率.
19.(12分)[2023辽宁沈阳模拟]某旅游景区为吸引旅客,提供了A,B两条路线方案,该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价(“好”或“一般”),对300名旅客的路线选择和评价进行了统计,如下表:
性别
A路线
B路线
合计
好
一般
好
一般
男
20
55
120
女
90
40
180
合计
50
75
300
(1)填补上面的统计表中的空缺数据.并依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为有A,B两条路线的选择与性别有关?
(2)某人计划到该景区旅游,预先在网上了解两条路线的评价,假设他分别看了两条路线各三条评价(评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考),若评价为“好”的计5分,评价为“一般”的计2分,以期望值作为参考,那么你认为这个人会选择哪一条路线?请用计算说明理由.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(12分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表,规定75分以下为一般,大于等于75分且小于85分为良好,85分及以上为优秀.
分数
69
73
74
75
77
78
79
80
人数
2
4
4
2
3
4
6
3
分数
82
83
85
87
89
93
95
人数
3
4
4
5
2
3
1
经计算样本的平均值μ≈81,标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏,从中任取一人,记其成绩为X,并根据以下不等式进行评判.
①P(μ-σ
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级;
(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,求随机变量X的分布列和均值.
21.(12分)[2023安徽宣城检测]中国哈尔滨冰雪大世界每年的活动有采冰及雕冰两个环节,现有甲、乙、丙三个工作队负责上述活动,雕刻时会损坏部分冰块,若损坏后则无法使用,无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采冰分别占开采总量的30%,30%,40%,甲、乙、丙工作队采冰的使用率分别为0.8,0.75,0.6.
(1)从开采的冰块中有放回地随机抽取三次,每次抽取一块,记丙工作队开采的冰块被抽取到的次数为X,求随机变量X的分布列及均值;
(2)已知开采的冰块经雕刻后能使用,求它是由乙工作队所开采的概率.
22.(12分)短视频已成为很多人生活娱乐中不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量的数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-)2
4.5
5
25.5
42
(ti-)2
(xi-)(yi-)
(ti-)(yi-)
3 570
72.8
686.8
其中ti=.
某位同学分别用两种模型:①=bx2+a,②=dx+c进行拟合.
(1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01)
(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少?
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
参考答案
模块综合测评(一)
1.A 检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较波动情况.
2.D 不考虑限定条件可以确定的不同点的个数为=36.
因为集合B,C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有3个,故所求点的个数为36-3=33.
3.B xn的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,所以展开式中共有13项,n=12.故选B.
4.C 记A=“第一次正面向上”,B=“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)=
5.D 由题图知,X~N(μ,σ2),其中,μ=60,σ=9,
∴P(51
6.C 分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.
所以不同的选购方法有=350(种).
7.A (4+6+8+10)=7,(3+5+6+8)=5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入经验回归方程得5.5=0.8×7+,=-0.1,∴经验回归方程为=0.8x-0.1.
当x=12时,=0.8×12-0.1=9.5.
8.C 根据题意,设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p,则p=p1(1-p1)p2(1-p2)=2p1p2(p1+p2)-3=3p1p2-3
又由p1+p2=,则p1p2=p1-p1.
由0≤p1≤1,0≤p2≤1,则有p1≤1,必有p1p2=p1-p1,设t=p1p2,t,则p=3t-3t2=3t(1-t)≤32=,当且仅当t=p1p2=时,等号成立,即p的最大值为
记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,则X~Bn,,若E(X)=24,则有np=24,当p最大时,甲、乙两人训练的轮数最少,则n=32,即甲、乙两人至少训练32轮.故选C.
9.BC 频率分布直方图中,各小长方形的面积大小等于相应各组的频率,故A错误;R2越大,拟合效果越好,R2越小,拟合效果越差,故B正确;随机变量X服从正态分布N(4,22),正态曲线对称轴为直线x=4,所以P(X>4)=,故C正确;对分类变量X与Y,χ2越小,则说明“X与Y有关系”犯错误的概率越大,故D错误.
10.ABC 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强,所以A,B错误;C中n为偶数时,分布在直线l两侧的样本点的个数可以不相同,所以C错误;根据经验回归直线一定经过样本点的中心,可知D正确.
11.AC 因为被调查的男女生人数相同,由等高条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以A正确,B错误.
设被调查的男女生人数均为n,则由等高条形统计图可得2×2列联表如下:
性别
男
女
合计
喜欢
0.8n
0.3n
1.1n
不喜欢
0.2n
0.7n
0.9n
合计
n
n
2n
零假设H0:喜欢登山和性别无关.
由公式可得χ2=
当n=100时,χ2=>6.635,所以认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01;
当n=10时,χ2=<6.635,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立.
显然χ2的值与n的取值有关,所以C正确,D错误.
12.BD 设6名同学分别用a,b,c,d,e,f表示.
若任意两名同学之间都进行交换,则共进行=15次交换,现共进行了13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:
(1)由3人构成的2次交换,如a与b和a与c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人.
(2)由4人构成的2次交换,如a与b和c与e之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.
13.12 从正三棱柱的6个顶点中任取4个,有种方法,其中4个点共面的有3种情况,故可以组成-3=12个四面体.
14.0.1 由已知P(0≤X≤2)=P(-2≤X≤0)=0.4,
∴P(X>2)=(1-0.4-0.4)=0.1.
15.0 -6 因为x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=06=0,由x6=[(x+1)-1]6,又[(x+1)-1]6展开式的通项为Tk+1=(-1)k(1+x)6-k,令6-k=5,解得k=1,则(x+1)5的系数为-=-6,即a5=-6.
16 根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为X,则X可能取的值为0,1,2,3,4,6,在一轮活动中,该小组得3分的概率P1=,该小组得1分的概率P2=1-+1-,该小组得0分的概率P3=1-×1-=,则有P(X=4)=,P(X=6)=,则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=6)=,即该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为
17.解(1)若男队员甲和女队员乙同时被选中,剩下的2人从8人中任选2人即可,即有=28种选法.
(2)至少两名男队员,可分为有2名男队员、2名女队员参加,3名男队员、1名女队员参加,4名男队员参加三类,由分类加法计数原理,可得=185种选法.
(3)先选4名队员,然后把这4名队员分2,1,1三组,再分配到A,B,C三个项目中,共有=7560种.
18.解(1)如果三个题目均答错,得0+0+(-10)=-10分.
如果三个题目均答对,得10+10+20=40分.
如果三个题目一对两错,包括两种情形:
①前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(-10)=0分;
②前两个错,第三个对,得0+0+20=20分.
如果三个题目两对一错,也包括两种情形:
①前两个对,第三个错,得10+10+(-10)=10分;
②第三个对,前两个一对一错,得20+10+0=30分.
故ξ的可能取值为-10,0,10,20,30,40.
P(ξ=-10)=0.2×0.2×0.4=0.016;P(ξ=0)=0.2×0.8×0.4=0.128;P(ξ=10)=0.8×0.8×0.4=0.256;P(ξ=20)=0.2×0.2×0.6=0.024;P(ξ=30)=0.8×0.2×0.6=0.192;P(ξ=40)=0.8×0.8×0.6=0.384.
所以ξ的分布列为
ξ
-10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
ξ的均值为E(ξ)=-10×0.016+0×0.128+10×0.256+20×0.024+30×0.192+40×0.384=24.
(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(ξ≥0)=1-P(ξ<0)=1-0.016=0.984.
19.解(1)
性别
A路线
B路线
合计
好
一般
好
一般
男
10
20
55
35
120
女
90
30
20
40
180
合计
100
50
75
75
300
整理数据,得到2×2列联表如下,
性别
A路线
B路线
合计
男
30
90
120
女
120
60
180
合计
150
150
300
零假设为H0:A,B两条路线的选择无关联.
∵χ2==50>10.828=x0.001,∴依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为A,B两条路线的选择与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由(1)可得A路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1-
B路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1-
设A,B两条路线的得分分别为X,Y,则X,Y的可能取值都为6,9,12,15,∵P(X=6)=3=,P(X=9)=2=,P(X=12)=2,P(X=15)=3=,∴E(X)=6+9+12+15=12.
∵P(Y=6)=3=,P(Y=9)=3=,P(Y=12)=3=,P(Y=15)=3=,
∴E(Y)=6+9+12+15
∵E(X)>E(Y),∴选择A路线.
20.解(1)P(μ-σ0.9545,P(μ-3σ0.9973,因为考生成绩满足两个不等式,所以该份试卷应被评为合格试卷.
(2)由题知,75分以下的人数为10,大于等于75分且小于85分的人数为25,85分及以上的人数为15.
按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,分别抽取人数为2,5,3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,则X的取值可能为0,1,2,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0+1+2+3
21.解(1)在开采的冰块中,任取一块是由丙工作队采摘的概率是,又X=0,1,2,3,且X~B3,,
∴P(X=k)=k3-k,k=0,1,2,3,即P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=3
(2)用A1,A2,A3分别表示冰块由甲、乙、丙工作队开采,B表示开采后的冰块经雕刻后能使用,则P(A1)=P(A2)=0.3,P(A3)=0.4,且P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.75,P(B|A3)=0.6,
∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.8+0.3×0.75+0.4×0.6=0.705,
∴P(A2|B)=,即开采的冰块经雕刻后能使用,且冰块是由乙工作队所开采的概率为
22.解(1)由散点图可知,模型①效果更好.
(2)因为ti=,所以t+,
0.19,
=5-0.19×25.5≈0.16,=0.19x2+0.16.
(3)由(2)可知,令x=10,则=0.19×100+0.16=19.16,
故预测该短视频发布后第10天的点击量为19.16.
模块综合测评(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度(分别用X甲,X乙表示)指标如下:
X甲
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
X乙
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.1
0.4
0.2
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标( )
A.均值与方差 B.正态分布
C.χ2 D.概率
2.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.36 B.35 C.34 D.33
3.[2023江苏滨湖校级期中]在xn的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,则n的值为( )
A.11 B.12 C.13 D.14
4.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )
A. B. C. D.
5.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,正态密度曲线如图所示,则成绩X位于区间(51,69]的人数大约是( )
A.997 B.954 C.800 D.683
6.某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有( )
A.1 050种 B.700种 C.350种 D.200种
7.某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据,求得经验回归方程为=0.8x+,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力约为( )
A.9.5 B.9.8 C.9.2 D.10
8.[2023河北沧州模拟]某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数不少于3局时,则认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2(0≤p1≤1,0≤p2≤1),且满足p1+p2=,每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,若E(X)=24,则从期望的角度来看,甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A.26 B.30 C.32 D.36
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.给出以下四个说法,其中正确的说法有( )
A.绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积大小等于相应各组的组距
B.在刻画回归模型的拟合效果时,R2的值越大,说明拟合的效果越好
C.设随机变量X服从正态分布N(4,22),则P(X>4)=
D.对分类变量X与Y,若计算出的χ2越小,则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小
10. 设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量X和Y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的经验回归直线(如图所示),以下结论中错误的是( )
A.X和Y的相关系数为直线l的斜率
B.X和Y的相关系数在0到1之间
C.当n为偶数时,分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同
D.直线l过点()
11.为了增强学生的身体素质,提高适应自然环境、克服困难的能力,某校在课外活动中新增了一项登山活动,并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,得到如图所示的等高条形统计图,则下列说法中正确的有( )
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635
A.被调查的学生中喜欢登山的男生人数比喜欢登山的女生人数多
B.被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多
C.若被调查的男女生均为100人,则认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01
D.无论被调查的男女生人数为多少,认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率均不超过0.01
12.6名同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两名同学之间最多交换一次,进行交换的两名同学互赠一份纪念品.已知6名同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.连接正三棱柱的6个顶点,可以组成 个四面体.
14.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤X≤0)=0.4,则P(X>2)= .
15.若x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ,a5= .
16.[2023四川南江校级二模]在一次“定点投球”的游戏中,游戏共进行两轮,每小组两位选手,在每轮活动中,两人各投一次,如果两人都投中,则小组得3分;如果只有一个人投中,则小组得1分;如果两人都没投中,则小组得0分,甲、乙两人组成一组,甲每轮投中的概率为,乙每轮投中的概率为,且甲、乙两人每轮是否投中互不影响,各轮结果亦互不影响,则该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)现准备从10名预备队员(其中男6人,女4人)中选4人参加市运动会.
(1)若男队员甲和女队员乙同时被选中,共有多少种选法?
(2)若至少两名男队员参加此次市运动会,问共有几种选法?
(3)若选中的四个队员被分配到A,B,C三个项目中,其中每个项目至少一个队员,共有多少种选派法?
18.(12分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值;
(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率.
19.(12分)[2023辽宁沈阳模拟]某旅游景区为吸引旅客,提供了A,B两条路线方案,该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价(“好”或“一般”),对300名旅客的路线选择和评价进行了统计,如下表:
性别
A路线
B路线
合计
好
一般
好
一般
男
20
55
120
女
90
40
180
合计
50
75
300
(1)填补上面的统计表中的空缺数据.并依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为有A,B两条路线的选择与性别有关?
(2)某人计划到该景区旅游,预先在网上了解两条路线的评价,假设他分别看了两条路线各三条评价(评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考),若评价为“好”的计5分,评价为“一般”的计2分,以期望值作为参考,那么你认为这个人会选择哪一条路线?请用计算说明理由.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
20.(12分)在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表,规定75分以下为一般,大于等于75分且小于85分为良好,85分及以上为优秀.
分数
69
73
74
75
77
78
79
80
人数
2
4
4
2
3
4
6
3
分数
82
83
85
87
89
93
95
人数
3
4
4
5
2
3
1
经计算样本的平均值μ≈81,标准差σ≈6.2.为评判该份试卷质量的好坏,从中任取一人,记其成绩为X,并根据以下不等式进行评判.
①P(μ-σ
(1)试判断该份试卷被评为哪种等级;
(2)按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,求随机变量X的分布列和均值.
21.(12分)[2023安徽宣城检测]中国哈尔滨冰雪大世界每年的活动有采冰及雕冰两个环节,现有甲、乙、丙三个工作队负责上述活动,雕刻时会损坏部分冰块,若损坏后则无法使用,无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采冰分别占开采总量的30%,30%,40%,甲、乙、丙工作队采冰的使用率分别为0.8,0.75,0.6.
(1)从开采的冰块中有放回地随机抽取三次,每次抽取一块,记丙工作队开采的冰块被抽取到的次数为X,求随机变量X的分布列及均值;
(2)已知开采的冰块经雕刻后能使用,求它是由乙工作队所开采的概率.
22.(12分)短视频已成为很多人生活娱乐中不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量的数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi-)2
4.5
5
25.5
42
(ti-)2
(xi-)(yi-)
(ti-)(yi-)
3 570
72.8
686.8
其中ti=.
某位同学分别用两种模型:①=bx2+a,②=dx+c进行拟合.
(1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01)
(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少?
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
参考答案
模块综合测评(一)
1.A 检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较波动情况.
2.D 不考虑限定条件可以确定的不同点的个数为=36.
因为集合B,C中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有3个,故所求点的个数为36-3=33.
3.B xn的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,所以展开式中共有13项,n=12.故选B.
4.C 记A=“第一次正面向上”,B=“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)=
5.D 由题图知,X~N(μ,σ2),其中,μ=60,σ=9,
∴P(51
6.C 分两类:(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.
所以不同的选购方法有=350(种).
7.A (4+6+8+10)=7,(3+5+6+8)=5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入经验回归方程得5.5=0.8×7+,=-0.1,∴经验回归方程为=0.8x-0.1.
当x=12时,=0.8×12-0.1=9.5.
8.C 根据题意,设甲、乙在某一轮训练中训练过关的概率为p,则p=p1(1-p1)p2(1-p2)=2p1p2(p1+p2)-3=3p1p2-3
又由p1+p2=,则p1p2=p1-p1.
由0≤p1≤1,0≤p2≤1,则有p1≤1,必有p1p2=p1-p1,设t=p1p2,t,则p=3t-3t2=3t(1-t)≤32=,当且仅当t=p1p2=时,等号成立,即p的最大值为
记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X,则X~Bn,,若E(X)=24,则有np=24,当p最大时,甲、乙两人训练的轮数最少,则n=32,即甲、乙两人至少训练32轮.故选C.
9.BC 频率分布直方图中,各小长方形的面积大小等于相应各组的频率,故A错误;R2越大,拟合效果越好,R2越小,拟合效果越差,故B正确;随机变量X服从正态分布N(4,22),正态曲线对称轴为直线x=4,所以P(X>4)=,故C正确;对分类变量X与Y,χ2越小,则说明“X与Y有关系”犯错误的概率越大,故D错误.
10.ABC 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接近1,两个变量的线性相关程度越强,所以A,B错误;C中n为偶数时,分布在直线l两侧的样本点的个数可以不相同,所以C错误;根据经验回归直线一定经过样本点的中心,可知D正确.
11.AC 因为被调查的男女生人数相同,由等高条形统计图可知,喜欢登山的男生占80%,喜欢登山的女生占30%,所以A正确,B错误.
设被调查的男女生人数均为n,则由等高条形统计图可得2×2列联表如下:
性别
男
女
合计
喜欢
0.8n
0.3n
1.1n
不喜欢
0.2n
0.7n
0.9n
合计
n
n
2n
零假设H0:喜欢登山和性别无关.
由公式可得χ2=
当n=100时,χ2=>6.635,所以认为喜欢登山和性别有关,该推断犯错误的概率不超过0.01;
当n=10时,χ2=<6.635,依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立.
显然χ2的值与n的取值有关,所以C正确,D错误.
12.BD 设6名同学分别用a,b,c,d,e,f表示.
若任意两名同学之间都进行交换,则共进行=15次交换,现共进行了13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:
(1)由3人构成的2次交换,如a与b和a与c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人.
(2)由4人构成的2次交换,如a与b和c与e之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,e四人.
13.12 从正三棱柱的6个顶点中任取4个,有种方法,其中4个点共面的有3种情况,故可以组成-3=12个四面体.
14.0.1 由已知P(0≤X≤2)=P(-2≤X≤0)=0.4,
∴P(X>2)=(1-0.4-0.4)=0.1.
15.0 -6 因为x6=a0+a1(x+1)+…+a5(x+1)5+a6(x+1)6,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=06=0,由x6=[(x+1)-1]6,又[(x+1)-1]6展开式的通项为Tk+1=(-1)k(1+x)6-k,令6-k=5,解得k=1,则(x+1)5的系数为-=-6,即a5=-6.
16 根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为X,则X可能取的值为0,1,2,3,4,6,在一轮活动中,该小组得3分的概率P1=,该小组得1分的概率P2=1-+1-,该小组得0分的概率P3=1-×1-=,则有P(X=4)=,P(X=6)=,则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=6)=,即该小组在本次活动中得分之和不低于4分的概率为
17.解(1)若男队员甲和女队员乙同时被选中,剩下的2人从8人中任选2人即可,即有=28种选法.
(2)至少两名男队员,可分为有2名男队员、2名女队员参加,3名男队员、1名女队员参加,4名男队员参加三类,由分类加法计数原理,可得=185种选法.
(3)先选4名队员,然后把这4名队员分2,1,1三组,再分配到A,B,C三个项目中,共有=7560种.
18.解(1)如果三个题目均答错,得0+0+(-10)=-10分.
如果三个题目均答对,得10+10+20=40分.
如果三个题目一对两错,包括两种情形:
①前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(-10)=0分;
②前两个错,第三个对,得0+0+20=20分.
如果三个题目两对一错,也包括两种情形:
①前两个对,第三个错,得10+10+(-10)=10分;
②第三个对,前两个一对一错,得20+10+0=30分.
故ξ的可能取值为-10,0,10,20,30,40.
P(ξ=-10)=0.2×0.2×0.4=0.016;P(ξ=0)=0.2×0.8×0.4=0.128;P(ξ=10)=0.8×0.8×0.4=0.256;P(ξ=20)=0.2×0.2×0.6=0.024;P(ξ=30)=0.8×0.2×0.6=0.192;P(ξ=40)=0.8×0.8×0.6=0.384.
所以ξ的分布列为
ξ
-10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
ξ的均值为E(ξ)=-10×0.016+0×0.128+10×0.256+20×0.024+30×0.192+40×0.384=24.
(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为P(ξ≥0)=1-P(ξ<0)=1-0.016=0.984.
19.解(1)
性别
A路线
B路线
合计
好
一般
好
一般
男
10
20
55
35
120
女
90
30
20
40
180
合计
100
50
75
75
300
整理数据,得到2×2列联表如下,
性别
A路线
B路线
合计
男
30
90
120
女
120
60
180
合计
150
150
300
零假设为H0:A,B两条路线的选择无关联.
∵χ2==50>10.828=x0.001,∴依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为A,B两条路线的选择与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由(1)可得A路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1-
B路线评价为“一般”的概率为,评价为“好”的概率为1-
设A,B两条路线的得分分别为X,Y,则X,Y的可能取值都为6,9,12,15,∵P(X=6)=3=,P(X=9)=2=,P(X=12)=2,P(X=15)=3=,∴E(X)=6+9+12+15=12.
∵P(Y=6)=3=,P(Y=9)=3=,P(Y=12)=3=,P(Y=15)=3=,
∴E(Y)=6+9+12+15
∵E(X)>E(Y),∴选择A路线.
20.解(1)P(μ-σ
(2)由题知,75分以下的人数为10,大于等于75分且小于85分的人数为25,85分及以上的人数为15.
按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生,分别抽取人数为2,5,3.再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流,用随机变量X表示4人中成绩优秀的人数,则X的取值可能为0,1,2,3.
P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0+1+2+3
21.解(1)在开采的冰块中,任取一块是由丙工作队采摘的概率是,又X=0,1,2,3,且X~B3,,
∴P(X=k)=k3-k,k=0,1,2,3,即P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=3
(2)用A1,A2,A3分别表示冰块由甲、乙、丙工作队开采,B表示开采后的冰块经雕刻后能使用,则P(A1)=P(A2)=0.3,P(A3)=0.4,且P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.75,P(B|A3)=0.6,
∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.3×0.8+0.3×0.75+0.4×0.6=0.705,
∴P(A2|B)=,即开采的冰块经雕刻后能使用,且冰块是由乙工作队所开采的概率为
22.解(1)由散点图可知,模型①效果更好.
(2)因为ti=,所以t+,
0.19,
=5-0.19×25.5≈0.16,=0.19x2+0.16.
(3)由(2)可知,令x=10,则=0.19×100+0.16=19.16,
故预测该短视频发布后第10天的点击量为19.16.
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